专题02 五大类数列题型（试卷含解析）-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

专题02五大类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）【题型2裂项相消巧妙变形问题】【题型3分组求和必记常见结论】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：an+1-an=f(n)当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an-1》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是an-an-1已知{an}的首项，a1=1，an+1=an+2n（nEN*）求an通项公式。an+1=kan+b当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an_1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解an→简称《构造法》+.kn_1_n当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an_1》递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解an→简称《构造法》+A+B).kn_1_An_Bnan_1+2n_1，求{an}的通项公式。nn当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an一1》递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤第一步：等式两边直接同除以qn+1或qn第二步：寻找新的数列第三步：秒求所配系数第四步：寻找新的等比数列第五步：求新数列的通项第六步反解an→简称《直接除+构造法》an。an+2=pan+1+qan待定系数法，其中λ、β满足{A2=2，当nEN，an+2=5an+16an①求通项公式an.错位相减；+7x3n1（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=(2n1)an，求数列{b1．已知各项均为正数的数列{an}满足a+1一a(1)写出a2，a3，并求{an}的通项公式；b.n-2(xeR,neN*).(1)当x=2时，Sn(2)为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；(2)记S024(x)是S2024(x)的导函数，求S024(2).3．设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，2an=a2n-1,a4=7,b1=2a1，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn；.(1)求数列{an}的通项公式；5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=，8S6=7S3.((1)求an；(2)设bn=nlog12a=n26．已知数列{an=n232(1)求an；(2)若n3,求数列{bn}的前n项和Tn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{n+3nan}的前n项和Sn.8．已知Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，2Sn=an(an+1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=2n.an，求数列{bn}的前n项和Tn.裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和①an=f(n+1)f(n))an⑩an=2nnn+1在数列{an}中，an=和.1+2+...+n2。cos0。cos1。cos1。cos2。cos88。cos89。sin21。(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b+1=an，且b1(1)求{an}的通项公式：（i）求证：数列{}为等差数列，并求{bn}的通项公式3．已知各项均为正数的等比数列{an}，满足2a1+16a3=3，2a3a6=a.(1)求数列{an}的通项公式；4．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a2n=λan+1(λeR,neN*).(1)求λ的值；5．已知数列{an}的前n项和为Sn=.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn=，求数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an一2(neN*).(1)求数列{an}的通项公式；n(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.分组求和必记常见结论1+3n2，ⅆⅆ（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；(1)n.1．已知数列{an}，.在①数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2；②数列{an}的前n项之积为Sn=2n=N*)，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选”）(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,2Sn=2nan-n2+n.(1)求数列{an}的通项公式；试求k的最小值.3．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an+r，其中reR，且r子0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n+1，若对任意的neN*，都有bi<m<bi，求实数m的取值范围.2n+1-a2n-1.(1)证明{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)设cn=，且数列{cn}的前n项和为Tn，证明：当n>2时，(1)求{an}的通项公式；6．已知数列{an}满足a1=1,an+1+2an=3n-5,ne**.(2)求数列{an}的前n项和Sn.(2)若记bk(keN+)为{an}中落在区间(5k,52k)内项的个数，求{bk}的前k项和Tk.8．已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4=16，S5=S3+24.(2)记{an+log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn<2024的最大整数n.含n类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通.f(n)的摆动数列{an}前n项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，an+an+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由Sn2)34)56)n1n)求出Sn；即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时Sn的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示2n+3n)，求数列{an}的前n项和Sn.1．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an+r，其中rER，且r子0.(1)求数列{an}的通项公式；,若对任意的neN*，都有bi<m<bi，求实数m的取值范围.2=a.n2．已知数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，a1=1且当n>2时，Sn-2=a.n(1)求数列{an}的通项公式；12，且数列{an+1-an}是等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20.(2)设bn=，求数列{bn}的前20项和T20.5．设Sn是数列{an}的前n项和，且3an=2Sn+1.T.n(2)设bn=(-1)n+1log3an，求数列{bn}的前T.n6．已知{an}是等比数列，满足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差数列，数列{bn}满足(2)设cn=(-1)n(an-bn)，求数列{cn}的前2n项和S2n：(3)设dn=anbn，求数列{dn}的前n项和Tn.(2)求数列{2an+(-1)n}的前n项和8．已知{an}是等比数列，满足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差数列，数列{bn}满足(ne(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=(-1)n(an-bn)，求数列{cn}的前n项和Sn.含绝对值求和问题给出数列{an}，要求数列{an}的前n项和，必须分清n取什么值时an＞0(an＜0)如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn=a1+a2+...+aTkn,Sn,(n＞k)Tn-2Sk,(n＞k)如果数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，Tn=a1+a2+...+aT=a1(1-qn)=a1-anqn1-q1-q已知各项都为正数的等比数列{an}，a2=32，a3a4a5=8.(1)求数列{an}的通项公式；T=n(2)设bn=log2T=n+++…+已知等差数列{an}的首项为6，公差为d，且a1,a3+2,2a4成等比数列.（1）求{an}的通项公式；在公差不为零的等差数列{an}中，a1=11，且a2、a5、a6成等比数列.（2）求数列{a2n-1}的前n项和Tn.1．已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(ke**)，且Sn的最大值为.(1)确定常数k，并求an；2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=3，S5=35.(2)设数列{an}的前n项和为Tn，求T10.3．已知等差数列{an},a1=-10，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题.①2a5+a8=0；②S11=-55；③-=2.(1)求Sn的最小值；(2)设{an}的前n项和为Tn，求T20.4．已知正项等比数列{an}满足a7a9a11=64,a12+2是a9与a13的等差中项.(2)若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和.的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=log2an，求{bn}的前n项和Tn.等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn=a2n-1-80，求数列{bn}的前n项和Tn.7．在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1=10，且a2，a5，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式an；60的值.8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且..(2)若数列{an}的前n项和为Tn，设Rn=，求Rn的最小值.专题02五大类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型2裂项相消巧妙变形问题】【题型3分组求和必记常见结论】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：an+1-an=f(n)当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an-1》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是an-an-1解：第一步：作差第二步：列举n+1n+2n（neN*）求an通项公式。21aa=2132a-a32an-2-an-3n-1n-2n-1n-2an-an-1=。。。。。。。。。。。2(n-2)2n口诀：左左加右右加，相互抵消用等差n2nn当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an一1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解an→简称《构造法》n1{an}的通项公式.解:第一步：秒求所配系数m===1第二步：寻找新的等比数列an+1=2(an一1+1),:{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,nnnn第四步反解an:an=2n一1故答案为：:an=2n一1n当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an一1》递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解an→简称《构造法》+A+B).kn-1-An-Bnan-1+2n-1，求{an}的通项公式。解：第一步：秒求所配系数n2n-1222-A-B=-12-112第二步：寻找新的等比数列n-4n+6}是以3为首项，为公比的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解an∴an=+4n-6验证：当n=1时通项也成立n2n-1nn当高考数列大题出现《an与an+1》或《an与an-1》递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤第一步：等式两边直接同除以qn+1或qn第二步：寻找新的数列第三步：秒求所配系数第四步：寻找新的等比数列第五步：求新数列的通项第六步反解an→简称《直接除+构造法》an。第一步：等式两边直接同除以qn+1或qnn得第二步：寻找新的数列an验证：当n=1也成立故答案为ann一2n1an+2=pan+1+qan待定系数法，其中λ、β满足{A2=2，当neN，an+2=5an+16an①求通项公式an.解：①第一步：秒出系数①式可化为：βλ=5,λβ=6牵(β=2，λ=-3)和(β=3，λ=-2)比较系数得(β=2，λ=-3)和(β=3，λ=-2)，不妨取(β=3，λ=-2).①式可化为：第二步：出现新的等比数列则{an+1-2an}是一个等比数列，首项a2-2a1=2-2.(-1)=4，公比为3.第三步：求新等比数列通项∴an+1-2an=4.3n-1.利用上题结果有：第四步：反解anan=4.3n-1-5.2n-1.错位相减；(CA1)2.Cn+1--(CA1)2.Cn-1秒杀1牵卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，{(2n-1)xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn-1}的通项之积第二步：列举Sn2+5x3+7x4①-②得Sn=？第三步：利用结论秒求Sn牵草稿纸上书写ann-1=-.xnSn2第四步：化解结论求Sn牵卷子上书写n(1x)2秒杀2牵卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积第二步：列举Sn2+5x3+7x4①-②得Sn=？第三步：利用结论秒求Sn牵草稿纸上书写ann1).xnB或B=或B=2第四步：化解结论求Sn牵卷子上书写n(1x)2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n+1.（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=(2n1)an，求数列{b解：秒杀1牵卷子上书写（1）快速求解通项-1n)-2n-1n-1.⑵第一步：寻找标准形式n-1,n第二步：列举12323①-②得Sn=？第三步：利用结论秒求Sn牵草稿纸上书写（22)（2)ann-1=(n（22)（2)Sn2第四步：化解结论求Sn牵卷子上书写1．已知各项均为正数的数列{an}满足a+1-a(1)写出a2，a3，并求{an}的通项公式；b.a-aa=a-a3=a22n2nn-n-1-a--n-n-2-a2，所以an=2n-1a-aa=a-a3=a2因为a+1-a所以a+1-a=an2-(2n-1)2，即a+1-(2=an-(2n-1)2.所以a-(2n-1)2=a-1-(2n-3)2=又an>0，所以an=2n-1(n=**)b2378①,23789②238-29921-2791-2所以S=12814，b-b2345678bn-2(xeR,neN*).(1)当x=2时，Sn(2)为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；(2)记S024(x)是S2024(x)的导函数，求S024(2).024(2)2024n2n-222024-2,:S024(x)=1+2x+3x2+…+2024x2023.22023①232024②22023202420242024:S024(2)=2023根22024+1.3．设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，2an=a2n一1,a4=7,b1=2a1，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn；4一+9n4一+9【详解】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，2SiSi则S1n2212则(1)2n1T2n1S2n1+(1)2nT2nS2n22n22n2，2n1n，23n23n+1n+1，4所以An=所以AniTi.(1)求数列{an}的通项公式；【答案】(1)an=n(2)证明见解析23nnn23nnn所以a1+a2+a3+…+an+an+1=an+2-1，+a2=a2 an+1an+2= n+1n+2Þ anan+2=nn+2Þ=n所以数列{an}的通项公式为an=n.2+23+…nn+1， Tn2n+142n+142n+14.5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=，8S6=7S3.((1)求an；(2)设bn=nlog12a622)所以an=.(-)n-1.23n，346．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n.(1)求an；nne**).n，223，n-nnE**).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{n+3nan}的前n项和Sn.n(2n1)nnn+4n}为首项是6，公比为2的等比数列，n1n4n，n4nn，2n)4(12n)，2nT23n，234n+1，243nn+1，n)n.8．已知Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，2Sn=an(an+1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=2n.an，求数列{bn}的前n项和Tn.n+1nnn1nn1nnan12n，3nn+1，23nn.2n+1=TnTnn+1裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和①an=f(n+1)f(n))an⑩an=2nnn+1在数列{an}中，an=和.解：第一步：裂项1+2+...+n2n第二步：裂项求和Sn=8(1)＝。cos0。cos1。cos1。cos2。cos88。cos89。sin21。证明：第一步：裂项sin1。第二步：裂项求和∴原等式成立解：第一步：裂项第二步：裂项求和23n(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足=an，且b1=，求{bn}的前n项和Tn.【详解】（1）因为a5-4,a5,a5+6又{an}是等差数列，a1=4，所以公差d==2，1-n-1又b1(1)(11)(11)1n(1)(11)(11)1n(1)求{an}的通项公式：（i）求证：数列{}为等差数列，并求{bn}的通项公式（ii）设cn=an-bn，证明：<-，ne**【答案】(1)an=2.3n一1(2)（i）证明见解析，bn=n2(ne**)ii）证明见解析neN*)，所以数列{}是以=1为首项，公差为1的等差数列. k2k.2.3k(k+121kk22.3kk+1)2 2n，n1n1n2n21n1所以:ckn-2n+1)-2-n-<3.2.3k-(k+1)24.3k-1-(2k+1)||||k-1-k2]n综上：当nEN*时，<-.3．已知各项均为正数的等比数列{an}，满足2a1+16a3=3，2a3a6=a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=log2ai，数列{}的前n项和为Tn．求证：-2<Tn<-1.【答案】(1)an=n；(2)证明见详解.【详解】（1）记数列{an}的公比为q，n.（2）由（1）可得，log2an=log2n=-n，「(22)(22)(22)](2)2「(22)(22)(22)](2)2因为neN*，所以0<<1，4．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a2n=λan+1(λeR,neN*).(1)求λ的值；【答案】(1)2(2)证明见解析2n+2则②-①得a2n+2-a2n=λ(an+1-an)，即2d=λd，又d产0，则λ=2；解法二：设{an}的公差为d(d产0)，所以a1+(2n-1)d=λa1+(n-1)d+1对vneN*恒成立，即(λ-2)dn+(λ-1)(a1-d)+1=0对vneN*恒成立，n-a1，5．已知数列{an}的前n项和为Sn=.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn=，求数列{bn}的前n项和.【答案】(1)an=n(2)【详解】（1）：数列的前n项和为Sn=，又当n=1时，an=n也成立，:数列{an}的通项公式为an=n.设数列{bn}的前n项和为Tn，2n(1)求数列{an}的通项公式；【答案】(1)an=2n(2)证明见解析n经检验，a1=2满足上式，所以{an}的通项公式是an=2n.n7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n=N*).(1)求数列{an}的通项公式；n【答案】(1)an=2n(2)证明见解析当n>2时，Sn-1=2an-1-2①-②,得an=2an-1，:数列{an}是以首项为a1=2，公比为2的等比数列，1:an=a12n-=2n．经验证a1符合上式，所以an=2n.1（2）由（1）知a2n-1=22n-1，故c1n故c1n(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.n++分组求和必记常见结论1+3n2，ⅆⅆ解：第一步：分组将其每一项拆开再重新组合得Sn第二步：分组求和n22n+==22a解：第一步：分组∴Sn=k(k+1)(2k+1)＝(2k3+3k2+k)将其每一项拆开再重新组合得第二步：分组求和Sn33)22)n+n2(n+1)22++2+==22（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；(1)n.解1）快速求解通项设{an}的公比为q，{bn}的公差为da23aqq2，即a12q=12q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍去3(2)第一步：分组1++第二步：分组求和数列{2n+1}的前n项和为=2n+2-4，n4(3n故S=2n+2+nn4(3n1．已知数列{an}，.在①数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2；②数列{an}的前n项之积为Sn=2n=**)，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选”）(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=an+log2an2n+n22,Sn1（II（I）（II）得：an=2an2an1，即an=2an1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n.n(n+1)S22nann(n1)n122n一22=2n,所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n2n)n(1)求数列{an}的通项公式；试求k的最小值.n1n1(n2所以{an}是公差为1的等差数列，1，故数列{an}的通项公式为an=n.（2）依题意k<an<2k，即k<n<2k，因为ke**,2ke**,ne**，所以满足不等式的正整数个数为2k一k+1，即bk=2k+1+kk22，k单调递增，所以k的最小值为11.3．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an+r，其中reR，且r子0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=(1)n+1，若对任意的neN*，都有bi<m<bi，求实数m的取值范围.nnSn1=2an2an1，所以an=2an1，所以数列{an}是以2为公比的等比数列，nn，bi2n所以所以bimax-(-2)2n+1-22.4n-2bimin随n的增大而增大，因为对任意的nEN*，都有bi<m<bi，2n+1-a2n-1.(1)证明{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)设cn=，且数列{cn}的前n项和为Tn，证明：当n之2时，【答案】(1)证明见解析，bn=5.3n-1(2)证明见解析n23-a1bna2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1bna2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1所以{bn}是等比数列，首项b1=5，公比q=3，所以bn=5.3n-1.b-bn+1-55.3n-53n-1先证明左边：即证明-3<3Tn-n，c=nc=n3n-1-13n-1-111 >=-，3n-13n33nn-1-n21，1「2)1「2)=1-t，设f(t)=lnt+1-t，te,1，因为f,(t)=-1=>0，所以函数f(t)=lnt+1-t在te,1上单调递增，综上，3n(1)求{an}的通项公式；【答案】(1)an=2n(2)证明见解析2n2nn两式作差可得，nan=(n-1).2n+1-(=2也适合该式，故an=2n；故b1n6．已知数列{an}满足a1=1,an+1+2an=3n-5,ne**.(1)设bn=an-n+2(2)求数列{an}的前n项和Sn.【答案】(1)证明见解析；(2)_2根(2)n+【详解】（1）因为an+1+2an=3nn又b11所以{bn}是以2为首项，_2为公比的等比数列.3n(_2)0+(2n_102n_102n_1]=__+.=__+.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若记bk(keN+)为{an}中落在区间(5k,52k)内项的个数，求{bk}的前k项和Tk.411477所以数列{an}的通项公式是an=5n-2.2+5（2）由（1）知，keN+，由5k<an<52k，得5k<5n-2<52k，整理得2+52k-125因此正整数n满足5k-1+1<n<52k-1，从而得bk=52k-1-5k-1，2k+1-6k8．已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4=16，S5=S3+24.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an+log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn<2024的最大整数n.【详解】（1）设{an}的公比为q，则an=a1qn-1，la4la455la1qq4,整理得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍去所以an=a3qn-3=2n-1.202n-12Tn随着n的增大而增大，TT211所以满足Tn<2024的最大整数n=10.含n类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通.f(n)的摆动数列{an}前n项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，an+an+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由Sn2)34)56)n1n)求出Sn；即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时Sn的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，an+an+1的表达式第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，2)34)56)n1n)求出Sn34)56)n1n即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时Sn的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示(0,n为奇数时解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，an+an+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由Sn2)34)56)n-1+an)求出Sn；34)56)35n-1)n-1第三步：当n为奇数且n＞1时，由Sn=Sn-1+an求出Sn，特别注意对n=即S1要单独求出.-322n-32=---第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时Sn的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示又因为S1=5适合当n为奇数且n＞1时Sn.2n3n23n21．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an+r，其中r=R，且r丰0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=(1)n+1，若对任意的n=N*，都有bi<m<bi，求实数m的取值范围.nnSn1n2an1，所以an=2an1，所以数列{an}是以2为公比的等比数列，（2）由（1）得;Snnn，2n12n1bi2nbi2．已知数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，a1=1且当n之2时，Sn-1+Sn=a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n+1a，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)an=n(ne**)(2)Tn=(-1)n+1两式相减可得2an=a-a-1+an-an-1，整理得a-a-1-an-an-1=0，则an-an-1-1=0，即an-an-1=1，所以数列{an}是公差为1的等差数列，即an=n(n之2)，经检验n=1时成立，则an=n(ne**).（2）由（1）知bn=(-1)n+1n2.Tn当nTn222222n-1-an2422n2当n为奇数时，Ta242222(1)求{an}的通项公式；(2)若bn=(1)nan，设数列{bn}.6,a3的前n项和为Tn，求T20.【答案】(1)an=n2+n；所以数列{an+1一an}是首项为4，公差为2的等差数列，nan12n2当n=2k,keN*时，T(2)设bn=，求数列{bn}的前20项和T20.【答案】(1)证明见解析，an=(2)T20=-n5．设Sn是数列{an}的前n项和，且3an=2Sn+1.(1)求数列{an}的通项公式；T.n(2)设bn=(-1)n+1log3an，求数列{bn}的前T.nn1:数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列.:数列{an}的通项公式为an=3n一1.n+12n2nn2,6．已知{an}是等比数列，满足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差数列，数列{bn}满足(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=(1)n(anbn)，求数列{cn}的前2n项和S2n：(3)设dn=anbn，求数列{dn}的前n项和Tn.n+2又a1因为1+q2>0，解得q=2，故an=2n.n-1所以可得bn所以an=2n，bn=2n，即{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=2n.（2）因为cn=(-1)n(an-bn)，2n2-b2-…+a2n-b2n2-…2n-b2+…-b2n)+2(2n-1)-4n2342n2n)-2n=2n+1-2n-.23n①,234n+1②,23n-2nn+111-2n)1-2n+1n+2.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{2an+(-1)n}的前n项和Sn.(4n2(4n2所以an=4n+1.n+122222n22(4n228．已知{an}是等比数列，满足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差数列，数列{bn}满足b2(ne**).(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=(-1)n(an-bn)，求数列{cn}的前n项和Sn.+1n.又a1而1+q2>0，解得q=2，因此an=2n；n1两式相减得bn=2，即bn=2n，显然b1=2满足上式，因此bn=2n，所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=2n.nbn2nnn+2(nn+1|1含绝对值求和问题给出数列{an}，要求数列{an}的前n项和，必须分清n取什么值时an＞0(an＜0)如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn=a1+a2+...+aTkn,Sn,(n＞k)Tn-k,(n＞k)如果数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，Tn=a1+a2+...+aT=a1(1-qn)=a1-anqn1-q1-q已知各项都为正数的等比数列{an}，a2=32，a3a4a5=8.(1)求数列{an}的通项公式；解：(1)快速求解通项设各项都为正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，因为a2neN*)，(2)第一步：秒求临界第二步：利用结论2；(8n-n2已知等差数列{an}的首项为‘，公差为d，且a1,a3+2,2a4成等比数列.（1）求{an}的通项公式；3n|的值.解：(1)快速求解通项4nn(2)第一步：秒求临界第二步：利用结论nn29n)213n+42.222a2+...n在公差不为零的等差数列{an}中，a1=11，且a2、a5、a6成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{a2n-1}的前n项和Tn.解：(1)快速求解通项2(2)第一步：秒求临界因为an=13-2n所以a2n-1=13-2(2n-1)=第二步：利用结论nn(-2n2+13n,n<31．已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(ke**)，且(1)确定常数k，并求an；(2)求数列{an}的前15项和T15.【详解】（1）解：由数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(ke**)，根据二次函数的性质，可得当n=k时，Sn=-n2+kn取得最大值，n所以数列{an}的通项公式为an=-n.且当n<3且n=N*时，可得an>0；当n之4且n=N*时，可得an<0，所以数列{an}的前15项和：T15=-S15+2S3=-222．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=3，S5=35.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n