重庆南开中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

重庆南开中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，A6c内接于圆。，ZB=65°,ZC=70°,若BC=2®，则弧8C的长为（）

A.乃B.[^兀C.2兀D.2A/2^

2.下列成语表示随机事件的是（）

A.水中捞月B.水滴石穿C.瓮中捉鳖D.守株待兔

3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，贝!|tanNABC的值为（）

4.某中学有一块长30cm,宽20c,”的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图

所示，求花带的宽度.设花带的宽度为*机，则可列方程为（）

<-----30泄——>

+i±±±±±ixm

IT

20m

21

A.(30-x)(20-x)=-x20x30B.(30-2x)(20-x)=-x20x30

33

12

C.30x+2x20x=-x20x30D.(30-2x)(20-x)=-x20x30

33

5.已知关于x的一元二次方程d+(2m+l)x+加一1=()的两个根分别是*,%2,且满足龙；+対=3,则〃?的值是

)

T1

A.0B.-2C.0或——D.-2或0

2

6.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x,则可列方程为（）

A.48（1-x）2=36B.48（1+x）2=36C.36（1-x）2=48D.36（1+x）2=48

7.如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）

*0

A.16m2B.12m2C.18m2D.以上都不对

8.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径08=10,水面宽AB=12,则截面圆心。到水面的距离。。是

A.3B.4C.373D.8

9.下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（)

A.2x2-6x+l=0B.3x2-X-5=0C.x2+x=0D.X2—4x+4=0

10.cos60。的值等于（)

1V2

A.—B.C.正D.—

2223

11.袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出

一个球，摸到白球的概率为（）

3311

A.-B.C.—D.-

7473

12.如图，各正方形的边长均为1,则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（）

A.①②B.①@C.②③D.③④

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图是二次函数y=a/+灰+c的部分图象，由图象可知不等式依2+bx+c>0的解集是.

(2,J2)为反比例函数y=丄图象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,

X

当线段AP与线段8P之差达到最大时，点P的坐标是.

BC=8,若NBPC」NBAC,tanZBPC=

2

16.二次函数.丫=収2+笈+或。#0)的部分图象如图所示，图象过点(-4,0),对称轴为直线x=—1,下列结论:

@abc>0；②2a-b=0；③一元二次方程収?+法+c=()的解是％=-4,x2=1；④当y>0时，-4<x<2,

其中正确的结论有.

17.如图，抛物线)，=-/+2向右平移1个单位得到抛物线.

18.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，戶为価的黄金分割点(AP>PB),

如果価的长度为10cm,那么"的长度为cm.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC,垂足为点E,连接DE,F为线段DE上一点，且

ZAFE=ZB.

（1）求证：AADF^ADEC;

⑵若AB=4,AD=3j^,AF=2g,求AE的长.

20.（8分）国庆期间，某风景区推出两种旅游观光活动付费方式：若人数不超过20人，人均缴费50（）元；若人数超

过20人，则每增加一位旅客，人均收费降低10元，但是人均收费不低于350元.现在某单位在国庆期间组织一批贡

献突出的职工到该景区旅游观光，支付了12000元观光费，请问：该单位一共组织了多少位职工参加旅游观光活动？

21.（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图（如图1）和不完整的扇形图（如图2）,

其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分.

⑴求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

⑵随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补

查了__人.

團1凰2

22.（10分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出2（）件，为

迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调査发现，如果每件童装降价1元，那么平

均可多售出2件­设每件童装降价x元（x>0）时，平均每天可盈利y元.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元?

(3)该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由.

23.(10分)如图，AC是。O的一条直径，AP是0O的切线.作BM=AB并与AP交于点M,延长MB交AC于点

E,交。O于点D,连接AD.

(1)求证：AB=BE；

(2)若OO的半径R=5,AB=6,求AD的长.

24.(10分)如图，AB是。O的直径，ACBC>E是OB的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE.连接AF

交。O于点D,连接BD,BF.

(1)求证：直线BF是。。的切线;

(2)若OB=2,求BD的长.

25.(12分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由;

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

ax2+hx-3(x>1).

26.某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数y=宀的图象与性质进行了探究，请补充完

整以下的探究过程.

X一2一101234

y・・・30-1010-3•・・

(1)填空：a=.b=.

(2)①根据上述表格数据补全函数图象;

②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？

(3)若直线>=丄％+，与该函数图象有三个交点，求t的取值范围.

2

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】连接OB,OC.首先证明AOBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题.

【详解】连接OB,OC.

VZA=180°-ZABC-ZACB=180o-65o-70o=45°,

AZBOC=90°,

•・・BC=2技

AOB=OC=2,

厶厶I，d90x%x2

二8C的长为一

1oU

故选A.

【点睛】

本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识

2、D

【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.

【详解】解：水中捞月是不可能事件，故选项A不符合题意；

B、水滴石穿是必然事件，故选项B不符合题意；

C、瓮中捉鳖是必然事件，故选项C不符合题意；

D、守株待兔是随机事件，故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.用到的知识点为：确定事件

包括必然事件和不可能事件.必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的

事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3、B

【分析】根据网格结构找出NABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可.

【详解】解：NABC所在的直角三角形的对边是3,邻边是4,

3

所以，tanNABC=—.

4

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键.

4、B

【分析】根据等量关系：空白区域的面积=丄矩形空地的面积，列方程即可.

3

【详解】设花带的宽度为xm,则可列方程为（30-2x）（20-x）=-x20x30,

3

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用一几何问题，理清题意找准等量关系是解题的关键.

5、C

【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把X/+X22转换为（XI+X2）2-2XIX2,然后

利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：..”卜X2是一元二次方程x2-mx+2m-l=0的两个实数根，

/.xi+x2=-(2m+l),xiX2=m-l,

VX12+X22=(X1+X2)2-2XIX2=3,

/•[-(2m+l)]2-2(m-1)=3,

解得:mi=O,mi=----,

2

又方程x2-mx+2m-l=0有两个实数根，

△=(2m+l)2-4(m-1)>0,

:.当m=0时,A=5>0,当m=-丄时,A=6>0

2

.\mi=0,m2=-L都符合题意.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a何)的根

bc

与系数的关系：若方程两个为XI,X2,则Xl+X2=--,X1»X2=—.

aa

6、D

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，如果设教育经费的年平均增长率为X,

然后根据已知条件可得出方程.

【详解】二•某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x,

二二月份的营业额为36(1+x),三月份的营业额为36(1+x)x(1+x)=36(1+x)2.

...根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36(1+x)2=48.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键.同时要注意增长率问题

的一般规律.

7,C

【分析】设AB边为x,则BC边为(12-2x)，根据矩形的面积可列二次函数，再求出最大值即可.

【详解】设AB边为x,则BC边为(12-2X),

则矩形ABCD的面积y=x(12-2x)=-2(x-3)2+18,

.,.当x=3时,面积最大为18,

选C.

【点睛】

此题主要考察二次函数的应用，正确列出函数是解题的关键.

8、D

【分析】根据垂径定理，OC丄AB,故OC平分AB,由AB=12,得出BC=6,再结合已知条件和勾股定理，求出OC

即可.

【详解】解：TOC丄AB,AB=12

，BC=6

•：OB=10

二OC=Y]OB2-BC2=V102-62=8

故选D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，能够熟悉定理以及准确的运算是解决本题的关键.

9,D

【解析】试题分析：选项A,A=b2-4ac=(-6)2-4x2xl=28>0,即可得该方程有两个不相等的实数根；选项BA=b2

-4ac=(-1)2-4x3x(-5)=61>0,即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C,△=b2-4ac=l2-4xlx0=l>0,

即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D,A=b2-4ac=(-4)2-4xlx4=0,即可得该方程有两个相等的实数根.故

选D.

考点：根的判别式.

10、A

【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可.

【详解】解：cos60°=5.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值.

11、A

【分析】根据题意，让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率.

【详解】解：根据题意，袋子中有4个黑球和3个白球，

33

二摸到白球的概率为：——=-；

3+47

故选：A.

【点睛】

本题考査了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数.

12、A

【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.

【详解】解：由图，根据勾股定理，可得出

①图中阴影三角形的边长分别为：1,也,斯；

②图中阴影三角形的边长分别为：72,2,710；

③图中阴影三角形的边长分别为：1,后,2行；

④图中阴影三角形的边长分别为：2,75,713;

可以得出①②两个阴影三角形的边长4==—=^=—,

V22VW2

所以图①②两个阴影三角形相似；

故答案为：A.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注

意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、—1<x<5

【解析】求方程的解即是求函数图象与x轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个，分析

X轴上方的图象可得结果.

【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2,图像与X轴的一个交点为5,所以，另一交点为2-3=-l..•.XI=-1,X2=5.；.

不等式以2+灰+。>0的解集是-1<%<5.

故答案为一1<%<5

【点睛】

要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.

14、1|，0)

【解析】试题解析：•••把A(-,yi),B(2,y2)代入反比例函数丫=丄得：yi=2,yz=丄，

2x2

A(一,2)tB(2,1).

22

在4ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|<AB,

,延长AB交x轴于P，，当P在P，点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大,

设直线AB的解析式是y=ax+b(a#0)

c1,

2=-a+b

2

把A、B的坐标代入得:

1c,

—=2a+b

,2

a=-\

解得：L5

b—~

l2

直线AB的解析式是y=-x+y,

当y=0时，x=~,即P(3,0)

22

故答案为(2,o).

2

4

15、-

3

【详解】试题分析：如图，过点A作AH丄BC于点H,

VAB=AC,，AH平分NBAC,BH=-BC=4.

2

又•:ZBPC=—ZBAC,AZBAH=ZBPC.

2

.,,tanZBPC=tanZBAH.

在RtAABH中,AB=5,BH=4,.*.AH=1.

BH4

..tanZBAH=------=—.

AH3

4

.•,tanZBPC=-.

3

考点：1.等腰三角形的性质；2.锐角三角函数定义；1.转化思想的应用.

16、①@@

b

【分析】①由抛物线的开口向下知aVO,与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0,由对称轴为X=-==-1,得

2a

到b<0,可以①进行分析判断；

②由对称轴为x=-2=-1,得到2a=b,b-2a=0,可以②进行分析判断；

2a

③对称轴为x=“，图象过点(-4,0),得到图象与X轴另一个交点(2,0),可对③进行分析判断；

④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为(-4,0),(2,0),即可对④进行判断.

【详解】解：①•••抛物线的开口向下，

/.a<0,

・・•与y轴的交点在y轴的正半轴上，

Ac>0,

b

对称轴为x=--——1V0

2a

Ab<0,

AabcX),故①正确；

②•.,对称轴为x=—=-1,

1a

/.2a=b,

.".2a-b=0,故②正确；

③••,对称轴为x=-L图象过点A(-4,0),

图象与x轴另一个交点(2,0),

••・关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-4或x=2,故③错误；

④；抛物线开口向下，图象与x轴的交点为(-4,0),(2,0),

...当y>0时，-4VxV2,故④正确；

,其中正确的结论有：①②④；

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方

向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用.

17、y=-（%—1）'+2

【分析】先确定抛物线y=-f+2的顶点坐标为（0,2）,再利用点平移的规律得到点（0,2）平移后所得对应点的

坐标为（1,2）,然后根据顶点式可得平移后的抛物线的解析式.

【详解】解：抛物线y=--+2的顶点坐标为（0,2）,把点（0,2）向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1,2）,

2

二平移后的抛物线的解析式是：y=-（x-l）+2;

故答案为y=_d）2+2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常

可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶

点坐标，即可求出解析式.

18、575-5

【分析】利用黄金分割的定义计算出AP即可.

【详解】解：TP为AB的黄金分割点（AP>P8）,

.♦.4尸=叵1厶5=選工10=5石-5（.cm）,

22

故答案为575-5

【点睛】

本题考查黄金分割：把线段43分成两条线段AC和8c（AOBC）,且使AC是4B和8c的比例中项（即A5：AC

=ACtBC）,叫做把线段48黄金分割，点C叫做线段48的黄金分割点.

三、解答题（共78分）

19、（1）答案见解析；（2）AF=26

【解析】试题分析：（1）AADF和ADEC中，易知NADF=NCED（平行线的内错角），而NAFD和NC是等角的补

角，由此可判定两个三角形相似；

（2）在RtAABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出

AF的长.

试题解析：（1）•••四边形ABCD是平行四边形，

:.ADBC,ABCD,

/.NADF=/CED,NB+NC=180。，

••,/AFE+NATO=180°,

/AFE=^B,

.•./AFD=/C,

.,一ADFS_DEC.

（2）四边形ABCD是平行四边形，

.•.ADBC,CD=AB=4,

又AE丄BC,

二AE丄AD,

在Rt_ADE中，

DE=VAD2+AE2=6，

'：ADFsDEC,

ADAF

/•-----=-----9

DECD

:.AF=2技

20、30

【分析】设该单位一共组织了x位职工参加旅游观光活动，求出当人数为20时的总费用及人均收费10元时的人数，

即可得出20Vx<l,再利用总费用=人数x人均收费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结

论.

【详解】解：设该单位一共组织了x位职工参加旅游观光活动，

22

V500x20=10000（元），1000（X12000,（500-10）=15（人）,12000X0=34—（人），34-不为整数，

77

.,.20<x<20+15,即20VxVl.

依题意，得：x[500-10（x-20）]=12000,

整理，得：x2-70x+1200=0,

解得：xi=30,X2=40（不合题意，舍去）.

答：该单位一共组织了30位职工参加旅游观光活动.

【点睛】

本题考査了一元二次方程的应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关键.

21>（1）被遮盖的数是9,中位数为5；（2）1.

【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和

7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；

（2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27,从而得到最多补査的人数.

【详解】解：（1）抽查的学生总数为6+25%=24（人），

读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），

所以条形图中被遮盖的数为9,册数的中位数为5；

（2）因为4册和5册的人数和为14,中位数没改变，所以总人数不能超过27,即最多补查了1人.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

22、（1）J=-2X2+20X+400；（2）10元：（3）不可能，理由见解析

【解析】（1）根据总利润=每件利润x销售数量，可得y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中的函数关系列方程，解方程即可求解；

（3）根据（1）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得.

【详解】解：（1）根据题意得，

y与x的函数关系式为y=（20+2x）（60-40—x）=-2.x~+20x+400；

（2）当y=400时，400=-2x2+20x+400，

解得玉=10,々=0（不合题意舍去）.

答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；

（3）该专卖店不可能平均每天盈利600元.

当y=600时，600=-2/+20彳+400，

整理得/一i0x+100=0，

2

•.•A=（-10）-4xlxl00=-300<0,

方程没有实数根，

答：该专卖店不可能平均每天盈利600元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键.

48

23、⑴见解析；（2）4。=二.

【分析】⑴由切线的性质可得NBAE+NMAB=9。。，进而得NAEB+NAMB=90。，由等腰三角形的性质得NMAB

=NAMB,继而得到NBAE=NAEB,根据等角对等边即可得结论；

⑵连接BC,根据直径所对的圆周角是直角可得NABC=90。，利用勾股定理可求得BC=8,证明△ABCsaEAM,可

得NC=NAME,-=——，可求得AM=一，再由圆周角定理以及等量代换可得ND=/AMD,继而根据等角

EMAM5

48

对等边即可求得AD=AM=—.

【详解】（D；AP是。。的切线，

.,.ZEAM=90°,

ZBAE+ZMAB=90°,ZAEB+ZAMB=90°,

又；AB=BM,

，NMAB=NAMB,

.\NBAE=NAEB,

/.AB=BE；

⑵连接BC,

•；AC是。。的直径，

AZABC=90°

在RtAABC中，AC=10,AB=6,

.\BC=7AC2-AB2=8»

由(1)知，NBAE=NAEB,

又NABC=NEAM=90°,

.,.△ABC^AEAM,

,,ACBC

.,.ZC=ZAME,------=-------

EMAM

108

即an一=

12AM

48

AAM=—

5

又；ND=NC,

；.ND=NAMD,

48

.,.AD=AM=—

5

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，准确识图，正确

添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)BD=31

5

【分析】(1)连接OC,由已知可得NBOC=90。，根据SAS证明AOCE纟Z\BFE,根据全等三角形的对应角相等可得

ZOBF=ZCOE=90°,继而可证明直线BF是。O的切线;

(2)由(1)的全等可知BF=OC=2,利用勾股定理求出AF的长，然后由SAABF=」=丄AFBO,即可求出

22

BD#.

【详解】解：(1)连接OC,

：AB是OO的直径，AC=BC>.，.ZBOC=90°,

YE是OB的中点，/.OE=BE,

在AOCE和ABFE中,

OE=BE