国开高等数学基础期末复习题

高等数学基础归类复习

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.

A./(X)=(7x)2,g(X)=XB./(X)=,g(X)=X

，_]

c./(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+1,g(x)=--------

---------------------------------------x-1

1-2.设函数/(X)的定义域为(—8,+8),则函数/(%)+/(—X)的图形关于(C)对称.

A.坐标原点B.X轴y轴D.y=x

设函数/(%)的定义域为(—8,+8)，则函数/(%)—/(一%)的图形关于(D)对称.

A.y=xB.无轴c.y轴D.坐标原点

x

e一工-e

.函数y=------------的图形关于(A)对称.

2

(A)坐标原点(B)X轴(C)y轴(D)y=x

1-3.下列函数中为奇函数是(B).

ax+a~x

A.y=ln(l+x2)B.y=xcosxcD.y=ln(l+x)

下列函数中为奇函数是(A).

3x—Y

A.y=x-xB.y=e+ec.y=ln(x+1)D.y=xsinx

下列函数中为偶函数的是(D).

Ay=(l+x)sinxBy=x2xc=xcosxDy=ln(l+x2)

2-1下列极限存计算不正确的是D).

Y2

A.lim—:]B.limln(l+x)=0

%-00x+2xf0

「sinx八

c.lim-------=0D.limxsin—=0

X—>00%8x

2-2当X—0时，变量:C)是无穷小量.

sin%1.1

A.-------B.—c.xsin—D.ln(x+2)

xXx

1smxx

当时，变量()是无穷小量.x

x-0cA—Bce-1D不

XXA

1sinx

.当Xf0时，变量(D)是无穷小量.A—Bc2XDln(x+1)

XX

下列变量中，是无穷小量的为(B)

x-2

Asin—(x^0)Bln(x+l)(x->0)cex(X-^QO)D.———%—>2)

x%2—4

/(1-20T⑴=(D).

3-1设/(x)在点x=i处可导，则lim

力-0h

A-f(l)B--/XI)c.2r⑴D.—21⑴

设/(x)在/可导，则lim).

h—>0h

A/U)B2尸(X。)C—/'Qo)D-2/U)

/(x-2/z)-/(x)_

设/(x)在/可导，则lim00—kL)J.

h—>02h

A.—2广(%)B./U)c.2/U)D.

川+斓一川)=(A)Ae1

设/(%)=e"，则limB.2ec.-eD.—

AxfOAx24

3-2.下列等式不成立的是（D）.

A.exdx-dexB-sinxdx=6Z(cosx)c.—\=dx=dy[x

D.}nxdx=J(—)

14xx

下列等式中正确的是（B）.A.d（—二）=arctanxdxB.d(4)=-"

1+x2XX

c.或2,2）=29D.d(tanx)=cotxdx

4-1函数/（x）=/+4%-1的单调增加区间是（D）.

A.(一8,2)B.(-1,1)C.(2,+8)D.(-2,+00)

函数y=/+4%-5在区间（一6,6）内满足（A）.

A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升

.函数y=%2—%—6在区间（-5,5）内满足（A）

A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升

.函数_y=x2-2x+6在区间（2,5）内满足（D）.

A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升

5-1若/（X）的一个原函数是'，则/''（%）=（D）.112

A.InXB.C.

7D9

xA

.若方(%)是/(x)的一个原函数,则下列等式成立的是（A）。

Aff{x}dx=F(x)—F(a)BJF（x）dx=f（b）-f（a）

JaJa

•b

cf(x)=F(x)Df'(x)dx=F(b)-F(a)

Ja

若()则,

5-2/X=COSX,j/(x)dx=(B)

A.sinx+cB.cosx+cc.-sinx+cD.—COSX+C

下列等式成立的是(D).

,

A.j/(x)dx=/(x)B.J4(x)=/(x)

Wy(x)dx=/(尤)

c.djf(x)dx=/(%)D.

—fx2/(x3)dx=(B323C.g/(x)

).A./(X)B.X/(^)D.

dxJ

2911

—jj/(x)dx=(D)A犷(厂)B-/(%)dxC-/(X)Dxf(x2)dx

dx

则

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cc.F(2Vx)+cD.+c

Nx

xr\d

补充：jef/(e—)dx=-F(e-)+c,无穷积分收敛的是X

J1X2

函数/（X）=10'+10r的图形关于y轴对称。

二、填空题

Jr2-9

1.函数/(x)=———-+ln(l+x)的定义域是(3,+=)

x-3

函数y=——-——+J4—X的定义域是(2,3)U(3,4]

ln(x-2)

函数/(无)=ln(x+5)—/的定义域是.(一5,2)

V2—x

X2+]%W0

若函数/(x)=1'—，则/(。)=_________1______.

T,x>0

.\_

2若函数/(%)=<(1+元尸，X<0,在％=0处连续，则上=e

x+k,x>0

-s-i-n-2-xVT4-0八

・函数/(%)={X在X=0处连续，则％=2

kx=0

x+1,x>0

函数y={的间断点是x=o________

sinx,x<0

%2—2x_3

函数y=---------的间断点是x=3

x—3

1

函数y=-----的间断点是x=o

l-ex

3-1.曲线/（X）=4+1在（1,2）处的切线斜率是1/2.

曲线/（X）=Jx+2在（2,2）处的切线斜率是1/4.

曲线/（X）=e*+1在（0,2）处的切线斜率是1

.曲线/（%）=丁+1在（1,2）处的切线斜率是3.

3-2曲线/（%）=sinx在1）处的切线方程是y=l.切线斜率是0

曲线y=sinx在点（0,0）处的切线方程为y=x切线斜率是1

4.函数y=ln（l+x2）的单调减少区间是（一8,o）.

函数于（x）=e'的单调增加区间是（0,+8）.

.函数y=（x++1的单调减少区间是（一8,一1）.

.函数/（x）=x2+1的单调增加区间是（0,+8）

2

函数丁=€一r%的单调减少区间是(0,+8).

5-1dje-vdx=e7dxjsinx2(ix=sinx2.

r

j(tanx)dx=tanx+C

若J/(x)dx=sin3x+c，则/'(%)=-9sin3x

3

♦1X

5-2J3（sin5x+5曲=3

I—dx=0ln(x+l)Jx=_o

L1

光2+1

下列积分计算正确的是（B）.

cj\x2dx=0DJ：|x|dx=O

A+er)dx=0B-/*比=0

三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。

（2）利用连续函数性质：/（%）有定义，则极限limf（x）=/（x0）

%—>%o

「sinx1「sinZx,「tankx,、，小

类型1：利用重要极限lim----=1,hm-----=k,hm-----=k计算

Xf。X°XX

sin6x

「sin6%

1-1求lim---------解:

sin5%x->osin5x%一。sin515

X

,rtanx「tan%tan%11

v1-2求lim-------解:lim-------=—lim-------=—x14=—

33x%-。3%3x-。x33

tan3%「tan3%「tan3%。。「

1-3求lim解:lim---------=lim---------.3=1x3=3

x->0xx%一03x

sin(x-a),「x-a

类型2：因式分解并利用重要极限lim---------------1,lim------------=1化简计算。

%—(x-d)%—sm(x-a)

2-1求lim-T「%2—1「(x+1)

解：lim-------------=lim---.-(--x-----l-)-=lx(-l-l)=-2

%-Tsin(x+1)%"sin(x+1)%-tsin(x+1)

sin(x-l)解：lim迎H=lim四厘

2-2lim

x2-lIx2-1—(x-1)U+1)1+12

%2-4x+3「％2_4x+3,(x—3)(x—1)

2-3hm-----解--:-----lim----------------=lim-------------------:=lim(x-l)=2

—3sin(x-3)z3sin(x-3)tsin(x-3)x->3

类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限

2

%—6x+8——6%+8r(%—4)(%—2)x—22

3-1hm-----解---：----h--m-................=lim-------------------=hm-------=一

z4x-5x+4x-5x+4I(x-4)(x-1)■Xf4JQ—13

1.炉+x—6x2+x-6(x+3)(x-2)x-25

3-2lim-------------lim-.................=lim7-------77-------$=lim-------=—

x―—3%-x-12x->_3%—JQ-12x->-3(x+3)(x-4)x->-3x-47

%2—3x+2>X?—3x+2

解=lim(X-2)。-1)=描上=1

3-3limlim

%―>2x2-4x—>2x2-4—2(x-2)(x+2)Xf2x+24

12

2—x

Vl+x-1「s…inx八「sin_

其他:lim=lim^—=0,lim/——=lim--=2

0sinx一。sinxBjx+l—l31

X

2

「x2+6x+5「x11「2x2+6x「2x22

hm—-------------=hm—=I,hm—；-------------=hm--=—

XT8X-4%-5XT8xx—>003x—4x—5%—>co3%23

tan8%

〜…tan8%「tan8%

(0807考题)计算hm---------解:lim---------二lim____x__A

%-。sin4%*f0sin4x…sin4x

X

isinx「sinxsin%

(0801考题.)计算hm-------.解lim-------=-lim

%-。2x32x2a。X2

「％?—2x—3Im(%+1).(犬-3)

(0707考题.)lim----------------=lx(-l-3)=-4

1Tsin(x+1)sin(x+l)

（二）求函数的导数和微分（1小题，11分）

（D利用导数的四则运算法则3±v）'=/土"(uv)f=urv+uv'

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式

类型1：|加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算|。

1-1y=（xVx+3）e”

(3(3(3、13、

、、3-〜3

解：V=x2+3ex+x2+3=—x2ex+x2+3ex=—x2+x2+3e

2(2

)\.7

1-2=cotx+x2Inx

解：yr-(cotx)r+(x2Inx)r=-esc2x+(x2)rlnx+x2(lnx)r=-esc2x+2xlnx+x

1-3设y=/tan尤一In%，求y'.

解：yr=(e*tanx\—(Inx)'—(e")'tanx+e"(tanx)'——cxtanx+cxsec2x—

%x

类型2：|加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导|

2-1y=smx2+hx,求y'解：yr=(sinx2)r+(lnx)f=2xcosx2+—

x

.2

2-2y=cosex-smx,求

解：yr=(cosex)r-(sinx2)r=-sinex.(ex)r-cosx2.(x2)r=-exsine*-2xcosx2

5x4-5x

2-3y=ln5%+e-5%,求，解：=^5Xy+^e-y=—hix-5e

类型3：|乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导|

y=e'cosx,求y'。解：/=(ex2)fcosx+(cosx)'=2xexcosx-ex~sinx

7cosx,

其他：y=2-------，求y。

x

,小八,,cos%、,ex]c(cosx)\x-cosx(x)rex】cxsinx+cosx

解：y=(2])'—(----)'=2%ln2—-----——-------=2^1n2+------------

X%X

smxf2smx2

0807.设y=ym*+sin%2,求y解：=(e)+(sinx)"=ecosx+2xcosx

0801.设y=xex2，求y'解：y'=(x)fex+x(ex)'=J+2x2ex2

0707.设y=esinx-x2,求解：V=esinx.(smx)r-(x2y=cosx^sinx-2x

0701.设y=In%+cose",求解：y'=(In%)'-sin£*.(/)'=——e*sine"

x

（三）积分计算：《小题，共22分）—

凑微分类型1：「一」7cLx=—「••［（』）

J%JX

11

cos—

n产S"11.1

计算解：|—--dx——Icos-d(一)——sin—Fc

■XJxJxxx

.1

,1

sin—sin—iii

--解:一卢dx=-fsin—d(—)=cos—+c

xXJXXX

£

re*ce'r']一

0701计算「Fdx.解：[—dx=-fexd(—)=-ex+c

JXJXJX

凑微分类型2：/••+让=2b・・46

=2fcosVxt/7x=2sinVx+c

0807.计算j解:dx=2|sin4xd4x=-2cosVx+c

凑微分类型3：…dlnx,•••—dx=…d(a+ln%)

JX」x」

计算]——dx解：f—^dx=-i-du=ln|lnx|+c

JxlnxJxlnxJtaxJu

.je2+ln%ij「e2+lnXi「ei、i/ci、1小i、25

.计算J---------dx解：J----------dx=J(2+lnx)d(2+lnx)=—(2+lnx)2=—

ixixi2]2

0807fVxlnxdr=—flnxd=(—Inx——^=—+—

339199

re1re101o2a1

0707Ix?Inxdx——I/nxdx—(—xInx----x)——cH—

Ji3J139199

类型1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为/,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如图所示，圆柱体高与底半径r满足A2+r2=Z2

圆柱体的体积公式为V=m2h=71(1。一无2)。

求导并令丫，=兀(/2_3//)=0

,V3,V6,

得h=——I,并由此解出r=——I

33

V6,V3,”

即当底半径厂二1,局h=/时，圆柱体的体积最大.

33

类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1(0801考题)某制罐厂要生产一种体积为“的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？

解：设容器的底半径为人高为/z,则其容积V==----

7i.r

2V

表面积为S=2兀?/+2兀论=2兀r9H----

r

2VIV

S'=4兀/-,由S'=O得/=：---,止匕时h=2r=

2兀

由实际问题可知，当底半径一=/上与高/z=2厂时可使用料最省。

V27T

|一体积为力的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？|解：本题的解法和结果与2T完全相同。

生产一种体积为夕的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？

2V

解：设容器的底半径为厂，高为h,则无盖圆柱形容器表面积为S=nr9+2jirh=Tir9+——，令

r

S'=2兀/一2^=0,得厂=3

71

由实际问题可知，当底半径厂=J上与高力=厂时可使用料最省。

\71

2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？(0707考题)

9V

解：设底边的边长为X,高为h,用材料为y,由已知12/Z=V=32,h=—,

4V

表面积y=x9+4x/i=x9H----,

x

4V々V

令V=21...-=0,得=2V=64,此时x=4,h=—=2

xx

由实际问题可知，％=4是函数的极小值点，所以当％=4,/z=2时用料最省。

|欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省”

解：.题的解法与2-2同，只需把V=62.5代入即可。

类型3求|求曲线丁2=1X上的点，使其到点A(〃，0)的距离最短.

曲线/=左》上的点到点A(a,0)的距离平方为L=(x-a)2+_y2=(x-a)2+kx

Lf=2(x—d)+k—G,2x=2a-k

3-1在抛物线=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短.

解：设所求点P(X,y),则满足y2=4x,点P到点A的距离之平方为

令L'=2(x—3)+4=0,解得x=l是唯一驻点，易知x=l是函数的极小值点,

当x=l时，y=2或丁二一2,所以满足条件的有两个点(1,2)和(1,—2)

3-21求曲线丁=2%上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.

解：曲线/=2%上的点到点A(2,0)的距离之平方为L=(九一2尸+》2=(九一21+2%

令Z/=2(%—2)+2=0,得x=1,由此>2=2%=2,y=±V2

即曲线=2%上的点(i,J5)和(1,一行)到点人(2,0)的距离最短。

08074求曲线y=/上的点，使其到点A（0,2）的距离最短。

解：曲线y=上的点到点A（o,2）的距离公式为d=J尤2+（y_2）2=Jy+（y—2）?

d与if在同一点取到最大值，为计算方便求I?的最大值点，

3

令（［2）'=0得丁=一,并由此解出x=±——，

■22

2V63V63_

即曲线_y=x上的点（2）和点（——）到点A（o,2）的距禺最短

学号:姓名：

高等数学基础第一次作业

第1章函数

第2章极限与连续

（-）单项选择题

1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.=g(x)=x

Y2—1

C./(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+l,g(x)=

x-1

2.设函数“X）的定义域为（—8,+8）,则函数/（尤）+/（—%）的图形关于（C）对称.

A.坐标原点B.X轴

C.y轴D.y=x

3.下列函数中为奇函数是（B）.

A.y=ln(l+x2)B.y—xcosx

ax+a~x

,2D.y=ln(l+x)

4.下列函数中为基本初等函数是（C）.

A.y=x+1B.y=-%

-1,x<0

C.y=x^D.y=<

1,x>Q

5.下列极限存计算不正确的是（D）

V2

A.lim—:1B.limln(l+x)=0

x+2x-»0

「sinx八

C.hm------=0D.limxsin—=0

X—>00XX—>00%

6.当XfO时，变量（C）是无穷小量.

sinx1

A.------B.—

XX

.1

C.xsin—D.In(x+2)

%

7.若函数/（X）在点/满足（A）,则/（X）在点X。连续。

在点的某个邻域内有定义

A.lim/(x)=/(x0)B./（%）xo

x—>x0

C.lim/(x)=/(x0)D.lim/(x)=limf(x)

X->XQ君xfq

(二)填空题

X2-9

1.函数于(x)=------+ln(l+x)的定义域是］x|x>3}_____________.

x-3

2.已知函数/(x+1)=x2+x,则f(x)=X2—x.

3.lini(1H-)%=el/2.

2x—

，i

4.若函数/(无)=<(l+x)*，尤<°,在x=0处连续，则左=」.

x+k,x>0

x+1,x>0、一

5.函数y=\的间断点是x=o__________.

sinx,x<0

6.若lim/(x)=A,则当x3%时，—A称为无穷小量

(三)计算题

1.设函数

ex>0

/(x)=<

x,x<Q

求：/(-2),/(0),/(1).

解：f(—2)=—2f(0)=0f(1)=e!=e

2r-1

2.求函数y=lg----的定义域.

X

解：y=lg(2x-l/x)

xi

[或

xwO(xVO

有意义，要求l解得XHO

则定义域为{x|x<0或x>l/2}

3.设函数

(%—2)2,x〉1

/(X)=<X,-1<X<1

%+1,X<-1

讨论/(x)的连续性.

解：分别对分段点X=—1,X=1处讨论连续性

(1)

!im/(x)=limx=-1

lim/(x)=lim(x4-l)=-14-1=0

XT-1-X-*-1—

lim/(x)*lim/(x)

所以NT-1+XT-1-,即f(X)在X=-1处不连续

(2)

lim/(*)=lim(x—2)2=(1—2)2=1

8-<11+<1-1+

lim/(x)=limx=l

r(i)=i

Um/(x)=lira/(x)=/(l)

所以x-i+x-i-即r(x)在x=i处连续

由(1)(2)得/'(X)在除点x——1外均连续

故/(X)的连续区间为(一8,—1)11(-1,+8)

高等数学基础第二次作业

第3章导数与微分

(一)单项选择题

1.设/(0)=0且极限存在，则limd±=(B).

%—0%0%

A./(0)B,r(0)

C.f'(x)D.0

2.设/(x)在X。可导，则飕"X。―曾―/(Xo)=(D).

A.-2/U)B./'(x0)

C.2r(%)D.-f'(x0)

3.设小)2则蚂"+、—")=(A).

A.eB.2e

11

C.—eD.le

24

4.^/(%)=%(x-l)(x-2)•••(%-99),贝iJ/'(O)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列结论中正确的是(C).

A.若/(x)在点有极限，则在点与可导.

B.若/(X)在点X。连续，则在点X。可导.

C.若/(%)在点与可导，则在点/有极限.

D.若/(X)在点X。有极限，则在点X。连续.

(二)填空题

2・1c

xsin—,xH0,

1.设函数/'(x)={X,则f'(0)=无穷小量

0,%=0

2.设/(eT)=e?*+5e*,则1n")=2Inx+5x1/x.

dx

(三)计算题

i.求下列函数的导数y：

(1)y=(xVx+3)eJC

解：由导数四则运算法则

33

y'=((x4+3)e')，=(x‘+3)，e、+(x?+3)(e*)，

33

=((x~),+(3),)e*+(尸+3)e"

311311

=—x2ex+(x2+3)e*=(—x2+x2+3)e'

22

⑵y=cotx+x2tax

解：由导数四则运算法则

yr=(cotx+x2Inx)r=(cotxY+(A2Inx)r

--------—+(x~)，lnx+'(1nx)r

sin~x

111

=-、+2xlnx+x2・=-、+2xInx+x

sin-xxsin'x

(3)y=—

Inx

解：由导数四则运算法则

,X2,(/yinx-x'lnX)'

y=(——)=---------；---------

InxInx

21

2xInx-x•_,

xzxInx-x

In-xIn-x

2.求下列函数的导数)'：

(l)y=e&

解：设〃=Jl-,v=1-x"»则有

y=e”,u=4,v=1-x"

由复合函数求导法则

y'=y：UW=(e")：(Vv)；(i-%2)；

⑵y=lncosx

解：设“=cosx»v=x3»则有

y=In〃，u=cosv»v=x3

由复合函数求导法则

yr=y：=(In(cos，)；•(『)；

1,22sinx’23

=-(-sinv)-3x=-3x-----=-3xtanx

ucosr

(x4)2=x

3.在下列方程中，y=y(%)是由方程确定的函数，求y'：

⑴ycosx=e2y

解法1：等式两端对X求导

左=(ycosx)'=y'cosx+y(cos工)'

=yrcosr-ysinx

右=9一)；=(e')1•y'=2e''y'

由此得

yrcosx-ysinx=2e"y'

整理得

ysinx

y=~—

cosx-2e

(2)y=cosyInx

解法1:等式两端对X求导

左=y，

右=(cosyInx)f=(cosy)；Inx+cosy(In"

=(cosy)；•y，bix+cosy•—="Inxsiny•y，+

x

由此得

,cosy

y=-Inxsmy-y+-------