2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.11 二次函数章末题型过关卷（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列第5章二次函数章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大 D．当x≥2时，y的值随x值的增大而增大2．（3分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．（3分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜04．（3分）（2022秋•环翠区期中）已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．5．（3分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣16．（3分）（2022•黄石）以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤7．（3分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s8．（3分）（2022秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.269．（3分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-1210．（3分）（2022秋•江阴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．12．（3分）（2022•牡丹江）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝．13．（3分）（2022秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是．14．（3分）（2022•大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是．15．（3分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有．16．（3分）（2022秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且MA＝MB，则点M的坐标是．三．解答题（共9小题）17．（6分）（2022秋•翔安区校级月考）抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．18．（6分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．19．（8分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．20．（8分）（2022•舟山一模）路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t为整数)-1（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．21．（8分）（2022•兰州）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？22．（8分）（2022•顺义区期末）某班数学兴趣小组对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：x…﹣3-5﹣2﹣1012523…y…354m﹣10﹣10543…其中，m＝；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大；（4）进一步探究函数图象．①求方程x2﹣2|x|＝2的实数根的个数；②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，求a的取值范围．23．（8分）（2022•南岗区校级开学）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-316ax2+58ax+3a（a≠0）与x轴交于A和点B（A在左，B在右），与y轴的正半轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）若D为OB中点，E为CO中点，动点F在y轴的负半轴上，G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若D恰为FG中点，且S△GDE=272，求点（3）在（2）的条件下，动点P在线段OB上，动点Q在OC的延长线上，且BP＝CQ．连接PQ与BC交于点M，连接GM并延长，GM的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若角满足∠QPG﹣∠NQP＝∠NQO﹣∠PGB时，求NP的长．第5章二次函数章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大 D．当x≥2时，y的值随x值的增大而增大【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B、D的说法正确，C的说法错误；故选：C．2．（3分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．3．（3分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2＜0．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，∴抛物线开口向下，∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，而x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2＜0．故选：A．4．（3分）（2022秋•环翠区期中）已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可．【解答】解：A、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＞0，则a＜0，故选项错误；B、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误；C、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，二次函数图象开口向下，则﹣a＜0，则a＞0，故选项错误；D、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＜0，则a＞0，故选项正确．故选：D．5．（3分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．6．（3分）（2022•黄石）以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤【分析】由于二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴上或上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，∵二次项系数a＝1，∴抛物线开口方向向上，当抛物线的顶点在x轴上或上方时，则b2﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，解得b≥5当抛物线的顶点在x轴的下方时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2＝2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0，∴△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①b﹣2＞0，②b2﹣1≥0，③由①得b＜54，由②得∴此种情况不存在，∴b≥5故选：A．7．（3分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：6=1解得：a=-6b=15故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，当t=-b2a=-则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选：B．8．（3分）（2022秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：C．9．（3分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-12【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是-54，得出m≤-12；再求得当【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x=-1∴当x=-12时，y有最小值，此时y=1∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是-5∴m≤-1∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=-1∴当x=-12-[1﹣（-∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤-1∴﹣2≤m≤-1解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+12）2∴当x＝1时，y＝1；当x=-12，y=-54，当∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-5∴﹣2≤m≤-1故选：C．10．（3分）（2022秋•江阴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，故选项A错误；∵对称轴为直线x=-1∴-b2a=-12，得a＝b，a∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故选项C错误；∵对称轴为直线x=-12，当x＝1时，∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故选项D正确；故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＜﹣9．【分析】根据抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，可知当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，Δ＜0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，解得，m＜﹣9故答案为：m＜﹣9．12．（3分）（2022•牡丹江）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝0．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c＝0．故答案为：0．13．（3分）（2022秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．14．（3分）（2022•大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．【解答】解：令x＝0，得到x＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是直线x=m设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=mx+m+22解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．15．（3分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有③④．【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-b2a，结合图象与x轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，即可判断出③的正误；利用当x＝4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，对称轴：x=-b①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是直线x＝1，∴-b∴b+2a＝0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，又由①得b＝﹣2a，∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，故③正确；④根据图示知，当x＝4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；综上所述，正确的结论是：③④，故答案为：③④16．（3分）（2022秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且MA＝MB，则点M的坐标是（1，0）或（0，1）．【分析】先将抛物线顶点A的坐标求出来，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，直线与CE与坐标轴交点坐标即为所求．【解答】解：把x＝0代入y＝x2﹣2x得x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴点B坐标为（2，0），∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴点A坐标为（1，﹣1），连接AB，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，则点C坐标为（1，0），点E坐标为（1+22，-1+02）即（∴AC＝BC＝1，点C满足题意，直线CE为线段AB的垂直平分线，设直线CE解析式为y＝kx+b，把（1，0），（32，-0=k+b-解得k=-1b=1∴y＝﹣x+1，∴点D坐标为（0，1），∴点M的坐标为（1，0）或（0，1），故答案为：（1，0）或（0，1）．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋•翔安区校级月考）抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2可求出a＝﹣1；（2）根据坐标轴上点的坐标特征，分别计算出自变量为0时的函数值和函数值为0时对应的自变量的值，即可得到该抛物线与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a•（1﹣2）2＝﹣1解得a＝﹣1（2）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2，当y＝0时，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；当x＝0时，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）．18．（6分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．【解答】解：（1）依题意：a-b+c=0a+b+c=8解得a=-1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0）．由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=12（2+5）×9-119．（8分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【解答】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x=故点A的坐标为（12将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0=14-解得m=若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m=94或②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，∴结合图象，得n≥-2n+1≤4∴﹣2≤n≤3．20．（8分）（2022•舟山一模）路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t为整数)-1（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w元，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设所求解析式为y＝kx+b（k≠0），将（1，198）、（70，60）代入，得：k+b=19870k+b=60解得：k=-2b=200∴y＝﹣2t+200（1≤t≤70，t为整数），∴日销售量y与时间t的函数关系式y＝﹣2t+200；（2）设日销售利润为w元，则w＝（p﹣8）y，①在1≤t≤40时，w＝（14t+20﹣8）（﹣2t=-12（t﹣26）∵-1∴当t＝26时，wmax＝2738；②当40＜t≤70时，w＝（-12t+50﹣8）（﹣2＝（t﹣92）2﹣64，∵1＞0，∴当t＜92时，w随t的增大而减小，∴当t＝41时，w最大，最大值＝（41﹣92）2﹣64＝2537，∵2738＞2537，∴第26天利润最大，最大利润为2738元；（3）设日销售利润为w元，根据题意，得：w＝（14t+20﹣8﹣m）（﹣2t=-12t2+（26+2m）t+2400﹣200∴函数图象对称轴为直线t＝2m+26，∵-12＜0，w随t的增大而增大，且1≤t∴2m+26＞39.5，解得：m＞6.75，又∵m＜8，∴7≤m＜8．21．（8分）（2022•兰州）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【解答】解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+6（3分）∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0）∴0＝a（0﹣6）2+6，即a=-1∴抛物线解析式为：y=-16（x﹣6）2+6，即y=-16x（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，-16m2+2D（m，-16m2+2∴“支撑架”总长AD+DC+CB＝（-16m2+2m）+（12﹣2m）+（-16m=-13m2+2=-13（m﹣3）∵此二次函数的图象开口向下．∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．22．（8分）（2022•顺义区期末）某班数学兴趣小组对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：x…﹣3-5﹣2﹣1012523…y…354m﹣10﹣10543…其中，m＝0；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大；（4）进一步探究函数图象．①求方程x2﹣2|x|＝2的实数根的个数；②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，求a的取值范围．【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解；（2）描点即可画出函数图象；（3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）①设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2与y＝x2﹣2|x|有两个交点，即可求解；②当y＝a与y＝x2﹣2|x|有4个交点时，a在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）根据函数的对称性，m＝0，故答案为：0；（2）描点画出如下函数图象：（3）函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（4）①设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2与y＝x2﹣2|x|有2个交点；②y＝a与y＝x2﹣2|x|有4个交点时，a在x轴的下方，故﹣1＜a＜0．23．（8分）（2022•南岗区校级开学）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-316ax2+58ax+3a（a≠0）与x轴交于A和点B（A在左，B在右），与y轴的正半轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）若D为OB中点，E为CO中点，动点F在y轴的负半轴上，G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若D恰为FG中点，且S△GDE=272，求点（3）在（2）的条件下，动点P在线段OB上，动点Q在OC的延长线上，且BP＝CQ．连接PQ与BC交于点M，连接GM并延长，GM的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若角满足∠QPG﹣∠NQP＝∠NQO﹣∠PGB时，求NP的长．【分析】（1）令y＝0可求得点A、B的坐标，将x＝0代入抛物线的解析式得求得点C（0，3a），然后根据OB＝0C可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连接GB．首先依据SAS证明△ODF≌△GDB，从而得到BG＝OF，接下来依据S△GED=272，可求得EF的长，从而得到BG的长，故此可得到点（3）过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R．先证明TP＝PB＝CQ，然后依据ASA证明△PTM≌△QCM，于是可得到PM＝QM，然后再证明△NMQ≌△GMP，于是得到NQ＝GP，然后再△QNR≌△GPB，从而可求得NR＝OR，设N（t，-38t2+54t+6），由NR＝OR列出关于t的方程，从而可求得NR的值，最后在Rt△【解答】解：（1）将y＝0代入得：y=-316ax2+58∵a≠0，∴-316x2+解得：x1=-83，x∴A（-83，0）、∴OB＝6．∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝3a，∴C（0，3a）．∴OC＝3a．∵OB＝0C，∴3a＝6．解得：a＝2，∴抛物线的解析式为y=-38x2+（2）如图1所示：连接GB．∵E、D分别是OC、0B的中点，∴OE＝3，OD＝BD．在△ODF和△GDB中，OD=BD∠ODF=∠BDG∴△ODF≌△GDB，∴BG＝OF，∠GBD＝∠FOD＝90°，∵S△EDG＝S△EFG﹣S△EFD，∴12EF•OB-12EF•OD=272，即3EF-∴OF＝EF﹣OE＝9﹣3＝6，∴F（0，﹣6）；（3）如图2所示：过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R，NH⊥x轴于H，∵TP∥OQ，∴∠MPT＝∠MQC，∠PTM＝∠QCM，∵OB＝0C＝6，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠PBT＝∠PTB＝45°，∴PT＝PB＝CQ，在△PTM和△QCM中，∠MPT=∠MQCPT=CQ∴△PTM≌△QCM，∴PM＝QM，∵GB⊥x轴，∴BG∥y轴∥PT，∴∠BGP＝∠TPG．∵∠QPG﹣∠NQO＝∠NQP﹣∠PGB，∴∠QPT+∠TPG﹣∠NQO＝∠NQO+∠OQP﹣∠PCB，∵∠QPT＝∠OQP，∠TPG＝∠PGB，∴2∠TPG＝2∠NQO，∴∠TPG＝∠NQO，∴∠NQP＝∠GPQ，在△NMQ和△GMP中，∠NQP=∠GPQ∠NMQ=∠GMP∴△NMQ≌△GMP，∴NQ＝GP，在Rt△QNR和Rt△GPB中，∠BGP=∠NQO∠QRN=∠GBP=90°∴△QNR≌△GPB，∴QM＝BG＝6，NR＝PB＝CQ．设N（t，-38t2+∵QO＝QC+CO＝QR+RO，∴QC＝RO，∴NR＝RO，∴﹣t=-38t2+54t+6，解得：t1∴N（﹣2，2），∴NH＝2，OH＝NR＝2．∴PH＝OB＝6，∴PN=NH2∴线段NP的长为210．专题6.1成比例线段【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念】 1【题型2成比例线段的应用】 2【题型3比例的证明】 3【题型4利用比例的性质求比值】 4【题型5利用比例的性质求参】 4【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】 5【题型7黄金分割】 6【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．43 B．3 C．8 【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=c【题型4利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a-b=34【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a-ba=3A．25 B．14 C．-2【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=1A．16 B．13 C．12【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=cB．若a-bb=1C．若ab=cd=23D．若ab=34，则【题型5利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+y【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+A．15 B．9 C．5 D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【变式6-1】阅读材料：已知x3=y解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，∴x+y-zx-y+z（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx-2y+3z【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b-cc=a-b+c【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．面同意，不得复制发布日期：2022/9/1522:55:34；用户：小不1825600716号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．专题6.1成比例线段【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念】 1【题型2成比例线段的应用】 3【题型3比例的证明】 5【题型4利用比例的性质求比值】 7【题型5利用比例的性质求参】 8【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】 10【题型7黄金分割】 13【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．43 B．3 C．8 【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．【解答】解：A、43：2＝4：6，故AB、2：3＝4：6，故B不符合题意；C、2：4≠6：8，故C符合题意；D、2：4＝6：12，故D不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为23．【分析】由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案为：23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【分析】求出A'B'AB，B'C'【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'AB=4∴A'B'AB∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．【题型2成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【分析】设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴设a-c=-2ka+b=7kc-b=k，解得∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：x40000000解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；故选：A．【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔术社上学期312412512下学期493929∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【分析】根据比例线段的性质证明即可．【解答】证明：由ab可得：a＝bk，c＝dk，把a＝bk，c＝dk代入a-cb-d把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d可得：a-cb-d【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB【分析】由已知条件得到BCAB=CDAD，即【解答】证明：∵ABBC∴BCAB=CD∴ACAB-1＝1∴1AB【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD∴S△ABO（2）∵S△ABD∴S△ABD∴S△ABO【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=c【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．【解答】证明：∵ab∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2【题型4利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a-b=34，则a【分析】根据2b3a-b=3【解答】解：∵2b3a-b∴3a-b2b∴3a2b∴ab故答案为：119【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a-ba=3A．25 B．14 C．-2【分析】把a-ba=34化成1【解答】解：∵a-ba∴1-b∴ba故选：B．【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=1A．16 B．13 C．12【分析】先利用分式的基本性质得到ab【解答】解：∵ab∴ab而b﹣2d+3f≠0∴a-2c+3eb-2d+3f故选：B．【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=cB．若a-bb=1C．若ab=cd=23D．若ab=34，则【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．【解答】解：A、若a4=cB、若a-bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7C、若ab=cd=23D、若ab=34，无法得出故选：D．【题型5利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+y【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2z当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+A．15 B．9 C．5 D．3【分析】设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故选：B．【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y【分析】由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k【解答】解：设x3=则x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵ab=cd，∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+ca∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca∴t2﹣t﹣2＝0．【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【分析】（1）把要求的式子化成a+（2）根据比例的性质得出a-bb【解答】解：（1）∵ab∴a+bb=a（2）∵ab∴ab-1∴a-∵a+∴a-∴a-【变式6-1】阅读材料：已知x3=y解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，∴x+y-zx-y+z（1）回答下列问题：①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx-2y+3z【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得1故答案为：等式，代入消