2022年四川省自贡市中考数学试卷

2022年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×1063．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．4．（4分）下列运算正确的是（）A．（﹣1）2＝﹣2 B．（+）（﹣）＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣）0＝05．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）A． B． C． D．7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90° B．100° C．110° D．120°8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是149．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（4分）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（）A．5 B．5 C．8 D．911．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案212．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2|＝．14．（4分）分解因式：m2+m＝．15．（4分）化简：•+＝．16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是鱼池．（填甲或乙）17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝，EF＝；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．

2022年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°【分析】根据对顶角相等可得∠2＝∠1＝30°．【解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝30°．故选：A．【点评】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：180000＝1.8×105，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【分析】将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．故选：A．【点评】本题考查生活中的立体图形，理解“点动成线，线动成面，面动成体”，是正确判断的前提．4．（4分）下列运算正确的是（）A．（﹣1）2＝﹣2 B．（+）（﹣）＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣）0＝0【分析】根据有理数的乘方判断A选项；根据平方差公式判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据零指数幂判断D选项．【解答】解：A、原式＝1，故该选项不符合题意；B、原式＝（）2﹣（）2＝3﹣2＝1，故该选项符合题意；C、原式＝a3，故该选项不符合题意；D、原式＝1，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，平方差公式，同底数幂的除法，零指数幂，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）．故选：B．【点评】本题考查的是菱形的性质，关于原点对称，掌握菱形对角线互相平分是解本题的关键．6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是14【分析】分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．【解答】解：A选项，平均数＝（13+14+15+14+14+15）÷6＝14（岁），故该选项不符合题意；B选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数＝＝14（岁），故该选项不符合题意；C选项，方差＝×[（13﹣14）2+（14﹣14）2×3+（15﹣14）2×2]＝，故该选项不符合题意；D选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．10．（4分）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（）A．5 B．5 C．8 D．9【分析】根据切线的性质得到∠OTP＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OT的值，根据勾股定理即可求解．【解答】解：方法一：如图，∵PT与⊙O相切于点T，∴∠OTP＝90°，又∵OP＝10，∠OPT＝30°，∴OT＝OP＝×10＝5，∴PT＝＝＝5．故选：A．方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，∴PT＝OP•cos30°＝10×＝5．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C．【点评】本题考查了计算几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2|＝2．【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|＝2．故答案为：2．【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．14．（4分）分解因式：m2+m＝m（m+1）．【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：m2+m＝m（m+1）．故答案为：m（m+1）．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．15．（4分）化简：•+＝．【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：•+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池．（填甲或乙）【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．【解答】解：由题意可得，甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝2000（条），乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝1000（条），∵2000＞1000，∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，故答案为：甲．【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是求出两个鱼池中鱼苗的数量．17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），设镜面半径为x厘米，由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为3．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，∴在数轴上表示不等式组的解集为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【分析】要证明∠D＝∠E，只要证明△ABD≌△ACE即可，根据等边三角形的性质和SAS可以证明△ABD≌△ACE，本题得以解决．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠D＝∠E．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明△ABD≌△ACE．21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间﹣汽车用的时间＝2，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意可得：﹣2＝，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．【分析】（1）利用抽查的学生总数＝A等级的人数÷对应的百分比计算，即可求D等级的人数；（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．【解答】解：（1）n＝＝100，∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，∴所求概率＝＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y＝求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，∴其函数解析式为y＝﹣；∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，∴﹣m＝﹣2，∴m＝2，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，∴AD＝3，D（2，2），∵DC＝2DA，∴DC＝6，∵点C是直线l上一动点，∴C（2，8）或（2，﹣4）．【点评】本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH的长，由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴＝，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求P