2022-2023学年陕西省汉中市高二年级下册期末数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省汉中市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

()

L2-T7T

51.51.

A.—4--1B.----1

2222

31.31.

C.—1D.----1

2222

【答案】D

【分析】根据复数除法运算求解.

2i.2乂1)-3'=

【详解】

1+i222

故选:D.

2.已知集合4={#2-5工-6<0},8={x|2x-3>0},则AB=()

i6)

A.B.(-1,+℃)

|，+8

C.D.(6,+ao)

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法和交集的运算求解.

【详解】由k2-5x—6<0解得，-1<X<6,所以A={x|-l<x<6},

又因为8=卜卜＞|

，所以AcB=

故选：A.

2x-y-l<0,

3.若x,y满足约束条件，x+2>0,,则2=*+丫的最大值为（）

,V-2<0,

A.-7B.0c-?D.7

【答案】C

【分析】根据约束条件，画出可行域,平移直线2=尢+＞求解.

2x-y-l＜0,

【详解】解：由X,y满足约束条件-X+220,画出可行域如图所示:

y-2W0,

平移直线2=中，当直线z=x+y经过点«|,2）时，Z取得最大值1

故选：C

4.曲线》=犬+/在点0,2）处的切线的斜率为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】求导，代入x=l求出答案.

【详解】/=5x4+2x,当x=l时，/=5+2=7,

故y=/+/在点（1,2）处的切线的斜率为7.

故选：A

5.如图，圆柱内部有两个与该圆柱底面重合的圆锥，若从该圆柱内部任取一点，则该点不在这两个

圆锥内部的概率为（）

111

B.2-3-D.4-

【答案】A

【分析】设圆柱的底面半径为，•，高为心分别求得圆柱和两个圆锥的体积，结合体积比的几何撷型,

即可求解.

【详解】设圆柱的底面半径为，高为h,则圆柱的体积为1/=兀//?,

两个圆锥的体积之和为匕=2、§1“2*三h=§1兀,〃，

根据体积比的几何概型，可得所求的概率p.X.2.

r=1--L=1——1~~：-=—

V7rr2h3

故选：A.

6.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图

在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x+lY+(y-2)2=4的一条通径与抛物线

y2=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则。=()

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线y?=2px经过点(1,2),从而

可得答案.

【详解】因为圆(x+lf+(y-2)2=4的一条通径与抛物线V=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方

形的一组邻边，

而抛物线V=2px(0>0)的通径与x轴垂直，

所以圆(》+以+&-2)2=4的这条通径与丁轴垂直，

且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，

因为圆(x+iy+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2,所以该圆与N轴垂直的通径的右端点为

。，2)，

即抛物线yJ2px经过点(1,2),则4=2p,即p=2.

故选：C.

r3ev

7.函数，(x)=T%的部分图象大致为()

【分析】根据奇偶性排除C,D：根据当x>0时，/(x)>0,排除A,从而可得答案.

【详解】因为〃力=2三的定义域为(y,o)u(o,”)，关于原点对称,

所以“X)是偶函数，排除C,D；

当x>0时，/(x)>0,排除A,

故选：B.

8.在等差数列｛为｝中，2%0-线=4,则｛%｝的前2023项和$2023=()

A.2023B.4046C.6069D.8092

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项结合条件可得4。吐=4,再由S2023=20231;+、)=2023限求解.

【详解】解：设｛q｝的公差为d，

则2%]0_%=2(q+509d)_(q+7J)=^+101W=6/1012=4,

所以S2023=2。23([+%呻)=2023%。12=8092.

故选：D

9.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该几何体的表积为(

A.32+8石B.24+8遥+8&

C.36+8-^2D.28+8\/5+8^2

【答案】B

【分析】根据几何体的三视图可得原几何体为一个四棱锥P-ABCD，根据四棱锥结构特征，求得各

个面积的面积，即可求得几何体的表面积.

【详解】根据几何体的三视图可得原几何体为一个四棱锥P-A5C。，如图所示，

其中底面ABCO为边长为4的正方形，力记为等腰三角形，且平面平面ABC。，

取钙,8的中点£尸，连接则

因为平面RWc平面71BC£)=AB,且PEu平面%8,所以PE_L平面ABCD,

又因为A£>u平面A3C。，所以PE14),

因为4B_LAD,EF43=后且。,48匚平面上钻，所以4?J_平面P4B,

又因为PAu平面B4B,所以ADJ.B4,同理可证8C_LPB,

因为底面ABC。为边长为4的正方形，且等腰二丛8的高为4,

可得皂队8=]X4x4=8，Spg=Seye=5x4x=4\/^，SABCD=16,

2222

又由PF=>]PE+EF=V4+4=4>/2，可得SPCI)=~CD-PF=^x4x4y/2=8yf2,

所以该几何体的表面积为S=]6+8+2x46+4&=24+8石+4&.

故选：B.

10.当点M(2,—3)到直线(4〃L1)X—(加一1))>+2a+1=0的距离取得最大值时，m=()

4

A.2B.-C.-2D.-4

【答案】C

【分析】化简直线为（4x-y+2）加T+y+l=O,得到直线经过定点N（-l,-2）,结合直线仞V与该

直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.

【详解】将直线（4加一l）x-（加-l）y+2m+l=0转化为（4x-y+2）/w-x+y+l=0,

[4x-y+2=0[x=-l,、

联立方程组[r+），+]=0,解得Jy=_2'所以直线经过定点N（T-2）,

当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，

4w—13

此时x~~H二一1,解得m=一2.

2-(-0

故选：C.

11.已知函数/（x）=2gsinGxcoss-Zsi/tyx+M。〉。）在（0,兀）上恰有5个零点，则口的取值范

围为（）

-2935、<2935"

A・-7_,Tb-7■迄

oo7\oo_

「2935、<2935-

U后造ID・Ik逅

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f（x）,求出x«0,兀）时，相位所在区间，再利用正

弦函数性质求解作答.

【详解】依题意，/（x）=6sin2（ox+cos2cox=2sin（2（yx+-）,

6

由69>0,0<X<7T,得一<26yxH---<2,（071H----,

666

因为〃x）在（0,兀）上恰有5个零点，贝IJ5兀<2。兀+三46兀，解得之<。4寺，

61212

（2935-

所以。的取值范围为7y，行.

故选：D

12.已知球。的半径为2,A,B,C三点在球。的表面上，且则当三棱锥O-ABC的

体积最大时，AB=（）

A.&B.毡C.百D.拽

333

【答案】D

22222

［分析】如图，设AB=a,AC=。，8C=2r,点。到平面ABC的距离为h,则a+b=4r,r+h=4,

然后表示出三棱锥A8C的体积，结合基本不等式和导数可求出其最大值.

【详解】如图，设4?=。，AC=6,设外接圆半径为r，则BC=2r,设点。到平面ABC的

距离为"则/+从=4,，,+层=%

则%-“瑜=；'：。劭〈5(/+〃”=；//1=14一/12%,当且仅当〃时，等号成立.

VOAHC=1/7-y,°<〃<2,所以%-ABC=：一，

当0<〃<型时，％w>0，当也<〃<2时，VJ_4BC<O,

33

所以当力=亚时，％_ABC取最大值，此时。=6=生叵.

33

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查多面体与球的综合问题，考查基本不等式的应用，考查导数的应用,

解题的关键是表示出ABC的体积，先用基本不等式表示出体积的最大值，再利用导数可求得结

果，考查数学计算能力，属于较难题.

二、填空题

13.已知向量a=(/n,/n+2),匕=(6,3),若。〃凡贝|加=.

【答案】-4

【分析】根据向量共线的坐标表示直接列式求解.

【详解】因为a〃人所以6(〃?+2)-3加=0,解得机=-4.

故答案为：-4.

14.［展开式中的常数项是.(用数字作答)

【答案】-672

【分析】先写出二项展开式的通项公式*1=7产（-蛾）=（-2）'7产"，再令9—3r=0,得/'=3,

从而可求解.

令9—3r=0,即/'=3,得展开式中的常数项是（一2）3端=-8、84=-672.

故答案为：-672

15.数列｛4｝满足4=lg=2,a“+2,则｛叫的前2023S202i=_____.

［。“一,61—4+1

【答案】1351

【分析】根据已知递推式求出〃3,4，%，4，%，/，则可得｛%｝从第3项起以3为周期的周期数列，从

而可求得答案

【详解】因为4=1必=2,矶=卜向一："向，

所以。3=1，4=1，。5=°，4=1，%=1，。8=0,%=1,%0=1，41=0,

则｛““｝从第3项起以3为周期的周期数列，

所以$2023=674x2+3=1351.

故答案为：1351

三、双空题

22

16.已知双曲线C：£-g=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为E，居，。为坐标原点，以6鸟为

直径的圆与C在第二象限内相交于点，与C的渐近线在第一象限内相交于点“，且OM〃耳A,则c

的离心率为,若的面积为4,则C的方程为

【答案】后—-^=1

28

【分析】根据直线的平行关系与斜率的关系和直角三角形边与角的关系结合双曲线的。，6,C的关系可

求离心率；再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而可表示面积.

【详解】如图，因为〃耳A,所以tanNA耳工=2.

又A"小,\F}F2\=2cf所以|例|=2a,\AF2\=2b9

则2h=4a,所以。=2Q,则c=\[5a，所以e='=石.

h_be

因为6（-c,0）到渐近线OM:y=±x的距离为,=b,

ax/Zr+矿

因为OM〃片A,所以点M到耳A的距离为b,

所以4吨=gx|A耳卜〃=gx2axA=2/=4,

22

所以/=2,〃=44=8,则。的方程为三—X=l.

28

四、解答题

17.已知ABC内角4,B,C的对边分别为a,从c,且屉sinC=3ccosB.

⑴求角8的值；

（2）若8=4,ac=l6,求一ABC的周长.

【答案】（呜

⑵12

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案;

（2）由余弦定理结合已知条件，即可求得答案.

【详解】⑴因为由sinC=3ccosB，所以V5sinBsinC=3sinCcosB.

又C为；ABC内角，sinCxO,所以GsinB=3cosB,

显然B=］不满足Gsin8=3cos8,即有tanB=百，

而Be(0,7t),所以B=1.

(2)由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,

b=4,ac=\6,则q+。=拈+3ac=8，

所以ABC的周长为a+b+c=12.

18.为倡导全校师生共读好书，某校图书馆新购入一批图书，需要招募若干名志愿者对新书进行编

号归纳，并摆放到对应的书架上.已知整理图书所需时长y(单位：分)与招募的志愿者人数x的数

据统计如下表：

志愿者人数X12345

整理时长y/分6045403025

⑴求y关于x的线性回归方程，=队+)

(2)由(1)中的线性回归方程求出每一个七对应整理图书所需时长的估计值%,若满足,-4<3,

则将数据y)称为一组正常数据，求表格中的五组数据中为正常数据的组数

」____

2内一〃孙

附：线性回归方程学=»-+》中，八号-----—，a=~y-bi.

2-2

Zi=l

【答案】(l)y=-8.5x+65.5

(2)表格中共有3组数据是正常数据.

【分析】(1)根据表格中的数据，结合回归系数的公式，分别求得即可得到回归直线方程；

(2)由(1)可知，分别令为=1,莅=2，玉=3,%=4,匕=5,验证卜」M的值，即可得到结

论.

・辰ri、/A77।.U-.।।A,皿皿一I*/口—1+2+3+4+5c_60+45+40+30+25，八

【详解】(1)解：由表格中的数据，可得X=-----------------=3,y=---------------------------=40.

55

=1x60+2x45+3x40+4x30+5x25=515,^x,2=12+22+32+42+52=55,

i=li=l

n,1.515—5x3x40cu―/n—:—八/

则b=55—5x32=一85，可r得a=>-法=40+8.5x3=65.5，

故y关于x的回归方程为y=-8.5x+65.5.

（2）解：由（1）可知，当王=1时，y=57,M-y=|57-60卜3,不是正常数据.

当刍=2时，%=48.5,|%-%卜|48.5-45|>3,不是正常数据.

当覆=3时，%=40，,-4=|40-40|<3,是正常数据.

当匕=4时，K=31.5,|以一%|=|31.5-30|<3,是正常数据.

当匕=5时，%=23,|%一%|=|23-25|<3,是正常数据.

故表格中共有3组数据是正常数据.

19.如图，在四棱锥中，P3_L平面ABC。，底面ABC。为直角梯形，=ZA5C=90。,

PB=AB=BC=2AD=6,F为R4的中点.

⑵求二面角P-CQ-尸的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵近

42

【分析】（1）由P8_L平面ABC。，得依_LA£>,结合可得AD_L平面R48,则A£>_L8F,

再由等腰三角形三线合一可得小，BP,再由线面垂直的判定可得3尸，平面PAD,从而可得

BF上PD,

（2）由题意可证得区4,3C8P两两垂直，所以以8为坐标原点，分别以BA8C,8P所在的直线为

x，二z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：因为PB_L平面45C。，ADu平面A8C。，所以尸3_LA£>.

又NB4£>=90°,所以48_LAD.

由/VTAB=A,PAABu平面得ADJ_平面

因为3fu平面R48,所以A£>_L8凡

因为尸为姑的中点，PB=AB,所以B4J_8尸.

由Q4cA£>=A,PAAOu平面PAD,得平面PAO.

因为PE>u平面PAO,所以3/_LPO.

(2)解：因为尸3J_平面48CO,A8,3Cu平面A8CD,所以尸8_LA8,PB，3C,

因为yWIBC,所以8ABe,8P两两垂直，

所以以B为坐标原点，分别以8A,8C,8P所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,6),尸(3,0,3),C(O,6,O),0(6,3,0),

CF=(3,-6,3)，8=(6,-3,0),CP=(0,-6,6),

设平面C。/7的法向量为机=(xi，y,zj,

m-CF=3x,-6y,+3z.=0,/.

则令M=l，得根=(L2,3).

mCD=6X]-3%=0,

设平面COP的法向量为〃=(盯%，z?)，

则,无℃=6々-3y2=0,

令W=1，得”=(1,2,2).

nCP=-6y2+6Z2=0,

mn1111714

cos(m,n

|/n||n|3A/1442

由图可知，二面角P-CD—尸为锐角，

所以二面角「-。。-尸的余弘值为11巫.

42

20.椭圆C：*+营=1(“>。>0)的左、右顶点分别为4(-2,0),4(2,0),上顶点为3(0,1),Q

是椭圆C在第一象限内的一动点，直线&Q与直线A8相交于点R直线BQ与x轴相交于点尺

(1)求椭圆C的方程

(2)试判断直线列?是否经过定点.若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由.

【答案】⑴7』

⑵直线依经过定点，该定点坐标为（2,1）.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求得。=2,匕=1,即可得到椭圆C的方程；

（2）设直线A2Q的方程为y=k[x-i）,联立方程组求得々=堂=和总=丁%，再由直线AB的

1+4K1+4k

方程为y=：X+1,联立方程组求得与=等胃和力=筌，，结合反Q,R三点共线,求得XR=等T,

22A:-12左一121+1

得出尸R的方程，即可求解.

22

【详解】⑴解：由椭圆C:1+2=l的左、右顶点分别为A（-2,0）,A（2,0）,

ab~

上顶点为8（0,1）,可得a=2,6=1,

2

所以椭圆C的方程为三+y2=i.

4

（2）解：依题可设直线A?Q的方程为），=k（x-2）,其中

y=Z:(x-2)

联立方程组f2_,整理得(1+4公b2-16/，+16/一4=0,

,T+''-

।*16k~—4ze8k"—2—4k

由2%=--------,得％=----,则y=-——

°l+4)t201+47rTQ1+4A

直线AB的方程为)，=gx+l,

y=k(x-2)4A+2

4k

联立方程组1।，解得马=兼3,昨

y=-x+l2k-l2k-\

[2

__1_

由B,Q,R三点共线，得节步=上,解得4=萼二

8攵-2xR2k+\

4FT1

软

直线网的方程为广。=4日如21一M

2k—12k+\

整理得1-4丁+2+2攵(1-2)=0,

x-2=Q

联立方程组解得x=2,y=1,

x-4y+2=0

故直线网经过定点，该定点坐标为（2,1）.

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题

目中核心变量(通常为变量2)；②利用条件找到改过定点的曲线厂(x,y)=O之间的关系，得到关于k

与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,

再证明该定点与变量无关.

21.已知函数/(力=(2"一2)炉一渥+2".

⑴若。=1,求不等式〃力＞0的解集；

3

⑵若证明：“X)有且只有一个零点吃,且“＜》

【答案】(1)(0,+8)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据导函数正负求出单调性，结合单调性解不等式即可；

(2)结合函数单调性及极值，先应用零点存在定理证明存在，再应用单调性证明唯一零点，进而证

明不等式.

【详解】(1)因为〃=1,所以“x)=(2x—2)e=x2+2,广(同=2＞3-1/0恒成立，

所以“X)在R上单调递增.

又/(。)=0,所以不等式f(x)＞0的解集为(0,+a).

(2)/(x)=(2x-2)ev-ar2+2a2,贝ij/'(x)=2x(e*-a),

令/'(x)=0，得x=()或x=Ina.

因为0v。v1,所以。＜V0.

当Ina)“。,”)时，/＜勾＞0；当X£(lnq,0)时，/z(x)＜0.

故的单调递增区间为(y』M和(0,+8),单调递减区间为(1叭0).

/(O)=2a2-2<0,〃Ina)=-〃[(InaJ-21M-2〃+2].

n,

令g(x)=(1-21nx-2x+2,则g(x)=^^---2f

显然当xw(O,l)时，g'("<0,g(x)单调递减，则g(〃)>g⑴,

即(Ina)2-2\na—2a+2>0,从而,f(Ina)<0.

故在(-8,0)上不存在零点，

当x>1时，易证得e*>,M%)=e*-V"(%)=ev-2x=z(x),

«x)=e'-2,xw(-oo,ln2)/(x)<0/(x)单调递减，

f(x)=e2,xw(ln2,+oo)/(x)>0J(x)单调递增,

・・.《%)N《ln2)=e1n2-21112=2-21112>0,・・.〃(%)20,从工)单调递增,

x>0,/i(x)>/z(0)=e0-0=1,/.ev>x2

22

,从而/(x)=(2x-2)e“-加+切>(2X-2)X-ax=x^(2x-2-ci)9

则>1>1,/e+1]>0,〃0)=242-2<0,

由零点存在定理可得/(x)有零点与€(0,+<»),X€(0,+8),/(X)单调递增，

2Q

故“X)有且只有一个零点%,且0<%<表1,则倏吟+”：.

【点睛】关键点点睛：解题的关键是对零点存在定理的应用，结合函数的单调性可证明函数零点的

唯一性.

・一，fx=2cosa,,,

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,c.(a为参数)，以坐标原点为极点，X

[y=1+2sina

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为tan，=3