2024届黑龙江哈尔滨市省实验中学高二年级上册数学期末考试模拟试题含解析

2024届黑龙江哈尔滨市省实验中学高二上数学期末考试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆C:x2+/+2x+4y+4=0,则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）

A.^/5-lB.&

C.y/5+1D.6

2.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡

西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为耳（-。,0）,8（c,0）,c>0,点。为坐标原点，动点P（x,y）满足

归团忖闾=〃（。>0且。为常数），化简得曲线氏f+y2+°2="看+，.当a=后,c=l时，关于曲线E

有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②|PO|的最大值为百；③|尸号|+伊8|的最小值为

2也;④八面积的最大值为1.其中，正确命题的个数为（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.已知｛4｝为等差数列，d为公差，若%,生，%成等比数列，%=6且dwO,则数列的前〃项和为（）

n-2n-1

B.------

4(n-l)4n

nn+1

•45+I)"4(〃+2)

4.设3点是点A（2,-3,5）关于平面xQy的对称点，贝！）|AB|=（）

A.10B.VIo

C.底D.38

5.已知双曲线，-%=1(。＞0/＞0)的渐近线方程为＞=土］，x，则该双曲线的离心率等于()

A2百i

A.・---------RJt5»

33

C.2D.4

6.已知抛物线。：三=2加(夕＞0)的焦点为尸，且点尸与圆/：(%—4p+(y+2)2=l上点的距离的最大值为6,则

抛物线的准线方程为()

A.y=-2B,y=1

C.y=2D.y=-1

7.圆元之+y2+2%—4y—6=0的圆心和半径分别是。

A.(-1,-2),11B.(-l,2),11

C.(-1,-2),y/liD.(-l,2),^/n

8.已知/(x)是定义在R上的函数，且对任意xeR都有/(x+2)=/(2—x)+4/(2),若函数y=/(x+l)的图象

关于点(—L0)对称，且/(1)=3,贝1|/(2021)=()

A.6B.3

C.OD.-3

9.如图是函数y=/(x)的导数y=/'(x)的图象，则下面判断正确的是()

A.在(—3,1)内/(尤)是增函数

B.在(1,2)内/W是增函数

C.在x=l时Ax)取得极大值

D.在x=2时/⑺取得极小值

x-y-4＜Q,

35

10.在＜%-2y+220,条件下，目标函数2=改+外(，＞0力＞0)的最大值为2,则一+丁的最小值是。

,ab

x+j＞4

A.20B.40

C.60D.80

11.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下:

排队人数01234>5

概率0.10.16030.30.10.04

则至少有两人排队的概率为（）

A.0.16B.0.26

C.0.56D.0.74

12.我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四.”思如下：一座7层塔

共挂了254盏灯，且相邻两层下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍.下列结论不正确的是（）

A.底层塔共挂了128盏灯

B.顶层塔共挂了2盏灯

C.最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200

D.最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知正方形ABC。的边长为2,对部分以为轴进行翻折，A翻折到4,使二面角A-5。-。的平

面角为直二面角，则A'B-CD=.

14.已知直线/：%-2丁+3=0与圆C：（x—2）?+/=，（厂〉0）相切，贝"=.

15.曲线y=（x-l）/在（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

16.中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力

状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为

5:7:12:10:6,则抽取的这400名高一学生中视力在［3.95,4.25）范围内的学生有_____人.

频率

M

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知点（石』）是椭圆E：£+/=l（a〉b〉O）一点，且椭圆的离心率为乎.

（1）求此椭圆E方程；

（2）设椭圆的左顶点为4,过点A向上作一射线交椭圆E于点5,以A5为边作矩形ABC。，使得对边5经过椭圆

中心O.

（i）求矩形A5C。面积的最大值；

（ii）问：矩形A3C。能否为正方形？若能，求出直线A3的方程；若不能，请说明理由.

18.（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物.为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量.现

研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度x和产卵数》的观测数据于表I中.根据绘制的散点图决定从回

2

归模型①y=Ge。/与回归模型②y=c3x+c4中选择一个来进行拟合

表I

温度x/℃20222527293135

产卵数W个711212465114325

（1）请借助表II中的数据，求出回归模型①的方程:

表n（注：表中力=In%）

777)2

Zx-匚i^-xf(y.-y)2

i=li=li=lZ=1i=l

18956725.2716278106

习玉-对卜,-力Z(龙厂矶L7)

i=lZ=1Z=1i=l

11.06304041.86825.09

(2)类似的，可以得到回归模型②的方程为y=0.36--202.54,试求两种模型下温度为20°C时的残差;

(3)若求得回归模型①的相关指数炉=0.95,回归模型②的相关指数尺2=0用1，请结合(2)说明哪个模型的拟合

效果更好

参考数据:参341ao.03,e°-26«1.30,eL79a5.46,e5-20«181.88.

附:回归方程y=£x+&中〃=

相关指数初=1一

19.(12分)如图，在几何体ABC-A14G中，底面ABC是边长为2的正三角形，明，平面ABC,

MHBBX//CG，且6AA=IBB,=3CQ=6,E是AB的中点.

(1)求证:CE//平面A4£；

(2)求二面角耳—AG—A的余弦值.

20.(12分)已知等差数列｛4｝前"项和为S,,%=4,55=30,若S=28〃+4对任意的正整数”成立，求实

数彳的取值范围.

21.(12分)如图，在几何体ABCE尸G中，四边形ACGE为平行四边形，一ABC为等边三角形，四边形BCGF为梯

形，"为线段8月的中点，CG//BF,GF=瓜,CF=2y/3,NCBF=60°,ZCGF=135°,ABLCF.

H

(1)求证：平面ABC_L平面3CGB

(2)求平面ABC与平面ACH夹角的余弦值.

22.(10分)如图，在空间四边形ABC。中，瓦R分别是的中点，〃,G分别是AO、CD上的点，满足

CG_AH

GD~HD'

(1)求证：瓦£G,H四点共面；

(2)设EH与FG交于点P,求证：B,D,P三点、共线.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.

【题目详解】。：/+/+2%+4丁+4=0变形为（x+l）2+（y+2）2=l,故圆心为（—1,—2）,半径为1,故圆心到原

点的距离为,（-1）2+22=非,故圆上的点到坐标原点的距离最小值为&'-1.

故选：A

2、D

【解题分析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；

②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；

③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；

④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.

【题目详解】当a=0,c=l时，%2+曰+1="f+4=2^/7石.

①：因为以-X代X方程不变，以-y代y方程不变，同时-X代X,以-y代y方程不变，

所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；

i

②：由d+y2+]=2dx+]+]—I）?+）^=],

所以有&+1-1<1n&+i<2,

所以|P0|=Jx2+y2=42而不G~2又2-1=m，当炉=3时成立，因此本命题正确；

③：因为|尸周・|尸闾=2,所以|P周+|PH〃2.JP4Hp闾=2夜,当且仅当忸制=|P囚时，取等号，因此本命

题正确；

④：内司=2,因为龙2+/+1=27771一（777!—i）2+/=i，

所以卜<1,△耳尸耳的面积为:x2・|y|<l,因此本命题正确，

故选:D

【题目点拨】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.

3、C

【解题分析】先利用已知条件得到（%-d）2=（%-2d）（%+d），解出公差，得到｛4｝通项公式，再代入数列

,」一|,利用裂项相消法求和即可.

[anan+lJ

【题目详解】因为％,生，%成等比数列，%=6,故42=%%，即（%—2d）（%+d），

故（6—dp=（6—2d）（6+d）,解得d=2或d=0（舍去），

故%=a3+（TI-3）J=6+2（T?-3）=2TI,

11111(11)1

即-----=7；―7?―K=：X—~^=-X--------\,故｛------｝的前几项和为:

。,4+12nx2(n+l)4n(n+l)4\nn+lj[a„an+l^

n

S=-x

n44(〃+l)

故选：C.

【题目点拨】方法点睛：数列求和的方法:

(1)倒序相加法：如果一个数列｛%,｝的前"项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列

的前"项和即可以用倒序相加法

(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前〃

项和即可以用错位相减法来求；

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；

(4)分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转

换法分别求和再相加减；

(5)并项求和法：一个数列的前几项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如为=(-!)"/(")类型，可采用

两项合并求解.

4、A

【解题分析】写出8点坐标，由对称性易得线段长

【题目详解】点3是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，

.•.8的横标和纵标与A相同，而竖标与A相反，

：.B(2,-3,-5),

二直线AB与z轴平行，

.-.|AB|=5-(-5)=10,

故选：A

5、A

【解题分析】由双曲线的渐近线方程，可得8=且。，再由a,dG的关系和离心率公式，计算即可得到所求值

3

【题目详解】解：双曲线;，=1(。>01>0)的渐近线方程为y=±#x，

由题意可得2="，即b=Y3a，可得c=J7寿=2叵。，

a333

,cr4H273

由£=—,可得e=----.，

a3

故选：A.

6、D

【解题分析】先求得抛物线的焦点坐标，再根据点F与圆M：(x-4y+(y+2)2=l上点的距离的最大值为6求解.

【题目详解】因为抛物线。：7=2py(2>0)的焦点为心，£|，

且点尸与圆M:—4)2+(y+2)2=1上点的距离的最大值为6,

所以J16+〔^+2]+1=6,解得0=2,

所以抛物线准线方程为y=-l,

故选：D

7、D

【解题分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【题目详解】先化为标准方程可得(%+1)2+3—2)2=11,故圆心为半径为而.

故选：D.

8、D

【解题分析】令尤=0,代入可得/(2)=0,即得/(x+2)=/(2-x),再由函数y=/(x+l)的图象关于点(—1,0)对

称，判断得函数y=/(x)的图象关于点(0,0)对称，即/(—X)=—/(%),则化简可得〃x+8)=/(x),即函数的周期

为8,从而代入求解/(2021).

【题目详解】令尤=0,得/(2)=/⑵+4/(2),即"2)=0,所以〃x+2)=/(2—%),

因为函数y=/(x+1)的图象关于点(-1,0)对称，

所以函数y=于(X)的图象关于点(0,0)对称，即/(—%)=-/(%),

所以“X+2)=于(2-x)=-f(x-2),

即y(x+4)=_/(x),可得y(x+8)=/(x),

则7(2021)=/(253x8-3)=f(-3)=-/(I)=-3,

故选：D.

第n卷（非选择题

9、B

【解题分析】根据y=7'（x）图象判断了（尤）的单调性，由此求得了（元）的极值点，进而确定正确选项.

【题目详解】由图可知，Ax）在区间\3,-m），（2,4）上尸（x）<0,/（尤）单调递减

在区间］一|,2：（4,5）上/'（%）>0,/（%）单调递增.

所以％=1不是Ax）的极值点，x=2是/（X）的极大值点.

所以ACD选项错误，B选项正确.

故选：B

10、C

35

【解题分析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求一+7的最小值.

ab

x-y-4<0,

【题目详解】画出卜—2y+220,的可行域，如下图：

x+y>4-

x—2y+2=0

得/(2,2)

x+y—4=0

fx-y-4=0

由V得N(10,6)；

[x-2y+2=0

x-y-4=0

得尸（4,0）；

x+y-4-=0

目标函数z=(zr+by(a>0,b>0)取最大值时必过N点,

则10a+6Z?=2

=60

（当且仅当时等号成立）

106

故选：C

11、D

【解题分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解

【题目详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：

至少有两人排队的概率为：

p=1_p（x=0）-P（X=1）=1—o.1—0.16=0.74

故选：D

【题目点拨】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题

12、C

【解题分析】由题设易知｛4｝是公比为2的等比数列，应用等比数列前〃项和公式求生,结合各选项的描述及等比数

列通项公式、前〃项和公式判断正误即可.

【题目详解】从上往下记每层塔所挂灯的盏数为则数列｛4｝是公比为2的等比数列，且40—27）=254,解得

1-2

q=2,

所以顶层塔共挂了2盏灯，B正确；底层塔共挂了27=128盏灯，A正确

最上面3层塔所挂灯总盏数为14,最下面3层塔所挂灯的总盏数为224,C不正确，D正确

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解题分析】根据后）=袤，则=•最，根据条件求得向量夹角即可求得结果.

【题目详解】由题知，CD=BA'取8。的中点。，连接如图所示，

则AO，3D,4O，5。，又二面角A—BQ—C的平面角为直二面角,

则？AO490°,又AO=A'O=0,

TT2冗

则4T=2,"£4'为等边三角形，从而<A，3,54>=与-,

1TTT27r

贝！|4BCD=A'BA4=2x2xcos——=—2,

3

故答案为：-2

14、75

【解题分析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.

【题目详解】由直线/：%—2y+3=0与圆C：(x—2)2+/=厂2(厂〉0)相切,

12+31

所以圆心到直线/的距离等于半径r,即「==6

#+(-2)2

故答案为：Vs

【解题分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.

【题目详解】y=ex+(x-l)er=xe\当x=l时，y'=e,

所以切线方程为y—0=e(x—1),即y=e(x—1)；

令％=0可得y=—e,令y=。可得x=l；

1A

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为-xlxe=-.

22

故答案为：—.

2

16、50

【解题分析】利用频率分布直方图的性质求解即可.

【题目详解】第五组的频率为0.5x(5.45-5.15)=0.15,

第一组所占的频率为0.15义=125,

6

则随机抽取400名学生视力在［3.95,4.25)范围内的学生约有400x0.125=50人.

故答案为：50.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)」上=1；

62

(2)(i)2g;(ii)y=x+V6.

【解题分析】⑴根据给定条件列出关于。，6的方程组，解方程组代入得解.

⑵(i)设直线A5方程，与椭圆方程联立求出线段A5长，再求出原点。到直线A3距离列出矩形面积求解即可;

(ii)由⑴及IAB|=|8C|列出方程，由方程解的情况即可判断计算作答.

【小问1详解】

令椭圆半焦距为c,依题意,解得片=6,〃=2,

22

所以椭圆E的方程为：—+^=1.

62

【小问2详解】

⑴由⑴知，A(-V6,0),设直线48的斜率为左次＞0,则直线A5的方程为：y=k(x+&),

由＜消去y并整理得：(3^2+l)x2+6s/6k2x+18Jt2-6=0,点A的横坐标.=—J4,

x+3y=6

18/一6，解得/"CAIT)

则点3的横坐标与有：4乙=

3k2+13k+1

则有|45|="7笆|.一/1="2三，因矩形的边。过原点。，贝！113cl

3k+1J1+42

<^—=2^/31J

因此，矩形的面积SNWMCuMr4

or~T，当且仅当3左=7,即左=乂时取

k2卡底k3

所以矩形ABCD面积的最大值是26.

2V6-V1+F_46k

(ii)假定矩形A5C。能成为正方形，贝!J|A8|=|BC|,由⑴知:3k2+1

整理得:3k3-2k2+k-2=0,即伏—1）（3/+左+2）=0,而3左2+左+2工0,解得左=1,

所以矩形A5C。能成为正方形，此时，直线45的方程为,=%+#.

【题目点拨】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以

斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.

18、(1)y=e026"3-41(或,=0.03e°26x)

(2)模型①：1.54；模型②：65.54

(3)模型①

【解题分析】(1)利用两边取自然对数，利用表中的数据即可求解；

(2)分别计算模型①、②在X=20时残差；

(3)根据相关指数的大小判断摸型①、②的残差平方和，再得出那个模型的拟合效果更好.

【小问1详解】

由，得，

令，得，

由表H数据可得,

所以

所以回归方程为(或).

【小问2详解】

由题意可知，模型①在时残差为

模型②在时残差为

【小问3详解】

因为，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②

的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.

19、(1)证明见解析

⑵一亚

4

【解题分析】(1)取44的中点F，连接EF,C.F,由四边形EEC。是平行四边形即可求解；

(2)采用建系法，以0C为x轴，为y轴，垂直底面方向为z轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即

可求解.

【小问1详解】

取4乌的中点F,连接EF,GF,BB［//CQ,

AEF//CCX,且所=；("+3用)=2,.,.EF=CG，

/.四边形EFC.C是平行四边形，CE//CXF,

又平面A与G，。/匚平面4与。］,.・.0£〃平面4用。］；

取AC的中点0,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。X”,

则A(—1,0,1),4(0,6,3),G(1,O,2),二4月=0,若,2),AG=(2,0,1).

设平面ABG的法向量是m=(x,y,z)，则“学=:，

\7［加YG=0

即卜+A+2Z=°,令.1,得昨(1,省2),

2x+z=0''

易知平面A4G的一个法向量是n=(0,1,0),

m-n_y/6

.・.cos\m,n

|m|-|n|4

又二面角4—AG—A是钝二面角,

••・二面角4—AG-4的余弦值为—逅.

4

20、（TO,—12]

q+d=4

【解题分析】设等差数列的公差为"，根据题意得＜解方程得％=2,d=2,进而得

q+2d=6

〃（2+2〃）

S——n(〃+1),故;7〃恒成立，再结合二次函数的性质得当〃=3或4时，,⑺取得最小值-12,

2

进而得答案.

【题目详解】解：设等差数列的公差为d,

5x4

由已知%=q+d=4,S5=5qH■—d=5囚+10d=30.