河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023－2024学年（下）南阳六校高二年级期中考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线在点处的切线的斜率为（）A．－2 B．－1 C．1 D．22．已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20253．下列求导错误的是（）A． B．C． D．4．具有线性相关关系的变量的样本数据如下：－2－4－6－817.4138.25其回归直线方程为，则回归直线经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．在数列中，若，则（）A．1012 B．1013 C．2023 D．20246．已知数列满足，其前项和为，若，则（）A．8 B．9 C．10 D．117．设点到直线的距离为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（）A．150 B．151 C．170 D．171二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论中正确的是（）A．由样本数据得到的回归直线必过点B．样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱C．若变量与之间的相关系数，则与正相关D．若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－110．已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若和都为递增数列，则11．已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（）A． B．C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列的前项和为，且，则_______．13．已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）14．ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为_______．（参考公式及数据见18题）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（I）若函数有三个零点1，2，4，求；（II）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值．16．（15分）某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：123453540505570（I）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）（II）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．参考数据：．参考公式：相关系数；回归直线方程中，．17．（15分）已知数列的前项和为，且为等差数列．（I）证明：为等差数列；（II）若，数列满足，且，求数列的前项和．18．（17分）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计．（I）根据已知条件，作出列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对“村”的了解情况与性别有关；（II）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．附：． 0.0500.0100.0050.001 3.8416.6357.87910.82819．（17分）记数列的前项和为，已知，且．（I）令，求数列的通项公式；（II）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．2023－2024学年（下）南阳六校高二年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B命题意图本题考查导数的几何意义．解析因为，所以．2．答案C命题意图本题考查数列的递推关系．解析，故数列的周期为3，因为，所以可以为2024．3．答案D命题意图本题考查导数的计算．解析对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．4．答案A命题意图本题考查回归直线的性质．解析由表中的数据知正相关．所以，又，，即点在回归直线上，且在第二象限，所以回归直线经过第一、二、三象限．5．答案B命题意图本题考查数列的递推关系．解析因为，所以，所以，所以是常数列，所以，又，所以．6．答案C命题意图本题考查等比数列求和．解析因为，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，又因为11，所以，所以，即，所以．由题意可得，解得．7．答案A命题意图本题考查导数的几何意义的应用．解析设直线与曲线相切于点，则可得，得，所以点到直线的距离最小，且最小值为，又因为，所以曲线上到直线的距离为的点有两个，其中一个为，故选A．8．答案命题意图本题考查数列的概念和综合应用．解析由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，由于，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案命题意图本题考查回归分析的相关概念．解析对于A，回归直线必过点，故A正确；对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．10．答案BC命题意图本题考查等差数列的相关计算．解析对于A，，则，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，所以，又因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为为递增数列，所以其公差，因为为递增数列，所以，所以对任意的，但的正负不确定，故D错误．11．答案AC命题意图本题考查导数的几何意义．解析由题可知直线与曲线相切于点，又，所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，即，直线与曲线相切于点，可得在点处的切线方程为，即．因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即，可得，解得，故A正确，B错误；把代入，得，数形结合可得的值有两个，故C正确，D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案32命题意图本题考查等比数列的基本运算．解析设等比数列的公比为，则，解得，由，得，解得，所以．13．答案0.3命题意图本题考查非线性回归的应用．解析由题意知，解得，所以，由，得，所以，则．14．答案170命题意图本题考查独立性检验的应用．解析由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：总计个人用户公司用户总计，解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查导数的计算和几何意义．解析（I）由题意知，所以．（II），题意知即解得16．命题意图本题考查线性回归分析的应用．解析（I）由题可知，，，变量和的线性相关程度很强．（II），．关于的回归直线方程为．（12分）当时，，研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．17．命题意图本题考查等差数列以及裂项法求和．解析（I）因为为等差数列，设其公差为，所以，又因为，所以．当时，，又因为适合上式，所以．所以，所以为等差数列．（II）因为，由（I）知，得，所以．所以，当时，，因为满足上式，所以．所以．18．命题意图本题考查独立性检验的应用和超几何分布的有关计算．解析（I）因为，所以对“村BA”了解的女生人数为，了解“村BA”的学生人数为，结合男生和女生各80名，作出列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160，因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关．（