第二章 模型1抽象函数与函数性质的综合模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页模型1

抽象函数与函数性质的综合【问题背景】函数是高中数学的重中之重，而函数的性质是高考的重点、热点也是难点.抽象函数由于表现形式的抽象性使得这部分内容的难度更加增大.这部分题型多样，难度中等.常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.抽象函数学习是一个难点，但抽象函数平时考试或在高考中考察较多，故有必要对其进行归纳总结，以便揭开其“神秘面纱”，使得对其学习不再困难.【解决方法】【典例1】（23-24高三上·山东德州·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的周期为2D.【套用模型】第一步：整体审题，翻译信息，结合选项具体情况，确定大致解题思路.根据函数的奇偶性得到关于的表达式，代值判断根据奇偶性判断函数图象的对称性，判断研究函数的周期性，判断根据D中式子结构的特征知也与周期性有关.第二步：联系函数性质进行运算.函数的导电性、奇偶性等.对于A，若为偶函数，则的图象关于直线对称，将其图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，则.【快速分析】也可以直接用代换，直接得为偶函数所以，即，令，得，所以，故A正确.对于B，由可得，当时，，即，令，则，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确.对于C，因为为偶函数，所以，又，所以，则，所以，即，则，所以函数的周期为4，故C不正确.对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，则故D正确.第三步：得到结论.故选ABD.【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试）已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在点处的切线方程为________.【套用模型】第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义.为奇函数因为，所以.第二步：联系函数性质进行运算.故是以4为周期的周期函数.将代入，则，即，则.对求导得，故是以4为周期的周期函数，则，即切点坐标为，切线斜率，故所求切线方程为.第三步：得到结论所以【典例3】（22-23高三下·福建泉州·二模）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A.

B.C.

D.【套用模型】第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义，构造新函数.是定义在上的偶函数.要研究的解集，可考虑移项并构造函数.第二步：联系函数性质进行运算.则，所以函数也是偶函数.，因为当时，，即，所以函数在上单调递增，不等式，即不等式.由得，所以，所以，解得或.第三步：得到结论故选B.一、单选题（2024·内蒙古赤峰·一模）1．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（

）A．4 B．16 C． D．（2024·山东烟台·一模）2．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．（2024·辽宁·一模）3．已知函数为偶函数，且当时，若，则（

）A． B．C． D．（2024·黑龙江·二模）4．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（

）A． B．是周期函数C． D．（2024·湖南邵阳·二模）5．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．（2024·陕西西安·一模）6．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．二、多选题（23-24高三下·河南·阶段练习）7．已知非常数函数的定义域为，且，则（

）A． B．或C．是上的增函数 D．是上的增函数（2024·吉林白山·二模）8．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（

）A． B．C． D．（2024·湖南邵阳·二模）9．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．（2024·山东聊城·一模）10．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（

）A．都是的周期 B．曲线关于点对称C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数三、填空题（2024·陕西西安·二模）11．已知函数满足，.则.（2024·山东淄博·一模）12．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是R，满足，则.（2024·宁夏银川·一模）13．已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为.（2024·全国·模拟预测）14．已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】因为.故选：B.2．A【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.【详解】在上的奇函数满足，则，于是，即函数的周期为4，而，则，，又当时，，所以.故选：A3．A【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，当时，，因为在上单调递增且，而在上单调递减，故在上单调递减，则在上单调递增，故由可得，即，则，故，故选：A4．C【分析】借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得.【详解】对A：由为定义在上的奇函数，故，即，故A正确；对B：由，则，即有，故是以为周期的周期函数，故B正确；对C：由，，故C错误；对D：由，故，又，故，故D正确.故选：C.5．D【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.【详解】设函数，可得，所以函数在上单调递减，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集为.故选：D.6．C【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.【详解】由已知，则，则，可知函数为周期函数，最小正周期，又当时，，可知函数的图象如图所示，且的值域为，关于的方程至少有两解，可得函数与函数的图象至少有两个交点，如图所示，

可知当时，，解得，即，当时，，解得，即，综上所述，故选：C.7．AC【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.【详解】解：在中，令，得，即．因为函数为非常数函数，所以，A正确．令，则．令，则，①令，则，②由①②，解得，从而，B错误．令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误．故选：AC8．ACD【分析】根据对称性即可判断A，根据，，的值即可排除B,根据可求解C，根据即可求解D.【详解】因为的图象关于中心对称，则,故A正确；由，可得，则，取得，在中取可得，则，由，得，故B错误；由，得①②，②-①得，又，故C正确；又由①，故D正确.故选：ACD.9．ACD【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.【详解】对于D，由，所以，即，所以的周期为4，且，所以，故D正确；对于A，由为奇函数知关于对称，所以，由得0，即，故的周期为4且，可得，故A正确；对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，则有，即，所以，令，得，故，所以关于对称，又，所以，故B错误；又，所以，故C正确.故选：ACD.【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.10．BC【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.【详解】由是奇函数，故有，即有，故，则，即，故关于对称，由，则，即，故关于中心对称，由，则，又，故，即有，则，故，即，故，故周期为.对A：当时，，故A错误；对B：由周期为，故，又，故，故，故曲线关于点对称，故B正确；对C：由周期为，故，又，故，故曲线关于直线对称，故C正确；对D：由B得，故，又周期为，故有，故，又，即都是奇函数，故D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.11．.【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由函数满足，取，可得，令，可得，即则.故答案为：.12．【分析】求导得到，赋值累加即可.【详解】对两边同时求导得，即，则，，则.故答案为：.13．【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解.【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是，因为在上单调递增，所以在上单调递减，又，所以，所以当时，，当时，，由对称性当时，，当时，所以的符号随的变化情况如