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文档简介
三角函数的定义问题情境新知探究问题2由什么定义媒介替代原定义中的直角三角形?新知探究问题3在平面直角坐标系中,如何定义锐角的三角函数?新知探究问题4点P的位置是否会影响三角函数值?这种定义方式是否适用于任意角?新知探究当α是锐角时,它的终边在第一象限内,如图所示,在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P(x,y),MxyOαP(x,y)作PM垂直于Ox于点M,记则△OMP是一个直角三角形,且OM=x,PM=y,OP=r,xyr由此可知:新知探究任意角的正弦、余弦与正切的定义新知探究xyOP(x,y)α的终边任意角的正弦、余弦与正切的定义对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=
,称
为角α的正弦,记作sinα;称
为角α的余弦,记作cosα,因此sinα=
,cosα=
.角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数.当角α的终边不在y轴上时,称
为角α的正切,记作tanα,即tanα=
.【练一练】若角α的终边上有一点(2,0),则sinα=______;cosα=______;tanα=______.020新知探究问题5
任意角的正弦、余弦、正切的值可能正、可能负,还可能为0.那么它们的符号与什么有关?你能总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律吗?当且仅当α的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sinα>0;当且仅当α的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sinα<0.当且仅当α的终边在第一、四象限,或x轴正半轴上时,cosα>0;当且仅当α的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cosα<0.当且仅当α的终边在第一、三象限时,tanα>0;当且仅当α的终边在第二、四象限时,tanα<0.xyO++--sinαxyO-+-+sinαxyO-++-tanα如图所示新知探究练若△ABC的两内角A、B满足sinA·cosB<0,则此三角形的形状为_____________.解析:三角形的两内角A、B的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上,sinA·cosB<0,所以sinA>0,cosB<0,所以角B为钝角,此三角形为钝角三角形.钝角三角形新知探究【做一做】当α为第三象限时,
=____________.-2解析:因为α为第三象限角,所以所以初步应用例1
已知角α的终边经过点P(2,-3),求sinα,cosα,tanα.解答:设x=2,y=-3,则于是初步应用利用定义求三角函数值的步骤:取点;求r;代入公式.初步应用例2
求下列各角的正弦、余弦、正切.(1)角0的终边在x轴正半轴上,在x轴的正半轴上取点(1,0),(1)0
(2)
(3)π
(4)所以因此:初步应用例2
求下列各角的正弦、余弦、正切.(1)0
(2)
(3)π
(4)所以因此:不存在;(2)角
的终边在y轴的正半轴上,在y轴的正半轴上取点(0,1),初步应用例2
求下列各角的正弦、余弦、正切.(3)角π的终边在x轴的负半轴上,在x轴的负半轴上取点(-1,0),(1)0
(2)
(3)π
(4)所以因此:初步应用例2
求下列各角的正弦、余弦、正切.(1)0
(2)
(3)π
(4)所以因此:不存在.(4)角的终边在y轴的负半轴上,在y轴的负半轴上取点(0,-1),初步应用例3
求
的正弦、余弦和正切.解答:如图所示,在
的终边上取点P,使得OP=2,作PM⊥Ox,MxyOP则在Rt△OMP中,因此MP=1,OM=
,从而可知P的坐标为(
,1),因此初步应用例4
确定下列各值的符号解答:(1)因为260°是第三象限角,所以cos260°<0;(2)由-672°20′=47°40′+(-2)×360°,可知-672°20′是第一象限角,所以tan(-672°20′)>0;(1)cos260°
(2)tan(-672°20′)
(3)(3)由
,可知
为第三象限角,所以初步应用例5
设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限角.解答:因为sinθ<0,所以θ的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上;又因为tanθ>0,所以θ的终边在第一、三象限.因此满足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限角.初步应用例6
已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=
,求sinθ+tanθ的值.又y=3>0,所以θ是第一或第二象限角.解答:因为
,又,所以又x≠0,所以x=±1,所以r=
.当θ为第一象限角时,sinθ=
,tanθ=3,则sinθ+tanθ=当θ为第二象限角时,sinθ=
,tanθ=-3.则sinθ+tanθ=练习练
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