初中数学知识点归纳全

初中数学知识点归纳全第一章《有理数》总复习一、本章知识结构图正整数0整数加法减法负整数有理数有理数的运算交换律分配律结合律点与数的对应正分数分数负分数数轴乘法除法比较大小乘方一、基本概念1、正数与负数?表示大小?在实际中表示意义相反的量?带“-”号的数并不都是负数1(正数、负数和零的概念正数负数零0叫做零，0既不是正数也不是负数象1、2.5、、48象-1、-2.5，，-48等大于零的数叫正数等小于零的数叫负数1)对于正数和负数的概念，不能简单的理解为:带“，”号的数是正数，带“,”号的数是负数。2)引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，3)到现在为止，我们学过的数细分有五类:正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类:正数、0、负数，进行讨论。4)通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数;负整数和0统称为非正整数。分数和小数的区别:分数(既约分数)都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的。如圆周率就不能表示成分数。5.数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。0的意义已不仅是表示“没有”.2、数轴,原点,?三要素正方向,,单位长度,应用定义三要素数形结合原点帮助理解有理数的概规定了原点、比较有理数大小，念，每个有理数都可用正方向、单位数轴上右边的数正方向数轴上的点表示，但数长度的直线总比左边的数要轴上的点并非都是有理叫数轴大单位长度数1(数轴的概念(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(这里包含两个内容:一是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可(二是这三个要素都是规定的((2)数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数(2(数轴的画法(1)画直线(一般画成水平的)、定原点，标出原点“O”((2)取原点向右方向为正方向，并标出箭头((3)选适当的长度作为单位长度，各点。)标注数字时，负数的次序不能写错，(43(用数轴比较有理数的大小(1)在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。(2)由正、负数在数轴上的位置可知:正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。(3)比较大小时，用不等号顺次连接三个数。正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数(因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以，我们可以用，表示是正数;反之，知道是正数也可以表示为。同理，，表示是负数;反之是负数也可以表示为。3(正数轴常见几种错误1)没有方向2)没有原点3)单位长度不统一?数轴上的点与有理数3、相反数?只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0?a的相反数-a?a与b互为相反数a+b=0相反数的意义(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数(2)从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。(3)0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。(4)相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。相反数的表示在一个数的前面添上“,”号就成为原数的相反数。若表示一个有理数，则的相反数表示为,。在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，，7=7，特别地，，0=0，,0=0。相反数的特性若互为相反数，则，反之若，则互为相反数。相反数是它本身的数是04(多重符号化简(1)相反数的意义是简化多重符号的依据。如是,1的相反数，而,1的相反数为+1，所以。(2)多重符号化简的结果是由“,”号的个数决定的。如果“,”号是奇数个，则结果为负;如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。5、绝对值?一般地，数轴上表示数a的点与原点距离，表示成,a,。a(a?0),?,a,=,-a(a?0),1(绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零(2(绝对值的几何定义在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值(3(绝对值的主要性质(2)一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|?0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零((4)两个相反数的绝对值相等(运用绝对值比较有理数的大小1(两个负数大小的比较,因为两个负数在数轴上的位置关系是:绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小.比较两个负数的方法步骤是:(1)先分别求出两个负数的绝对值;(2)比较这两个绝对值的大小;(3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断(2(两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，绝对值大的较大(6、倒数:知识结构?乘积是1的两个数叫作互为倒数。即:，则互为倒数。1?a的倒数是(a?0)a?a与b互为倒数ab=1关于倒数的求法要注意:(1)求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可((2)正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数((3)负倒数的定义:乘积是,1的两个数互为负倒数((4)0没有倒数?倒数是它本身的数是?1?绝对值是它本身的数是非负数?平方等于它本身的数是0，1?立方等于经本身的数是?1，0数轴上表示相反数的两个点和原点的关系:关于原点对称7、乘方1(求个相同因数的积的运算，叫做乘方(乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数(一般地，在中，取任意有理数，取正整数(注意:乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果(看作是的次方的结果时，也可读作的次幂((1)当时，(为正整数);(2)当(3)当时，(为正整数);(4)(为正整数);(为正整数);(为正整数，为有理数)(?乘方和幂的区别(?与的区别(乘方符号法则负数的积次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是08、科学记数法?把一个绝对值大于10的数表示成a?10n(其中1?,a,,10，n为正整数)?指数n与原数的整数位数之间的关系。9、近似数与有效数字?准确数、近似数、精确度精确到万位,,?精确度精确到0.001,保留三个有效数字,?近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。,?有效数字?如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法10、有效数字:一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字(明确近似数的有效数字需注意的两点:一是从左边第一个不是零的数起;二是从左边第一个不是零的数起，到精确的位数止，所有的数字，如果是整数有效数字是构成整数的个数如果是小数，有效数字是这个小数从左边的第一个非0的数字数起到未位为止二、有理数的分类1、按整数与分数分正整数,整数0,,,负整数,,有理数,,正分数,,,,分数,负分数,,2、按正负分,正整数,正有理数,,正分数,,,有理数0,负整数,,,负有理数,,负分数,,三、有理数的运算知识结构1有理数加法法则:(1)同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数如果是同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝对值相等，则和为0;如果绝对值不相等，则和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较小的绝对值的差。一个数与0相加，仍得这个数。加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)2有理数减法法则:减去一个数，等于加这个数的相反数.a,b=a+(,b)引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算a+b,c=a+b+(-c)知识结构知识结构3有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得0.方法规律先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值1(有理数乘法法则，实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。2(两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”(绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法(3(基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。4(几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0(反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0(5(小学学过的乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘法仍适用，需注意的是这里的字母a、b、c既可以是正有理数、0，也可以是负有理数。6(如果因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)分配律:a(b+c)=ab+ac4有理数除法法则:1除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.2两数相除，同号得+，异号得-，并把绝对值相加。0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法有两种法则。法则1:除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序:一确定符号;二计算绝对值。5乘方符号法则:负数的积次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0五种运算:运算:加、减、乘、除、乘方;运算结果:和、差、积、商、幂;混合运算顺序:?三级(乘方)二级(乘除)一级(加减);?同一级运算应从左到右进行;?有括号的先做括号内的运算;?能简便运算的应尽量简便。第二章《一元一次方程》总复习一、主要概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程。2、一元一次方程:只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程具有以下几个特点:1、必须是等式的形式;2、只含一个未知数;3、未知数的次数是1次;4、分母中不含未知数(因此只有同时满足以上四个特点的等式叫一元一次方程(3、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。4、解方程:求方程的解的过程叫做解方程。二、等式的性质等式的性质1:等式两边都加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。这两个分别是移项和去分母的依据(三、解一元一次方程的一般步骤及根据1、去分母-------------------等式的性质22、去括号-------------------分配律3、移项----------------------等式的性质14、合并----------------------分配律5、系数化为1--------------等式的性质26、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等四、解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数;2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号;3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号;4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项;5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号;6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。7要注意所求得的解是否为原方程的解(即解完方程后，应将所求得的解分别代入方程的左右两边，如果左边,右边，说明所求的解是原方程的解;如果左边?右边，说明求解过程有错误，应认真检查看是哪一步计算出了错(这一步可以不写在书面上，但是不可疏漏(五、列方程解应用题的一般步骤1、审题2、设未数3、找相等关系4、列方程5、解方程6、检验7、写出答案等式?方程?方程的解1(等式与方程的区别表示相等关系的式子叫做等式(含有未知数的等式叫做方程，可见方程必须具备两个条件:一是必须含有未知数，二是必须是一个等式(2(等式性质的应用应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意:(1)强调一个“都”字(性质1告诉我们，等式两边都加上(或减去)同一个数，所得的结果仍然是等式;性质2也有个“都”字，要求对等式进行变形的方式要保持对等，也就是说，变形必须两边同时进行(3(方程的解与解方程方程是一个有待于研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么确定数值时等式才成立(解方程的任务就是“确定使方程左右两边相等的未知数所取的数值”，我们把这个值叫做方程的解(一元方程的解又叫做“根”)(这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一解、多解，也可能无解(如3x-5=4x+3的解只有一个x,-8，方程2x-7,5x-(3x+7)的解就有无数个，而方程2x-3,2x+2则无解(求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程(利用等式的性质，通过一定的变形，就可以求出方程的解(4(方程解的检验方法要检验一个数是不是方程的解，其方法是:将这个数代入方程的左边和右边，计算其左、右两边的值，如果左、右两边的值相等，那么这个数就是方程的解;如果左、右两边的值不等，那么这个数就不是方程的解(第三章《图形初步认识》总复习(一)多姿多彩的图形一、常见的立体图形(1)柱体:?棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。?圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱(2)锥体:?棱锥::有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。如三棱锥、四棱锥、五棱锥等。?圆锥:以直角三角形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。(3)球体:半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体叫做球体。(4)多面体:围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫做多面体。如图:下列图形分别为:棱柱(长方体)、棱锥(三棱锥)、圆柱、球体、圆柱。温馨提示:空间想象能力的培养必须以日常观察为基础，从不同的方向看立体图形关键是要分清楚物体各部分上下左右的关系。二、平面图形:立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往要从平面图行开始。圆是由曲线围成的封闭图形，由线段围成的封闭图形叫做多边形，它具有两个基本性质:?由线段围成，?是一个封闭的图形。按边数多边形可以分为:三角形、四边形、五边形等。在多边形中三角形是最基本的图形，任何一个多边形都可以分割为若干个三角形，特别是从n边形的一个顶点出发，可以将它分为(n,2)三角形。三、立体图形的画法――三视图法?视图的概念:从正面、上面、左面三个方向看一物体，然后描绘出三张所看到的图即视图，这样就把立体图形转化为了平面图形。?正视图、俯视图、左视图的概念:从正面看到的图形称为正视图;从上面看到的图形称为俯视图;从左面看到的图形称为左视图。?视图和立体图形的联系:由立体图形可以画出该物体的三视图，反之，由立体图形的三视图可以说出立体图形的形状。四、立体图形的展开图:)圆柱和圆锥的展开图:(1圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长和宽分别为圆柱的高和底面周长，圆锥展开是一个扇形。(2)棱柱和棱锥的展开图:棱柱和棱锥都是由平面围成的多面体，沿它们的某些棱剪开，所得到的平面图形就是它们的平面展开图，对于同一个立体图形当我们按不同的方式展开式，得到的平面图形是不同的。(3)根据展开图判断立体图形的规律:?展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体;?展开图中有圆和长方形时一般是圆柱;?展开图中有扇形时应考虑是圆锥;?展开图中有三角形时应考虑棱锥或棱柱，当展开图中有两个三角形和3个长方形应为三棱柱，如果全是三角形(4个)时应为三棱锥。多姿多彩的图形导学一、立体图形我们生活在立体三维世界中，随时随地看到和接触到的物体都是立体的(有些物体，像石头、植物等呈现出极不规则的奇形怪状(同时也有许多物体有较为规则的形状(我们研究的是一些具有较为规则形状的物体(如柱体、锥体、球体等(1(常见的立体图形日常生活中，我们常见这几种立体图形:圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球(说明:?(长方体和正方体都属于棱柱，因为它们比较常见，为大家所熟悉，所以在此单独列出(?(棱柱分为直棱柱和斜棱柱((1)柱体?圆柱:底面是圆，侧面是曲面(如图)(?棱柱:底面是多边形，侧面是长方形或者正方形(棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等(如图)((2)锥体?圆锥:底面是圆，侧面是曲面(如图)(?棱锥:底面是多边形，侧面是三角形(棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等(如图)((3)球体:封闭曲面组成的图形((4)多面体:围成立体图形的面都是平的面，像这样的立体图形又称为多面体(2(棱柱与圆柱的区别及联系棱柱与圆柱有相同之处，又有许多差别，如何正确区分它们呢,3(圆柱与圆锥的区别及联系圆柱与圆锥能比较容易地区别开来，那么它们之间有什么相同或不同之处呢,二、平面图形日常生活中，我们还会遇到很多平面图形(planefigure)(长方形、正方形、三角形、圆等都是一些我们十分熟悉的平面图形(生活中经常遇到一些由简单的平面图形组合成的优美图案(三、视图“横看成岭侧成峰，远近高低各不同(不识庐山真面目，只缘身在此山中(”这是宋代诗人苏轼的《题西林壁》(这首诗说的是:从前面看，觉得庐山是一座又开阔又高大的山岭;从侧面看，又觉得庐山是一座险峻陡峭的高峰;再从远处和近处，从高处和低处看庐山，总觉得它千姿百态，变化无穷(我实在说不出到底什么才是庐山的真面目，因为我自己就在庐山中呀(这首诗正是诗人从不同方向观察同一物体看到了不同的景观的结果(下面我们也学着用诗人的眼光去从不同方向观察同一物体(1(三视图主视图:从正面看到的图，左视图:从左面看到的图，俯视图:从上面看到的图(下面我们看几个由小正方体搭建成的图如下图所示:当我们从正面看就得到主视图;从左面看就得到左视图;从上面看就得到俯视图((如下图所示)四、立体图形的平面展开图许多立体图形是由一些平面图形围城的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形(这就是我们以下要研究的立体图形的平面展开图(net)(我们以正方体为例进行研究(将正方体展成一个平面图形，是指正方形的六个面展开后所成的六个正方形中的每一个至少有一条边与其他的正方形的某条边重合即相连(那么，具体应该怎样操作呢,我们都知道，正方体有6个面，12条棱，如果把它展成平面图形，6个正方形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连(因此，我们从它的上底面入手，先将上底面中的四条棱中剪开三条，然后沿着和连着的棱有公共点的侧棱顺次剪下去，到达下底面，然后再将下底面的四条棱中剪开三条，便可得到正方体的平面展开图(如图，我们给正方体的12条棱进行编号(如果沿着棱???????????剪开，我们就得到展开图(1);如果沿着????????????展开，就得到展开图(2);如果沿着????????????展开就得到图(3);如果沿着???????????展开，就可得到图(4)(展开的方法很多，刚才的展开图，都是沿着和边?有公共点的边?剪开的，如果沿着和边?也有公共点的边?剪开后，和以上四种展开图差不多(如果沿?继续剪开，正方体的平面展开图经过旋转，平移等都可以得到以上四种展开图，因此，我们在此不考虑由于旋转等造成的相对位置不同，将这种展开方式归于前面一类(同样将上底面的?????这三条棱展开，但接下来不沿着和?有公共点的棱?剪，而是沿着和?无公共点的侧棱?或?继续剪至下底面的三条棱，便可得到如下两个平面展开图(图(5)、图(6))我们可以观察以上六个立方体的平面展开图，它们有规律可寻找吗,这六个平面展开图有共同的特性，中间连排的四个正方形恰好是正方体的侧面，而分布侧面两边的两个正方形无论和四个侧面中的哪一个相连，都能是正方体的平面展开图(那么，是不是立方体的平面展开图只有六种呢,我们还像前面那样给正方体的每条棱做同样的编号，如果沿着?????剪开后，再分别沿着????和?剪开，便可得到展开图(7)(类似的还可以得到图(8)、(9)(在以上的几种展开图中，是侧面的三个或四个正方形相连，如果让他们两个两个相连结果会如何呢,我们剪出六个同样大小的正方形作为正方体的六个面，将这六个面摆成下面两个图的情形，如图(10)、(11)，然后将它们折叠，结果发现这六个面围成了一个正方体(只要沿着?????剪开后，再分别沿??和?以及?剪开便可得到图(10)(沿着?????剪开后，再将????和?剪开，便得到展开图(11)(我们再来看，如图(12)，这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体(答案是否定的(因为把一个正方体展开后6个正方形的每一个正方形至少有一边与其他正方形的某边重合，在这个图中，虽然满足了上面的要求，但右上角的正方形和相邻的三个正方形相连的情形是无法折叠起来的，因此不能围成一个正方体(那么，将正方体的某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开几条棱呢,由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱(即未剪开的棱)有5条，因此需剪开7条棱(五、点、线、面、体几何体也简称体(solid)(我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体(包围着体的是面(surface)(面有平的面和曲的面两种(平静的水面(如图)给我们以平面的形象，而酒杯(如图)的凹槽则给我们以曲面的形象(夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线(如图)，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案(如图)，这些都给我们以线(line)的形象(面和面相交的地方形成线(天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点(point)的形象，线和线相交的地方是点(点、线、面、体之间的关系:点动成线，线动成面，面动成体(几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素(点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界(立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。,1、几何图形,平面图形:三角形、四边形、圆等。,主(正)视图---------从正面看,2、几何体的三视图侧(左、右)视图-----从左(右)边看,俯视图---------------从上面看,(1)会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图。(2)能根据三视图描述基本几何体或实物原型。3、立体图形的平面展开图(1)同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。(2)了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。4、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。线:面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面:包围着体的是面，分为平面和曲面。体:几何体也简称体。(2)点动成线，线动成面，面动成体。一.快速识别正方体的平面展开图图形分类正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四情形.1.1,4,1型:展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均1个正方形，如图1中所示.图12.2,3,1型:展开图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2中所示.图23.2,2,2型:展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.图3图44.3,3型:展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.规律:这里给出几种不是正方体的展开图的情况:(1)出现“田”字格;(2)出现“”的形状;(3)连续四个正方形连成一行，而另外两个都在这“一行”的同侧;(4)连续五个连成一行。记住上面这四个规律，解答时采用排除法又快又准。二.快速确定正方体的“对面”I如下图，我们先来统一以下认识:把含有图(1)所示或可由其作旋转后的图形统称为“”型图;把所给平面图Z中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋转后的图形统称为“”型图。(1)(2)(3)(4)ZI结论:如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“”型图或“”型图两端的正方形(阴影部分)必为折成正方体后的对面。应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。(二)直线、射线、线段直线1、直线的两种表示方法:(1)用直线上的两个大写字母表示(如图:记作直线(表示直线的两个大写字母可以是直线上的任意两点，两个字母的顺序可以随意排放(2)用一个小写字母表示(如图:记作直线(若点C是线段AB的中点，则有AC=BC=AB或AB=2AC=2BC.两点间的距离:连接两点之间的线段的长度.直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单地:两点确定一条直线。点与直线的位置关系(1)点在直线上，如图，叙述方法:点在直线上，或直线经过点((2)点在直线外，如图，叙述方法:点在直线外，或直线不经过点(相交直线如果两条直线有一个交点，我们叫这两条直线相交(这个公共点叫做它们的交点，这两条直线叫相交直线(射线射线:直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点(射线的表示方法(1)可以用两个大写字母表示:代表端点的字母写在前面。(2)射线也可以用一个小写字母表示(线段线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段(这两点叫做线段的端点(4(线段的表示方法线段的两种表示方法:1、为端点的线段，可以记作线段或线段对字母的排放顺序没有要求;2也可以记作线段(线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等定义:把一条线段平均分成两条相等线段的点。图形:AMB符号:若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。线段的性质两点的所有连线中，线段最短。简单地:两点之间，线段最短。线段的画法(1)画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况((2)以后我们说“连结”就是指画以、为端点的线段(说明:“连结”是几何的专用名词，专指画出两点间的线段的意思(线段大小比较的两种比较方法:1重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置(步骤有三:(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合((2)线段AB沿着线段CD的方向落下((3)若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD(若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB,CD(若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB,CD(2度量法直线射线线段区别联系直线射线线段图形直线上的一点和它直线上两个点和它一旁的部分叫做射们之间的部分叫做定义线，这个点叫做射线段(这两点叫做线线的端点(段的端点(联系射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有限部分(直线无端点，长度无限，向两方无限延伸(射线只有一个区别端点，长度无限，向一方无限延伸(线段有两个端点，长度有限(端点个数无一个两个直线a线段a表示法射线AB直线AB(BA)线段AB(BA)作线段a;作直线AB;作法叙述作射线AB作线段AB;作直线a连接AB延长线段AB;延长叙述不能延长反向延长射线AB反向延长线段BA端点个延伸方向可否度量表示方法相同点数线段2无能两种向一方延都是直的，由无数个点组射线1不能两种伸成，没有粗细之分，线段、射线都是直线的一部分。向两方延直线0不能两种伸1、直线没有端点，他可以向两方无限延伸，因此他的长度是无限的，我们不能度量他的长度;射线有一个端点，他可以向一方无限延伸，因此他的长度也是无限的;线段有两个端点，他不能向任何一方延伸，所以既可以度量他们的长度，也可以用度量法或叠合法(即把其中一条线段移到另一条线段上去)比较他们的大小。另外，线段不能延伸，但他可以延长，而直线和射线能延伸，却不能延长。特别地，射线可以反向延长。2、如图，三兄弟都可以用一个小写字母来表示，但用大小字母来表示时，就要注意:?线段用表示端点的两个字母来表示，图1中的线段可表示为线段AB或线段BA;?射线用表示端点的字母和表示射线上另一点的字母来表示的，这两个字母有严格的先后顺序，必须把表示端点的字母写在前面，图2中的射线只能表示为射线OC;?直线可以用它上面的任意两个点的字母来表示，图3中的直线可表示为直线DE或直线ED。3、如图3，过点D和E有且只有一条直线，即两点确定一条直线，这里的“确定”和“有且只有”的含义相同。“有”是指直线的存在性，“只有”指直线的惟一性。不难看出，过点D、E的线段和射线都是存在的，但他们都不是惟一的。4、线段是三兄弟中最小的，他的故事却是最多的，这里先向大家介绍两个:(1)把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如图，若点C是线段AB的中点，则有1AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC。2(2)两点之间，线段最短。(三)角1.角的相关概念及计算角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边(角:角还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2、角的表示法(四种):平角、周角的概念射线绕点旋转，终止位置和起始位置成一条直线时，所成的角叫平角，如图2所示(同样可表示为，顶点，两边为射线和射线(继续旋转，回到起始位置时，所成的角叫做周角，如图3所示(周角的顶点为，两边重合成一条射线(直线上取点表示点在直线上的位置，而平角是由顶点和边组成的角这一几何图形(3、角的度量单位及换算度、分、秒的互换:如果一个角比1?还小，那么怎样度量它的大小,为了更精密地度量角(我们把1?的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作1';又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作1''(即1?,60'，1',60''(这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的(4、角的分类?β锐角直角钝角平角周角范围0,?β,90??β=90?90?,?β,180??β=180??β=360?知识结构5角的大小的比较有两种方法:(1)重合法:即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置;?与重合，等于，记作(?落在的内部，小于，记作(?落在的外部，大于，记作(在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关(这是因为角的边是射线而非线段(若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大((2)度量法:即比较两个角的度数(利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小(6角的和、差、倍、分(1)在内部时，是与的差，记作:((2)在外部时，是与的和，记作:(7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15?的倍数的角，在0,180?之间共能画出11个角。(2)借助量角器能画出给定度数的角。(3)用尺规作图法。8、角平分线定义:一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(几何语言表示:是的平分线，(或)(对于角平分线的概念，要注意以下两点:(1)它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分((2)要掌握角平分线的数学表达式:若OC是的平分线，则或知识结构9、互余、互补(1)若?1+?2=90?，则?1与?2互为余角。其中?1是?2的余角，?2是?1的余角。(2)若?1+?2=180?，则?1与?2互为补角。其中?1是?2的补角，?2是?1的补角。(3)余(补)角的性质:等角的补(余)角相等。?与互补，?即(?与互补，?即(?，?(若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角(理解这两个概念，要把握以下几点:(1)必须具备两个角;(2)两个角的和是一个定值:互余两角的和是，互补两角的和是;(3)与两个角的位置无关，只考虑两角间的数量关系(10、方向角(1)正方向(2)北(南)偏东(西)方向(3)东(西)北(南)方向第四章数据的收集与整理一、数据处理的一般过程描全面调查收整分得表格统计图述集理析出格不格不入数数数数结入据据据据论抽样调查二、设计调查问卷的步骤1、确定调查目的2、选择调查对象3、设计调查问题三、设计调查问卷时要注意1、提问时不涉及提者个人的观点2、不要提人们不原意回答的问题3、提供的答案要尽可能全面4、问题应简明5、问卷应简短1.普查、抽样调查的概念为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.普查可以直接获得总体的情况，但有时总体中个体的数目较多，普查的工作量较大;有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查;有时普查具有破坏性，不允许普查，这时人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查.如何从总体中选取样本比较合理要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个性，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这种理想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样.简单随机抽样，也叫纯随机抽样.其特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性.简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础.通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法.为了确保调查结果的准确性，调查对象在总体中要有代表性，样本容量要足够大.如何进行随机抽样常见的随机抽样方式有以下几种:1.抽签法抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，记下号签上的号码，就得到一个容量为n的样本.抽签法的优点是简单易行;缺点是，当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便.2.随机数表法用抽签法抽取样本时，编号的过程有时可以省略(如用已有编号)，但制签的过程就难以省去了，而且，制签也比较麻烦.简化抽签过程的一个有效办法就是制作一个表，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表.于是，我们只需按一定的规则到随机数表中选取号码就可以.这种抽样方法叫随机数表法.用随机数表法抽取样本的步骤是:?将总体中的所有的个体编号(每个号码位数一致);?在随机数表中任选一数作为开始;?从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过，若在编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止;?根据选定的号码抽取样本.除此之外还有计算机模拟法和使用统计软件直接抽取等方法.2.总体、个体、样本的概念总体:普查时，所要考察对象的全体称总体.个体:普查时，组成总体的每一个考察对象称为个体.样本:抽样调查时，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.3.为使所抽取的样本具有代表性，常采用以下方法:(1)随机抽样，这种方法常用于当总体中个体较少时;(2)系统抽样，当总体中个体较多时，按随机抽样很难，可将总体分成均衡的几个部分，按规则从每一部分抽取相同个数的个体;(3)分层抽样，当总体由有明显差异的几个部分组成时，随机抽样与系统抽样其代表性均不强，这时可将总体按差异情况分成几个部分，按各部分所占比例进行抽样.4.抽样调查的范围小，节省时间、人力、物力，为了获得较为准确的调查结果，抽样时既要注意样本的大小，同时又要注意样本的代表性和广泛性.第5章《二元一次方程组》总复习【回顾与思考】1(二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(从定义中可以看出:二元一次方程具备以下四个特征:(1)是方程;(2)有且只有两个未知数;(3)方程是整式方程，即各项都是整式;(4)各项的最高次数为1.2(二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点:一是方程组中每一个方程都是一次方程;二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数3(二元一次方程的一个解符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解(一般地二元一次方程的解有无数个(二元一次方程组的解4二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解(定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解(5.解二元一次方程组的基本思路是消元，使之转化为一元一次方程，•消元的方法有代入消元法和加减消元法(代入消元法:由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.加减消元法:两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.1.代入法解二元一次方程组的基本思路2(用代入法解二元一次方程组的步骤((1)变形()(2)代入消元()(3)解一元一次方程得()(4)把代入求解3(用代入法解二元一次方程组的技巧:?变形的技巧?代入的技巧(加减法解二元一次方程组的步骤(?变形，使某个未知数的系数绝对值相等(?加减消元(?解一元一次方程(?代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解(6(列一次方程组解应用题的基本方法与列一元一次方程解应用题的方法相似(列一次方程组解应用题的常见题型有以下几种情形:(1)和、差、倍、分问题，使两数和,较大的数，较小的数，•较大的数,较小的数?倍数?增(或减)数;(2)行程问题，即路程,速度?时间;(3)工程问题，即工作量,工作效率?工作时间;(4)浓度问题，即溶质质量,溶液质量?浓度;(5)分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系;(6)等积问题，即变形前后的质量(或体积)不变;(7)数学问题，即若个位的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为100c+10b+a，等等;(8)经济问题，即利息,本金?利率?期数;•本息和,本金，利息,本金，本金?利率?期数;税后利息,本金?利率?期数?(1,利息税率);•商品的利润,商品的售价,商品的进价;商品的利率率,?100%;等等(第6章《不等式》总复习【回顾与思考】知识框图同学们可根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.二、知识要点1.不等式的概念2用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式(如:x,1,2，3,4?4,3，a,0，a?0等都是不等式(2.不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的数叫做这个不等式的解(对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集(求不等式的解集的过程，叫做解不等式(3.用数轴表示不等式的方法一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况(用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律:大于向右画，小于向左画，有等号(?，?)画实心点，无等号(>，<)画空心圈(常用的不等号有五种，其读法和意义是:(1)“?”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小.(2)“,”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.(3)“,”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.(4)“?”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量.(5)“?”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量.如何恰当地列不等式表示不等关系,(1)找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.(2)正确理解题目中的关键词语，如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.(3)选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.4.不等式的基本性质不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变(不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变(不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(5.一元一次不等式的概念及解法一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式(一元一次不等式的解法:解一元一次不等式的一般步骤:?去分母;?去括号;?移项;?合并同类项;?将项的系数化为1(注意:解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤(6.一元一次不等式组的概念及解法一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组(几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集(求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组(当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集(一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集(求不等式组公共解的一般规律:同大取大，同小取小，一大一小中间找.知识要点:1(表示大小关系的式子叫做不等式(含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(不等式有下列三个重要性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(2(解一元一次不等式与解一元一次方程基本相同，只是在化系数为1时注意不等式性质的运用，另外，不等式的最后结果是一个解集，确定不等式组的解集时应区分以下四种情况:(1)同大取大;(2)同小取小;(3)大于小的，小于大的，取公共部分;(4)大于大的，小于小的，无解(3(列不等式解应用题的基本方法与列一元一次方程解应用题的方法基本相同(知识结构1(不等式的概念用不等号(“,”、“,”或“?”表示不等关系的式子，叫做不等式(另外，(“?”是把“,”、“,”)结合起来，读作“大于或等于”，或记作“?”，亦即“不小于”)、(“?”是把“,”、“,”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“?”，也就是“不大于”)等等，也都是不等式(一、不等式的基本性质1(不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变(若，则，(2(不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变，若，，则(3(不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若，，则(知识结构一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合(简称为这个不等式的解集(不等式一般有无限多个解(求不等式的解集的过程，叫做解不等式(不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合，简称不等式的解集(1.不等式的解与方程的解的意义的异同点相同点:定义方式相同(使方程成立的未知数的值，叫做方程的解);解的表示方法也相同(不同点:解的个数不同，一般地，一个不等式有无数多个解，而一个方程只有一个或几个解.2.不等式的解与解集的区别与联系不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解(注意:不等式的解集必须满足两个条件:第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立;第二，解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立(3.不等式解集的表示方法(1)用不等式表示一般地，一个含未知数的不等式有无数多个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来((2)用数轴表示大于向右画，小于向左画;有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈(知识结构1)一元一次不等式和一元一次方程概念的异同点相同点:二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，左、右两边都是整式(不同点:一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系((3)同方程类似，我们把或叫做一元一次不等式的标准形式(2)一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点相同点:步骤相同，二者都是经过变形，把左边变成，右边变为一个常数(不同点:在进行第(1)步去分母和第(5)步将项的系数化为1的变形时，要根据同乘(或同除)的数的正负，决定是否要改变不等号的方向(当然，如果不能确定同乘(或同除)的数的符号时，就要进行讨论(这正是解不等式时最容易发生错误的地方(注意:(1)解方程的移项法则对解不等式同样适用((2)解不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而百的顺序，要根据不等式形式灵活安排求解步骤(熟练后，步骤及检验还可以合并简化(只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程(一元二次方程的标准形式是(只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式(一元一次不等式的标准形式为或注意问题:判断一个不等式是否为一元一次不等式，应先将它化成最简形式，再用定义判断(形如的不等式不是一元一次不等式，而是矛盾不等式(解一元一次不等式与解一元一次方程有类似的步骤，但一定要注意当不等式的两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号要改变方向(由两个一元一次不等式组成的不等式的解集，共归结为下面四种基本情况:不等式组公共解的一规律:同大取大，同小取小，一大一小中间找知识要点回顾1，不等式(组)的有关概念:不等式:用不等号表示不相等关系的式子;不等式的解:能使不等式成立的未知数的值;不等式的解集:一个不等式所有解的集合;一元一次不等式:只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式，其标准形式为ax,b,0或ax,b,0(a?0);一元一次不等式组:两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组;不等式组的解集:组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集.2，不等式的基本性质:不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.用字母表示为:如果a,b，那么a?c,b?c.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.ab用字母表示为:如果a,b，且c,0，那么ac,bc(,).cc不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.ab用字母表示为:如果a,b，且c,0，那么ac,bc(,).cc3，一元一次不等式与一元一次方程的对比:区别:?概念含义不同:一元一次不等式的一般形式是ax,b或ax,b，(a?0)，表示不等关系;而一元一次方程的一般形式是ax,b(a?0)，表示相等关系;?解法的根据不同:解不等式的根据是不等式的三条性质，而解方程的根据是等式性质，特别是两边同乘以(或除以)一个负数时，不等式的不等号方向要改变，而方程的等号不变;?解不同:一元一次不等式的解是一个范围，是一个集合(即解集)，而一元一次方程的解是一个特定的解.联系:?它们都是含有一个未知数，未知数的次数都是1，系数不等于,;?解法的五个步骤相同:?去分母;?去括号;?移项;?合并同类项;?系数化1.解不等式时要根据实际题目的要求做到灵活安排，并合理选取解题步骤，需要注意的是系数化1时，如果不等式两边乘以或除以同一个正数，则不改变不等号的方向;但不等式两边乘以或除以同一个负数，则一定要改变不等号的方向.4，一元一次不等式组的解法:先分别求出不等式组中的每个不等式的解集;再求出它们的公共部分，找公共部分的方法有两种:一是数轴法:将不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解.二是口诀法:?大的取大的;?小的取小的;?大的要小，小的要大，取公共部分;xa,,xa,,,,?大的要大，小的要小，无解.则有:?的解集是x,b,即“大的取大的”;?的解集是x,a,即“小的,,xb,xb,,,xa,,xa,,,,取小的”;?的解集是a,x,b，即“大的要小，小的要大，取公共部分”;?的解集是空集,即“大的,,xb,xb,,,要大，小的要小，无解”.5，一元一次不等式和一元一次不等式组应用.四、易混、易错问题梳理1，搞清不等号与一些词语含义的对应关系，如:“,”表示大于、高出、多于、超过，“,”表示小于、低于、不足、合算，“?”表示大于或等于、不少于、不低于、至少，“?”表示小于或等于、不大于、不超过、至多弄清“或”与“且”的用法:“或”表示两者居其一即可，而“且”表示两者必须同时符合，缺一不可.2，3，在数轴上表示解集时注意:(1)方向:向左表示小于、向右表示大于;(2)空心点表示不包括，实心点表示包括该点表示的数(即含有等于).4，解不等式(组)要注意:(1)迁移错误(由解方程迁移来的错误);(2)性质使用不当;(3)概念理解不清;(4)移项不变号;(5)不等方向问题等.5，特别要注意不等式的性质3的应用.6，注意对一元一次不等式和一元一次不等式组的整数解、非负整数解等特殊解的理解和求法.不等式与方程“五对比”不等式与方程既有区别，又有联系(下面以一元一次不等式与一元一次方程为例，对比如下:一.概念的对比含有未知数的等式叫方程(而“只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1”的方程叫一元一次方程(用“<”或“>”号表示大小关系的式子，叫做不等式(而“类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1”的不等式叫做一元一次不等式(,,,,,由上可以看出，一元一次不等式与一元一次方程不同的是:前者是用不等号(、)将代数式连接而成，,,axb，,0axb，,0a,0它的一般形式是:或()，后者(方程)是用等号()将代数式连接而成，它的一般形式,是:axba，,,0(0)(二者的相同点是:(1)都只含有一个未知数;(2)含未知数的式子是整式;(3)未知数的次数是1(二.变形依据的对比一元一次不等式的变形依据是不等式的性质，而一元一次方程的变形依据是等式的性质，如下表:不等式的性质等式的性质ab,ba,ab,ba,若，则(反对称性)若，则(对称性)若ab,，bc,，则(传递性)ac,若，则(传递性)ac,abbc,,,ab,acbc,,,ab,acbc,,,若，则(性质1)若，则(性质1)abab,c,0acbc,若，，则，,abccacbc,若则，,abc,,,0(性质2)cc(性质2)abab,c,0acbc,若，，则，,cc(性质3)由此可知:等式两边都乘(或除)以同一个数时，只需考虑这个书是否为零，而不等式两边都乘(或除)以同一个数时，除了考虑这个数不能为零外，还必须考虑这个数的正负性(三.求解过程的对比在求解一元一次方程与一元一次不等式时，二者一般都经过“去分母”、“去括号”、“移项”、“合并同类项”、“系数化为1”等变形后，把左边变成一个单独的一个未知数，右边变成一个常数(但不同的是，在“去分母”与“系数化为1”时，方程两边都乘以(或除以)同一个正数或负数，等号不变，而在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变(举例说明如下:xx,，14例1(解方程:,,,232解:去分母，得:，2(1)3(4)12xx,,，,,2231212xx,,,,,去括号，得:，,,x2移项、合并同类项，得:，x,,2，得:(系数化为1xx,，14例2(解不等式:,,,232解:去分母，得:2(1)3(4)12xx,,，,,2231212xx,,,,,去括号，得:,,x2移项，合并同类项，得:x,,2系数化为1，得:同学们在仔细比较上面解方程与解不等式的解题过程后，用学过的解一元一次方程的知识来解一元一次不等式，就显得十分简单(四.解的对比一般地，一元一次方程的解只有一个，而不等式(如的解有无数个，这无数个解组成了该不等式解的251)x,,集合，简称为不等式的解集(它们的共同点是:无论是一元一次方程的解，还是一元一次不等式的解，都能使方程或不等式成立(五.确定参数过程的对比已知方程的解，确定方程中的参数，可根据方程的解的意义，将其解代入原方程，便得到关于参数为元的新方程，解新方程可求得参数(231xmx,,，例3.已知方程m的解是3，求的值(2233，,31m，m,解:根据方程的解的意义，得:=，解得(3若已知不等式的解集，确定该不等式中的参数，一般是先解不等式，与其解集比较后再确定参数(23x,,mx，1x,3a例4(已知不等式的解集是，求的值(23x,,mx，1(2)4,,mx解:由不等式得42x,320,,m,3m,与其解集比较，得，且，解得(32,m第7章《实数》总复习【回顾与思考】1(平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数;(2)0有一个平方根，它是0本身;(3)负数没有平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0(•求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方(开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验是不是另一个数的平方根(平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“-”表示，a的平方根合起来记作，其中读作“二次根号”，读作“二次根号下a”(根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.32(如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(若x=a，则x叫做a的立方根•。求一个数的立方根的运算，叫做开立方(开立方与立方是互逆运算，任何数都有立方根，而负数没有平方根，这是开立方与开平方的重要区别(立方根的表示方法:类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，立方根的性质:(1)正数有一个正的立方根((2)负数有一个负的立方根((3)0的立方根是0(立方根的性质与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根;在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根;平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身(3(有理数和无理数统称为实数，实数的分类可以从两个角度去思考(•(请同学们进行思考)4(实数和有理数一样也有许多重要的性质，可从以下几方面去思考:(1)实数a的相反数是-a，具体地，若a与b互为相反数，则a+b=0;反之，•若a+b=0，则a与b互为相反数;(2)一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0;(3)乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1;反之，若ab=•1，则a与b互为倒数(这里应特别注意的是0没有倒数;(4)实数与数轴上的点是一一对应的(•也就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数;(5)任意两个实数都可以比较大小;(5)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、•开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行(另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用(第8章相交线平行线小结与复习教学过程设计(一)创设现实情景，引入新课[师]平行线、相交线在现实生活中随处可见，同时它们又构成同一平面内两条直线的基本位置关系。在这一章里，我们探索了平行线、相交线的有关事实，并以直观认识为基础进行简单的说理，将直观与简单的推理相结合，且借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题。下面我们以问题形式来顺理本章的有关内容。(二)讲授新课]判断两条直线平行的途径有:(1)定义(不常用)。(2)两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。(3)同位角相等，两直线平行。(4)内错角相等，两直线平行。(5)同旁内角互补，两直线平行。平行线的特征有:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。平移的性质(1)平移不改变图形的形状和大小。(2)经过平移，对应线段、对应角分别相等。新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。相交线补角、余角、对顶角,,,,同位角,,,,,探索直线平行的条件内错角,,,,,同旁内角,,,,相交线与平行线平行线,,同位角,,,,,,探索直线平行的特征内错角,,,,同旁内角,,,,,平移平移的性质及简单的应用,,,知识结构1(对顶角和邻补角的概念有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角(强调以下两点:(1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边(符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行((2)对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如?1是?3的对顶角，同时，?3是?1的对顶角，也常说?1和?3是对顶角(?l和?2也是直线AB、CD相交得到的，它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角(邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，由此可知，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角(2(对顶角的性质对顶角相等角的名称特征性质相同点不同点?两条直线相交面成都是两对顶角没的角直线相交而有公共边而邻成的角，都补角有一条公对顶角对顶角相等?有一个公共顶点有一个公共共边;两条直线顶点，它们相交时，一个有都是成对出的对顶角有一?没有公共边现。个，而一个角的?两条直线相交面成邻补角有两个。的角邻补角邻补角互补?有一个公共顶点?有一条公共边知识结构1(垂直定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的里线，它们的支点叫做垂足(2(垂直的记法、读法和判定:?直线垂直的记法读法:直线AB、CD互相垂直，记作“AB?CD”域“CD?AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB?CD，垂足为O”(如图右上)(?垂直判定:??AOC=90?，??(垂直的定义)(ABCD?AB?CD(已知)，??AOC,90?(垂直的定义)(3(垂线的画法及性质垂线的第一条性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(知识结构归纳总结(相交直线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线(平行用符号“”表示，如图直线与是平行线记作“”(或)读作“平行于”(或平行于)也就是说平行是相互的(在同一平面内，两直线不重合的位置关系有相交和平行.平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(平行公理的推论(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(判定文字叙述符号语言图形?(已知)，第一同位角相等，两直线平行种?()(?(已知)，第二内错角相等，两直线平行种?()(第三同旁内角互补，两直线平?(已种行知，)?()(平行线的性质判定:1.平行线的性质性质1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成:两直线平行，同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成:两直线平行，内错角相等.性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成:两直线平行，同旁内角互补.2.两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.对于这个概念，应注意三点:(1)两条直线必须是平行的;(2)第三条直线同时垂直于它们;(3)距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形.3.关于命题判断一件事情的语句叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.4.平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移.5.平移的基本特征平移的基本特征是:经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.应用“对顶角相等”及等式的基本性质可以得出:1.两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角相等，同旁内角互补.2.两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么另一对内错角也相等，并且同位角相等，同旁内角互补.两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位3.角相等，并且内错角相等.知识结构命题:判断一件事情的句子，叫做命题命题的定义包括两层涵义:?命题必须是一个完整的句子;?这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断(即命题是判断某一件事情的句子(在语法上，这样的句子叫做陈述句，它由“题设+结论”构成(命题的组成每个命题都是由题设、结论两部分组成(题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项(命题常写成“如果„，那么„”的形式(具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论(有些命题，没有写成“如果„，那么„”的形式，题设和结论不明显(对于这样的命题，要经过分折才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果„那么„”的形式(另外命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知„„”或者“若„„”等形式表述;命题的结论部分，有时也可用“求证„„”或“则„„”等形式表述(真、假命题定义(真命题:如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题(假命题:如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题(注意:(1)真命题中的“一定成立”不能有一个例外((2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”。(3)注意命题与假命题的区别(((4)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分(因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题(知识结构1(命题证明步骤第一步，画出命题的图形(先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出(还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达(第二步，结合图形写出已知、求证(把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中(第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程(知识结构:第九章平面直角坐标系小结与复习知识网络一、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴(正方向向右)，