九年级数学上学期期中真题分类汇编(人教版)：专题07 旋转(解析版)(人教版)

专题07旋转旋转的性质1．如图，将ABC绕点C按照顺时针方向旋转35得到△ABC，AB交AC于点D．若ADC90，则A（

）A．45

B．50

C．55

D．60【答案】C【分析】由旋转的性质得出ACA，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵将ABC绕点C按照顺时针方向旋转35得到△ABC∴ACA35，∵AA，ADC90∴AA90ACA55，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB1，CBD14，将矩形ABCD绕对角线BD的中点O旋转角度0a90得到矩形ABCD，当C，D的距离等于1时，α等于（

）A．28

B．42

C．48

D．56【答案】D【分析】如图，连接OC，CD，由矩形性质可证OCBOBC，得DOC28，易知DOC≌DOC，所以DOCDOC，进而求得COC72，即旋转角度．【详解】如图，连接OC，CD，∵四边形ABCD是矩形，∴ACBD，OC

12

1AC，OBODBD，2∴OBOCODOC，∴OCBOBC，∴DOCOBCOCB2CBD28．∵C，D的距离等于1，AB1CD，∴CDCD，∴DOC≌DOCSSS，∴DOCDOC，∴COC2DOC56．故选D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的知识；由图形的旋转变换转化为全等三角形解决问题是求解的关键．3．如图，在ABC中，CAB70，将ABC绕点A逆时针旋转到ABC的位置，使得CC∥AB，划BAB的度数是（

）A．35

B．40

C．50

D．70【答案】B【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵CC∥AB，CAB70，∴CCACAB70，∵将ABC绕点A逆时针旋转到ABC的位置，∴CABCAB70，ACAC，∴ACCCCA70，∴CAC180707040，∵BABCABCAB，CACCABCAB，∴BABCAC40，即旋转角的度数是40，故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．4．如图，在ABC中，BAC120，将ABC绕点C逆时针旋转得到DEC，点A，B的对应点分别为D,E，连接AD．当点A,D,E在同一条直线上时，下列结论不一定正确的是（

）A．ACD是等边三角形C．ABCADC

B．ABCDD．BCDE【答案】C【分析】首先根据旋转的性质得到△ABC≌DEC，然得到EDCBAC120，ACCD，即可证明出ACD是等边三角形，进而判断A选项；求出BADBACCAD60，然后结合ADC60即可证明出ABCD，进而判断B选项；根据题目没有说明B的度数，而ADC60即可判断C选项；根据平行线的性质得到BBCD，然后由全等三角形的性质得到BE，即可得到BCDE，进而可判断D选项．【详解】∵将ABC绕点C逆时针旋转得到DEC，∴△ABC≌DEC∴EDCBAC120，ACCD∴ADC180EDC60∴ACD是等边三角形，故A选项正确；∴CAD60∵BAC120∴BADBACCAD60∴BADADC60ABCD，故B选项正确；∵题目没有说明B的度数，而ADC60∴B和ADC不一定相等，故C选项不一定正确；∵ABCD∴BBCD又∵△ABC≌DEC∴BE∴BCDE，故D选项正确；故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．绕某一点旋转问题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,3，点B的坐标为4,0，连接AB，若将ABO绕点B顺时针旋转90°，得到ABO，则点A的坐标为（

）A．6,4

B．4,3

C．7,4

D．8,6【答案】C【分析】过A作ACx轴于点C，由旋转的性质可得BCAOOA3，ACOBOB4，进而求解．【详解】解：过A作ACx轴于点C，由旋转可得O90，OBx轴，∴四边形OBCA为矩形，∴BCAOOA3，ACOBOB4，∴OCOBBC7，∴点A坐标为7,4．故选：C．【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常用方法．6．在平面直角坐标系中，将点M1,2绕点O旋转180，得到的对应点N的坐标为（

）A．(-1,2)

B．1,2

C．(1,-2)

D．1,2【答案】C【分析】根据中心对称的性质即可解决问题．【详解】解：将点M1,2绕点O旋转180，得到的对应点的坐标是(1,-2)，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-转，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．7．如图，点B在x轴上，ABO90,A30,OA2，将OAB绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转120，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（）1A．2，

3

12

1322

D．1，【答案】A【分析】先判断三角形OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转120，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第1次，第2次，第3次旋转后B的坐标，由规律得到第2023次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答．【详解】解：∵ABO90,A30,OA2，AOB60,OB1,AB22123,∵三角形OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转120，∴旋转3次为一个循环．第1次旋转，如图，过B作BFx轴于F,由旋转的性质可得：FOB18012060,OBF30,∵OB1,OF

12

,BF12

122

32

,旋2B．，旋2B．，3C．，01,2

3第2次旋转，如图，过B作BFx轴于F,此时OA与x轴重合，AOB60,OBF30,同理可得：OF

12

122

32

,13点B所在位置的坐标为,；第3次旋转，如图，三角形回到原位置，所以点B所在位置的坐标为(1,0)；……∵202336741，∴第2023次旋转后，与第2次旋转后的位置相同，所以点B所在位置的坐标为

12,

3故选：A．【点睛】本题考查的是与旋转相关的规律探究、含30的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，发现每旋转3次为一个循环是解题的关键．8．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图，AOC45,OA1,OC2，把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点B的坐标为（

）点B所在位置的坐标为2点B所在位置的坐标为2；,BF12222．A．(2,2)

B．(21,2)

C．(2,3)

D．(2,21)【答案】D【分析】根据题意，画出图形，根据直角三角形的性质，即可求出点B的坐标．【详解】解：如图：作BEy轴于点E，∵四边形OABC是平行四边形，ABOC2，∵把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，AOAAOC45，OAOA1，ABABOC2，BAO135，BAE45，AEBE

22

AB

2，OEOAAE21，旋转后点B的对应点B的坐标为(2,21)，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质、坐标与图形的变换旋转的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．9．已知在AOB中，B90，ABOB，点O的坐标为0,0，点A的坐标为0,4，点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75后，那么旋转后点B的坐标为

．【答案】2,6

【分析】根据题意画出图形，利用旋转的性质，以及含30直角三角形的性质以及勾股定理，求解即可．【详解】解：如图所示，B是旋转后点B的对应点，过点B作BC⊥y轴于点C，则BOB75，∵B90，ABOB，点A的坐标为0,4，∴ABO是等腰直角三角形，则OBOB∴BOC754530，

22

AO22，12

6，∴B2,6，故答案为：2,6．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-转，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．旋转综合10．如图1，在ABC中，A90，ABAC21，点D，E分别在边AB，AC上，且ADAE1，连接DE．现将VADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为(0360)，如图2，连接CE，BD，CD．∴CBOB∴CBOB2，OCOB2BC2旋(1)当0180时，如图2，求证：CEBD；(2)当90时，如图3，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，当△BCD的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和△BCD的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)135，

3252【分析】（1）利用“SAS”证得ACE≌ABD即可得到结论；（2）利用“SAS”证得ACE≌ABD，推出ACEABD，计算得出ADBC22，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，∵CAEBAEBADBAE90，CAEBAD，在△ACE和△ABD中，ACABAEADACE≌ABDSAS，CEBD；（2）解：根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，在△ACE和△ABD中，CAECAEBAD，ACABAEADACE≌ABDSAS，ACEABD，∵ACEAEC90，且AECFEB，ABDFEB90，EFB90，CFBD，∵ABAC21，ADAE1，CABEAD90，BC2AB22，CDACAD

22，BCCD，∵CFBD，CF是线段BD的垂直平分线；（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图：∵ABAC21，ADAE1，CABEAD90，DGBC于G，AG

12

BC

222

，GAB45，DGAGAD

222

1

242

，DAB18045135，BCD的面积的最大值为：12

BCDG

12

24(22)2

3252

，旋转角135．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．CAECAEBAD，11．如图1，点E为正方形ABCD内一点，AEB90，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90，得到△CBE（点A的对应点为点C），延长AE交CE于点F，连接DE．(1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由；(2)如图2，若DADE，请猜想线段CF与FE的数最关系并加以证明；(3)如图1，若VADE的面积为72，BC15，请直接写出CF的长．【答案】(1)四边形BEFE是正方形，理由见解析；(2)CFEF，理由见解析；(3)3．【分析】（1）根据旋转性质得到EAEB90，EBE90，再由题意可得FEB90，BEBE，即可得四边形BEFE是正方形；（2）过点D作DHAE于点H，可证明VAEB≌VDHA，则有AHBE，根据正方形的性质即可解决；（3）作DG⊥AE于G，设AEx，由SVADE72得BE，由CFEFCE即可求出CF．【详解】（1）解：四边形BEFE是正方形．理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90，AEBCEB90,BEBE,EBE90．∵BEF90，∴四边形BEFE是矩形．∵BEBE，∴四边形BEFE是正方形．（2）解：CFEF；理由如下：如图2，过点D作DHAE于点H，

12

DGAE求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理QDADE，DHAE，AH

12

AE，ADHDAH90．∵四边形ABCD是正方形，ADAB，DAB90．DAHEAB90．ADHEAB．QADAB,AHDAEB90，VADH≌VBAEAAS．AHBE

12

AE．∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90，AECE．∵四边形BEFE是正方形，BEEF．EFCE．CFFE；（3）解：CF3，理由如下：作DG⊥AE于G，如图①．由（2）可知，RtVAEB≌RtVDGA，由将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90得Rt△EBC可知，RtVAEB≌RtVCEBRtVAEB≌RtVDGA≌RtVCEBDGAECE∵SVADE

72

12

DGAE，设AEx，则DG

144x∵AEDG，即x

144x

，解得x12，即DGAECE=12∵四边形ABCD是正方形，ABBC在Rt△ABE中，∵AB15BE

AB2AE2=152122=9，∵四边形BEFE是正方形，∴BEEF9，QCFEFCECFCEEF=129=3．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明VAEB≌VDHA是关键．中心对称问题12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．13．在平面直角坐标系中，若点P(2m,3)与点Q(4,n)关于原点对称，则mn的值为（

）A．2

B．5

C．5

D．8【答案】C【详解】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【解答】解：由点P(2m,3)与点Q(4,n)关于原点对称，得：2m4,n3，∴m2，n3，则mn235，故选：C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．如图，ABC与DEC关于点C成中心对称，AB5，AE3，ÐD=90°，则AC

．【答案】1【分析】根据中心对称的性质，得出DEAB5，ACCD，再根据勾股定理求出AD2，即可求解．【详解】解：∵ABC与DEC关于点C成中心对称，AB5，∴DEAB5，ACCD，∵AE3，ÐD=90°，∴根据勾股定理可得：ADAE2DE22，∴ACCD

12

AD1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，对应角相等，以及勾股定理的内容．15．如图，ABC与ABC关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A是对称点；②BOBO；③AB∥AB；④ACBCAB．其中正确结论的个数为

．【答案】3个【分析】根据ABC与ABC关于点O成中心对称，可得△ABC≌ABC，点O是对应点连线的中点，可证BAOBAO，由此即可求解．【详解】解：∵ABC与ABC关于点O成中心对称，∴△ABC≌ABC，∵线段AA，BB，CC交于点O，即点O是对应点连线的中点，∴结论①点A与点A是对称点，正确；结论②BOBO，∵点O是中心对称，∴点O线段BB的中点，∴BOBO，结论②正确；结论③AB∥AB，∵△ABC≌ABC，∴BACBAC，在△AOC,AOC中，OAOAOCOC∴△AOC≌AOC(SAS)，∴CAOCAO，AOCAOCAOC，∴BACCAOBACCAO，即BAOBAO，∴AB∥AB，结论③正确；结论④ACBCAB，∵ABC与ABC关于点O成中心对称，∴ACBACB，CABCAB，ACB,CAB的关系不确定，结论④错误；综上所述，正确的①②③，3个，故答案为：3个．【点睛】本题主要考查成中心对称图形的特点，掌握中心对称的概念及性质是解题的关键．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，BC2，点O是直角边AC的中点．若这个三角形关于点O成中心对称的图形，则点B与它关于点O的对称点B的距离是

．【答案】25【分析】根据旋转的性质即可画出这个三角形关于点O成中心对称的图形，继而利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，ABC即为所求作的图形．∵C90，ACBC2，又点O是直角边AC的中点．OC

12

AC1，根据勾股定理，得OBBC2OC25，BB2OB25．所以点B与它关于点O的对称点B的距离为25．故答案为：25．【点睛】本题考查了作图旋转变换、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．17．如图，在Rt△ABC中，ABC90，C30，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60至AD，连接BD，若AB2cm，则BD的最小值为

．【答案】1【分析】在AC上截取AEAB2，作EFBC于F，如图，先计算出AC2AB4，BC23，BAC60，则CE2，再在RtCEF中计算出EF1，FC

3，接着证明ABD'≌AED得到DEBD，然后利用勾股定理得到DE2DF2EF2(BD3)21，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：在AC上截取AEAB2，作EFBC于F，如图，∵ABC90，C30，AC2AB4，BC3AB23，BAC60，CEACAE2，12在Rt在RtCEF中，EFCE1，FC3EF3，∵线段AD绕点A顺时针旋转60至AD'，ADAD，DAD60，BADEAD，在ABD和VADE中ABAEABD≌AED，DEBD，在RtDEF中，DE2DF2EF2(3BD)212(BD3)21，当BD3时，DE2有最小值1，BD的最小值为1．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建VADE与AD'B全等是解决此题的关键．18．如图，在ABC中，ABBC，ABC90，D是边AC上一点，连接DB，过点C作CEBD交DB于点E．(1)如图1，若DBC4DCE，BE2，求AC的长；(2)如图2，在EC上截取EFEB，连接AF交DB于点G，求证：CF2EG；(3)如图3，若CDCB，AC8，点M是直线BC上一动点，连接MD，将线段MD绕点D顺时针旋转90得到线段MD，点P是线段BC的中点，点Q是线段DB上一个动点，连接PQ，M'Q，当PQM'Q最小时，请直接写PBQ的面积．【答案】(1)42(2)见解析'BADEAD'BADEAD，'ADAD(3)22【分析】1）令DCE，则DBC4，ECB45，可得45490，求出15，进而求解；（2）过点A作AHBD交DB的延长线于点H，可证△CEB≌BHAAAS，从而得到BEAH，CEBH，进而证明△AGH≌FGEAAS即可证明；NACB45，可得点M在CN上，作点P关于BD的对称点P，作PRCN，交BD于点Q，则当M在R处，点Q在Q处，PQQM最小，从而得到QH

22

PQ

22

222，即可求解.【详解】（1）解：∵ABBC，ABC90，∴ACB45，令DCE，则DBC4，∴ECB45，∵CEBD，∴ECBDBC90，即45490，∴15，∴ECB30，在RtBCE中，BE2，ECB30，∴BC4，∴AC42；（2）解：过点A作AHBD交DB的延长线于点H，如图，∵ECBDBC90，ABHDBC90，（3）作DN（3）作DNAC，截取DNCD，连接NM'、CD，可证得NDM≌CDMSAS，从而得到（∴ECBABH，∵ABBC，∴△CEB≌BHAAAS，∴BEAH，CEBH，∵EFBE，∴AHEF，∵AGHFGE，∴△AGH≌FGEAAS，∴HGEG，∵CEBH，EFBE，∴CFHG2EG；（3）解：作DNAC，截取DNCD，连接NM'、CD，∴CDN90,N45，∵MDM'90，∴CDNMDM'，∴NDM'CDM，∵DMDM'，∴NDM≌CDMSAS，∴NACB45，∴点M在CN上，作点P关于BD的对称点P，作PRCN，交BD于点Q，则当M在R处，点Q在Q处，PQQM最小，∵BC

22

AC

22

842，∴BP

12

BC22，∴PQPQPB22，∵CDBC,CBDPBQ，∴BPQACB45，∴QH

22

PQ

22

222，∴S

PQB

12

PBQH

12

22222，∴PBQ的面积是22．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.19．如图，四边形ABCD是菱形，边长为2，ABC60，点P是射线BD上一动点（不与点B,D重合），将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连接QP,QD．(1)如图1，当点P恰好为BD中点时，直接写出线段QP与QD的数量关系为______________；(2)当点P不是BD中点时，如图2，（1）中的结论是否还成立？说明理由；(3)连接AC，当DQP30时，请直接写出四边形ACDQ的面积．【答案】(1)QPQD(2)成立，见解析(3)31或232【分析】1）根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出APBD,BPDP,ADP30，根据含30角的直角三角形的性质求解即可；（2）连接AC,PC，根据菱形的性质、旋转的性质推出BD垂直平分AC,△ACD是等边三角形，（（△APQ是等边三角形，结合等边三角形的性质利用SAS证明ACP≌ADQ，根据去掉三角形的性质及线段垂直平分线性质即可得解；（3）连接AC交BD于点O，则AOBD，设QD交AP于点E，结合等边三角形的性质利用SAS证明AQD≌DQP，根据全等三角形的性质得出ADPD2，根据勾股定理求出OD3,AP2843，根据S四边形ACDQ

SADQ

SACD

求解即可；【详解】（1）解：QPQD，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴ABAD,BD平分ADC，∵点P恰好为BD中点，APBD,BPDP,在菱形ABCD中，ABCADC60,ADP

12

ADC30,AP

12

AD,根