2023年高考数学主观题四 立体几何

专题四立体几何

历年高考命题分析

该部分的命题主要是以柱体、锥体等简单几何体为载体,证明

空间的点、线、面的平行与垂直关系,面积、体积等的计算等,目

的是考查考生的推理论证能力、空间想象能力等.

【近7年新课标卷考点统计】

试卷类型2016201720182019202020212022

全国卷（甲语一12121212121212

全国卷（乙卷）12121212121212

新高考全国L1212

新高考全国∏K1212

典例解析

【例1】如图,菱形AHCD的边长为4,NBAD=60°ACΠBD=O.

将菱形AHC。沿对角线AC折起,得到三棱锥JB-AC2点M是棱BC的

中点QM=2让.

⑴求证:0M〃平面A5D;

【解析】⑴证明:因为。为AC的中点也为BC的中点,

所以OM〃AA

又因为OMu平面AB。,ABU平面A5D,

所以OM〃平面ABD

【例1】如图,菱形A5C。的边长为4,/840=60。，ACn50=0.

将菱形A5C。沿对角线AC折起,得到三棱锥5-AC。,点〃是棱BC的

中点,DM=2y∕~^.

⑵求证:平面。OMJ_平面A5C;

【解析】(2)证明:因为在菱形A5C。中,0D_LAC

所以在三棱锥5-AC。中,OOLAC

在菱形ABC。中,A5=AO=4,NB4。=60。，所以50=4.

因为。为5。的中点,所以ODqBD=2.

乙

因为。为AC的中点也为BC的中点,所以OM==2.

2

因为0。2+0M2=8=Z)M,所以NDOM=90°,即ODJLOM.

因为ACU平面ABCOMU平面A5C,ACn(W=0,

所以OD，平面ABC

因为0。U平面。OM所以平面。OMJL平面A5C

【例1】如图,菱形AHC。的边长为4,NB40=60°,ACnBD=O.

将菱形ABC。沿对角线AC折起,得到三棱锥B-AC。,点M是棱3C的

中点QM=2近.

(3)求三棱锥B㈤。M的体积.

【解析】(3)解:由⑵得,ODJ_平面50M

所以。。是三棱锥。-50M的高.

因为。。=2180MqoBBMsin60o=∣×2×2×^=√3,

NZ2

所以%-D0M~%-BoM=WSABOM，OD=W×vɜ×2-ʒɪ.

【例2】已知正方体ABCD-APBlG3中,A4]=2,E为棱CG的中点∙

⑴求证:修。1，AE

【解析】证明:(1)连结BZXAC,则BD〃BlD-

•/四边形A3C。是正方形,，AC_LJBD

∙.∙CE，平面ABCZV.CELBD.

又ACnCE=C且ACCEU平面ACE,・•・瓦），平面ACE

又,：BD〃B[Di，

・・・当。1，平面ACE

VAEc5FffiACE,

ΛB1D1ɪAE

【例2】已知正方体ABCD-AIjBIGal中A4ι=2,S为棱CG的中点∙

(2)求证:AC〃平面片。E

【解析】证明:(2)作5当的中点厂,连结ARCEEEI

YE,F是CG,BB]的中点,Z.CEJLBxE

：.四边形修尸C石是平行四边形.JC尸〃昌E

又0£u平面与。EeRt平面为。瓦Z.CF//平面与。E

•・•E,F是CC],BS1的中点,・•・EFJLBC.A

又BCJLAD,：.EFJLAD.

：.四边形A。E厂是平行四边形,「.Ab〃ED

又。EU平面耳。&4Rt平面5QE,.∙∙A/〃平面当。E

5

∙/AF∩CF=F9JaAF,CFcP®ACF,

/.平面AeT〃平面名。E

XACc5PffiACF,C.AC//平面均。E

【例3】如图,在四棱锥PA5CD中,RL，平面ABC。/。ɪCD,

tPF1

A。〃BeBL=4。=。。=2万。=3.£为尸。的中点,点尸在尸。上,且丁二『

1C√ɔ

(1)求证:平面B4D;AK

【解析】(1)证明:因为以，平面ABCn

所以B4_LCD

又因为A。，Cn

所以Cra平面∕¾D

【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,B4_L平面A5CD√4OɪCD,

pp1

A。〃BCE4=AD=CD=2,JBC=3.£为尸。的中点,点方在PC上,且m二£

JLC√ɔ

(2)求二面角尸AE-尸的余弦值；

【解析】(2)解:过A作的垂线交5C于点陌

因为PA1,平面A5C。,所以∕¾_LAMB4_LAD

如图建立空间直角坐标系A邛,R

则A(OQO)乃(2,-l,0)C(2,2,0)Q(0,2,0),P(OQ2).

因为石为尸。的中点,所以£(0,1,1).

所以旗二((U,1),鼠二(22-2),G=(0,0,2).

【解析】所以∕⅞=⅛⅛=(∣,∣,-∣),+τ⅞=(∣,∣t)

设平面AM的法向量为〃=α,y,z),

κJn∙Λ⅛=0,即y+z=0,

2.24

-X+-V+-Z=n0.

(n∙AF-0,33，3

令z=l,则y=-l,X=-L于是"=(-1,-1,1).

又因为平面外。的法向量为p=(l,0,0),所以cos<",p>=蒜y=*

因为二面角？AEP为锐角,所以其余弦值为学

【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,以，平^ABCDADɪCD,

pp1

ACD=2乃C=3.E为尸。的中点,点方在PC上,且二二二

PC3

⑶设点G在形上,且.判断直线AG是否在平面AEb内,并说明

ΓD3

理由.

【解析】(3)解:直线AG在平面AE/呐.

DA

因为点在上,且∣∣∣

GP5=,p⅛=(2,-l,-2),力

B

->2—>424\4二22

所以

PGqPB二底3,3‘3

由(2)知,平面AM的法向量为〃=(-1,-1,1),

所以ZG刃=-[+]+]=°，所以直线AG在平面AEb内.

考点训练

L多面体A5C。石中AB=BC=AC=AE=I,O)=2√4E，平面ABC,

AE〃CD求证：

(I)A石〃平面BC。;

证明:(iy：AE//5FWCACDc5PffiBCD,

.∙.AE〃平面BCD

L多面体A5C。石中,A5=5C=AC=AE=1,0)=2,A£_L平面A5C,

A£〃CD求证：

⑵平面平面5CD

证明:(2)取中点Nf。中点M连接AMNM.

•••〃'是八8。。的中位线,・・・阿〃。。且脑"工。。=1.

2

又•：NEJlCD,：.AE//MN.

又・：AE=MN=\,：.四边形ANME为平行四边形.

：.EM//AN.B

∙.∙AEL平面A5C,・•・MNL平面A5C又ANU平面A5C,Z.MNLAN.

YZXABC为正三角形,N为3。的中点,.∖AN±BC.

又BCCNM=N,BC,MNu平面BCD,：.AN±平面BCD又EA/〃AN.

/.EML平面BCD又EMU平面

/.平面平面5CD

2.如图,直三棱柱ABC4向G中Q,E分别是AB,的中点.

(1)证明:5G〃平面AIC。；

⑴证明:连结AG交AIC于点R则尸为AG中点.

连结。E又。是AB中点，

则g〃。兄

又因为。尸U平面AC。/GC平面

所以BG〃平面AICD

2.如图,直三棱柱ABC-A向G中分别是为的中点.

(2)设AAI=AC=Cβ=2,AB=2√^,求三棱锥C-AlOE的体积.

(2)解:因为A3C4向C]是直三棱柱,所以AAj平用WC/

又因为CDU平面A5C,所以AAJCD.H∖p>√

因为AC=C氏。为AB的中点,所以A5_LcD.?

又AAlnA5=A,及AA19A5u平面A551Aι,所以CO_L平崎跖反Al

由AAl=AC=C3=2,AB=2让，4

得NAC5=90°,CD=√‰40=√^DE=B,AIE=3,

故4。2+。£2=4£2,即4。2_。E

A

所以

LC-ZlZ)E=。WCDSDE=WUX×y[2×^乙×VδXʌ/ɜ-l.

3.如图,三棱柱ABC-A15ιG中，CA=Cβ,AB=AA],/844=60。.

⑴证明:ABJLAIC;

(1)证明:取A3的中点O,连结OcoAl,A1.

因为AC=C6。为AB的中点,所以OC_LAB

因为A5=44],/844=60。，所以4AA]5为等边三角形.

所以。4JAR

又因为。41noe=0,及OA,0CU平面。4C所以A3_L平面。41C

又AlCU平面OAIC

故AICuA

3.如图,三棱柱ABC-A15ιG中，CA=Cβ,AB=AA],/844=60。.

(2)若AB=BC=2A。=伤,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

(2)解:由题设及⑴知AAHC与AAA由都是边长为2的等边三角形,

所以OC=OAI=V

又AlC=跖则AlC2=0C2+O√,故。SoA

又因为由⑴知OAJA民

OCnAJB=O,及OCABU平面ABe所以OAJ平面ABC

所以OAl为三棱柱ABC-ApBIG的高.

又△A5C的面积SΔΛBC=√3,

故三棱柱A5C-A画G的体积V=0AI∙S"BC=3∙

4.如图四边形AgC。是菱形,7¾ɪ平面ABCnQ为的中点.求证:

(I)Pe〃平面QBD;

证明:设ACn5。=0,连接OQɪ

(1)∙.∙A3O)为菱形，

・••。为AC中点.

又。为小中点,

：.OQ//PC

又PCC平面。&ZOQU平面QBD,

.∙.PC〃平面Q5D

4.如图四边形A5C。是菱形,B4，平面AgCnQ为B4的中点.求证:

(2)平面。5。，平面B4C

证明：设ACn8。=0,连接OQ.

(2)∙.∙A8CD为菱形，

：.BD±AC

又丁PA上平面ABCD,BDu平面ABCD

：.PA±BD,

又B4ruc=4,且BUCU平面BLC

JBDɪ平面RIe又U平面QgQ,

工平面。30,平面B4C

5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中45_1_平面B4。,A5〃CD,PD=A。，

1_

是的中点是。上的点且。耳二彳人民尸”为中。边上的高.

EPBFC乙A

(1)证明:PH±平面Ai3CD;P

⑴证明:因为ABɪ平面B4O,P"u平面E4。，∖

所以PHLAB./\'*彳二C

因为PH为AMD中A。边上的高，“匕小

所以P〃J_AD

因ABHAD=A,ABΛDc∑^ABCD,

所以PHJL平面ABCD

5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中45_1_平面B4。,A5〃CD,PD=A。,

A_

的中点。上的点且。耳二彳人民尸”为中。边上的高.

E是PBF是C乙A

(2)若PH=I4)=鱼/C=I,求三棱锥石-JBC歹的体积;

(2)解:连结5",取中点G,连结EG

因为石是尸5的中点,G是5〃的中点,所以EG//RH湛

因为PHj_平面ABCn所以EG平面A5CD，

所以EG是三棱锥45CT的高，

Λ/

因^JAD±ABAB〃OC所以A。ɪFC

1

VE-BCF=WSLBCF-EG=-X-FGADEG^B

3212

5.如图所示,在四棱锥尸-A5C。中√4B，平面RL。,AB〃CD,PD=AD,

E是PB的中点尸是CD±的点且。尸二，昆尸”为4B4O中AO边上的高.

乙

(3)证明:E/，平面P4B〃

B

(3)证明:取RI中点M,连结MDME,

因为石是PB的中点,M是必的中点,所以ME匕AB.

因为所以

DF&乙AB,MEjLJ)F.

所以四边形是平行四边形.所以EF〃MD.

因为PD=AoM是Rl的中点,所以MOɪPA.

因为ABJL平面B4。,MDu平面所以MDLAA

因为B4∩AB=AB4,A5u平面PAB.

所以MD_L平面RLA

所以瓦口.平面B4A

6.如图,在直三棱柱ABC-AI为6中囚尸分别是AAAIC的中点,点。

在51G上aθ~L51C求证：

(I)E/〃平面ABC;

证明:⑴因为&F分别是ApBaC的中点,

所以EF〃BC.

55

XEF⊄F≡ABC,BCcFffiABC9

所以EF〃平面ABC

6.如图,在直三棱柱45。/画。1中£尸分别是ApBAC的中点,点。

在^iG上求证：'

(2)平面A/Dɪ平面叫Gcγr≥<^n

证明:(2)因为直三棱柱A5C"C,4匚\二3∣C

所以5修，平面AIBICι∙Z

又APDU平面AljBlCI,所以5当J_4。，

又AID上BιC,BBQ与。二&,8］。,884平面吕为。1。，

所以ApDJ_平面GC

又AQU平面A/D,

所以平面AIED，平面BgGC.

7.如图,在直三棱柱ABC-A1与G中八1以=4G分别是棱BC

CG上的点（点。不同于点C），且A。，。E/为⑸G的中点•求证：

⑴平面AO£_L平面BCGB1；

证明X1)∙.∙A8C-ApBiG是直三棱柱，

・•・CGJ-平面ABC

5

又VADcPffiABC,.∖CC1LAD.

又•：AD上DE,CC],DEu平面BCCIB[,CCQDE=E,

.∖AD±^BCClBl,

〈A。U平面AOE,

・•・平面A。Ej_平面5。。四・

7.如图,在直三棱柱A5C-A1与G中,A1修=A1G,。,石分别是棱5C,

CG上的点(点。不同于点C)，且为当G的中点•求证：

(2)直线A/〃平面ADET

证明O)∙.∙APBI=A]G,尸为Be的中点,∙∙.A∕，与G.JE

TCG，平面4修孰,且AIR=平面AwIC],Jd'Ir

ΛCCi±AiE∖C>¾

B

又∖∙CC1f]GU平面BCGBl,CC1∩B1C1=C1,.∖AiF±平面5CG&.

由(1)知4。，平面5CG4,・・・A尸〃AD

又TA。U平面ADE,A/U平面Ao比

J直线Al方〃平面AoE

8.如图,在四棱锥尸-ABC。中,平面B4。，平面A5CRA5=A2

/胡。二60。£尸分别是人尸4。的中点.求证：■√

⑴直线£尸〃平面%J∖

证明:⑴在4B4O中，

因为瓦方分别为AP9AQ的中点，

所以E尸〃尸D

又因为EFU平面PC。/。U平面PCD,

所以直线瓦平面尸CD

8.如图,在四棱锥P-ABC。中,平面B4。_L平面A5C2AB=AD,

NAw=60。，邑F分别⅛AP,AD的中点.求证：√

(2)平面，平面B4D%/\

证明:(2)连结BD.

因^JAB=AD,ZBAD=6O。，所以∕∖A5O为正三角形.B

因为b是A。的中点,所以LAD

因为平面B4OJ_平面A5CD,5R=平面ABCA

平面∕¾θn平面ABCD=AD,所以5足1_平面B4D

又因为Hbu平面

所以平面5£F_1_平面B4D

9.如图,正方形ABCD和四边形ACEb所在的平面互相垂直.

EF∕∕ACAB=^CE=EF=1,^^:

(I)A/〃平面

证明:(1)设AC与BD交于点G

因为〃且£

£FAGF=1AG=-2AC=1,

所以四边形AGM为平行四边形，

所以Ab〃EG

因为EGU平面5。£小/山平面

所以Ab〃平面E

9.如图,正方形ABCD和四边形ACEb所在的平面互相垂直.

EF∕∕ACAB=^CE=EF^1,^^:

(2)Cb_1_平面E

证明:(2)连接bG因为EF//CG,EF=CG=1,

所以四边形CMG为平行四边形,又CE=I,J

所以平行四边形CEbG为菱形,所以CTjLEG

因为四边形A5C。为正方形,所以5DL4C

又因为平面ACL平面ABCD,且平面ACEbn平面A5CD=AC,

所以J_平面ACEF

又CbU平面ACEf所以Cb_LJBD又BOnEG=GfO,EGu平面

所以CbI■平面BDE

10.如图,在四棱锥P-ABCD中AB//Cn且ZBAP=ZCDP=90°.

(1)证明:平面RL5，平面B4。；

⑴证明：∙.∙NA4P=90°,ΛAB±E4.

同理由NCDP=90°知CDLPD

9：AB//CD,FAHPD=P,

JAB，平面B4D

「ABU平面B48

・•・平面B43，平面7¾D

10.如图,在四棱锥P-ABCD中AB//CD,且/BAP=ZCDP=90。.

→Q

(2)若M=PD=AH=DCNAPD=90°,且四m棱锥尸-ABC。的体积为色,

3

求该四棱锥的侧面积.

(2)解:由(1)知A5J_平面B4D

VZAPD=9Qo,7¾=尸。=A5=。CMM。中点0,

AB

：.OPj_底面ABCD则4。二小氏0尸二/。二争氏

・•・VP-ABCD=1×-^B^B'V2AB=1.∖AB=2.

ʒ2J

：,PB=PC=BC=2近.

侧=△尸

•∙SS2^R40+SZ^P4B+SCO+SZ^PBC

=3×Q1×2×2)+|×2√2×2√2×sin60o=6+2√3∙

2

∏.如图,在四棱锥尸√L5CD中,底面ABCD是矩形,B4ɪ平面ABCQ

AP=AB,BP=BC=2,E,F^^∖^PB,PC^中点.

⑴证明:E尸〃平面RL。；

⑴证明:在△尸5C中,&F分别是P民PC的中点,

ΛEF∕∕BC.

内ClIg

/.EF//AD.

又：/。（=平面以。,瓦立平面以。,

・：£/"平面B4D

∏.如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD是矩形,7¾JL平面ABC

分别是氏的中点.户

AP=A5BP=JBC=2,PPC

(2)求三棱锥石-ABC的体积W∕∖×^I

(2)解:连接AE,ACEe^AB中点G,连接£G,如图，

则EG〃朋,所以EGL平面ABCD/

故EG为三棱锥E-ABC的高且EG二54.

2

在△/¾5中,A尸二A氏N7¾5=90°,BP=2,

∙∙AP-AB-^2JEG-^-./.S"Be'XV2X2=ʌ/2«

∙*∙VE-ABC=§S4A3C∙^∣×√2×^4

Tr

12.如图,直三棱柱ABC-AiIG中,AB=AAjNdB=;乙.

(1)证明:C&，A41；

⑴证明:如图,连结的

TT

VABC-A向G是直三棱柱,NC43=j,

JAC，平面AMIAI,又BAIU平面AMA，故ACJ_g.

XVAB=AA1,/.四边形A5Bι4是正方形,

ΛBA1±AB1,

又CAnA0=A,CA√L坊U平面CABI,・・・HAJ平面CA8].

又・・・圆£平面。LB1，

：.CBxLBAx.

TT

12.如图,直三棱柱ABC-AI0G中,AB=AAl,NC4B=j乙.

(2)已知A5=2乃。=愿,求三棱锥G-ABAi的体积.

(2)W：VAB=AA1=2,BC=√5,

・・AG=AC-y∕β(j^-AB2~J(Λ∕5)2∙-22ɪl-

由⑴知ACJ平面A54,

・•・AG是三棱锥G-ABAl的高.

½C1-ABA1=~^^ABA1-A1eɪ=|×2×1=|.

13.如图,四棱锥尸-ABcD中,B4_L底面A5CRA5L4。,点E在线段

AD^^CE∕∕AB.

(1)求证:CEJ_平面B4。；/,

⑴证明:因为B4，底面ABCRC石U平面ABC。，H∕∖∖.

所以BʧcEHm

因为ABɪAD,CE//AB.BEk

所以CE,AD

又必。4。二4%/£^平面出。，

所以CRL平面B4D

13.如图,四棱锥尸-ABC。中,以，底面ABCRABLA。,点E在线段

Ao上,且CE〃AA

(2)若必二人6=1,4。=3,。。=¢,/014=45°,求四棱胡尸-ABCD^]

体积.

(2)解:由(1)知。£_1平面必。及4。(=平面必。得。£，4。,

在Rt△£□)中,"=CD∙sinNCD4=√^∙sin450=1,

DE=CDcos45°=1,

又因为AB=I,则AB=CE,又C£〃AB4B_LA。，

所以四边形A5CE为矩形,四边形A5CD为梯形.

因为AO=3,所以5C=AE=AI‰εi"2,

Aiς

所以阮8力乙3乙。+4功45=炉乙(2+3)*1`，

所以VP-ABCD=^ABCD^-×∣×14

于是四棱锥P-ABC。的体积为W

6

14.如图,四棱锥P-A5C。中,底面A5CD为矩形,/¾JL5PffiABCD,

E为PD的中点.

(1)证明:尸5〃平面人石。；

(1)证明:设与AC的交点为。,连接£0,於

因为ABCZ)为矩形,所以。为5。的中点.Λ

又因为E为PD的中点，/缪毅

所以E0〃PB.B-、、'c

又EOu平面AECPBc平面AEc

所以尸3〃平面AEC

14.如图,四棱锥尸-ABCZ)中,底面ABC。为矩形,B4，平面A5CD,

E为尸。的中点.

(2)设AP=I4。=同三棱锥P-A3。的体积V哼求点A到平面P5C

的距离.

(2懈”WqS心必⅛R4∙ABAD=FA民

由题设知V=汉可得AB=2

42

作AHLPB交PB于H.

因为5C_LA用又因为∕¾ɪ平面A5C。超CU平面ABC。,

所以RL_L5C

/¾rl45=A,B4,A3u平面/¾伐所以5C，平面B4区

又AHU平面7¾氏所以BCJLAH,

又PB,BCu平面尸5C,PHCBC=B,故AH_L平面尸5C,

PA-AB_3y/13

在RtZ^B45中,又A"二

PB13

所以点4到平面PBC的距离为甯.

15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD±^^ABCD,PD^DC=BC=1,

由NBCD=90°,得CD_L5C,

XPD∩DC=D,PD,DCc5FffiPCD,

所以平面PCD

因为PCU平面PC。,所以PC_1_5C

15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PDɪΞF≡ABCD,PD=DC=BC=1,

AB=2,AB〃DC,∕BCD=90°.P

(2)求点A到平面PBC的距离.∕⅜κI

⑵解:分别取ASPC的中点EF连接。瓦。£/D≈\\

易证DE//CB.DE//平面P3C,点&ɛ到平面P3C磁离浦等,一

又点A到平面尸5C的距离等于E到平面P5C的用看'而2倍.\

由(1)知5C_L平面PCD乃CU平面PBC

所以平面P5CJL平面尸CR而平面P5C与平面尸CD相交青Pe

因为PD=OCPb=bC,所以LPCQbu平面PDC/k

所以DF_L平面PBC易知=立，/LW

2/处一\

故点A到平面PBC的距离等于¢./∕?\/

16.如图,四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,

P

ZDAB=60o45=24。,尸。_1_底面43。。.

⑴证明:B

⑴证明:因为ND45=60°,AB=2AD,

由余弦定理得=AD2+AB2-2AD∙AB∙cosZDAB

=AD2+(2AD)2-2AD∙2AD∙cos60o=3AD2,

则BD=PAD.从而BD2+AD2=AB2,故_LAD

又PDJ_底面ABeD乃。U平面A5GD,可得JLPD

因为ADnP。=。,且A。,POU平面朋。，

所以5。_1_平面B4D且7¾u平面7¾D,

所以B4J_5D

16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形，

ZDAB^60o,A5=2AO,PD_L底面ABCD

(2)设PD=AD=I,求棱锥。-PBC的高.

(2)解:如图,作。E，尸氏垂足为E已知Pra底面人而沦则刖生8C.

由(1)知5OJLA。,又3C〃A。,所以BCJLB成B

故BC_L平面PBD,又。EU平面尸友),所以JBCJ_OE

又PBnBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以。石，平面P5C.故DE即为棱锥。-PBC的高.

由题设知,尸。=1,则①"√‰P5=2,

在Rt△尸。5中。£・尸5二尸。瓦),得。£二包，

2

即棱锥。-PBC的高为当

17.如图,在四棱锥P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分别是CD和PC的中点,求证：

(I)B4,底面ABC。；

证明：(1)因为平面出。_L平面ABCR

平面i¾θn平面A5C。二A。，

且必UD

所以B4，底面ABCD

17.如图,在四棱锥P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分别是CD和PC的中点,求证：

(2*£〃平面B4。；Av

证明:(2)因为A5〃CD,CO=2A5,£为CD的中点，飞;

所以A5〃DE.^AB=DE.

所以A5M为平行四边形.

所以5£〃AD.

又因为平面B4O,AOU平面B4。,

所以〃平面7¾D

17.如图,在四棱锥P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分别是CD和PC的中点,求证：

(3)平面平面PCD

证明:(3)因为A5,AR且A8M为平行四边形，H

所以BELCDΛD1CD.

由(1)知RIJ_底面A5CD,所以B4J_C□,朋"4。二4出4。€=平面以。.

所以CD_L平面RL。,Pz)U平面B4D所以CZ)J_尸。，

因为石和尸分别是co和PC的中点,所以尸。〃防所以CraMH

又CDJ_5£,且£尸门5£二£,£/,5£(=平面5£/,所以05_1平面5£/，

又CDU平面PCQ所以平面J_平面PCD

18.如图,三棱柱ABC-AlHG中,侧面B5IGC为菱形，耳。的中点为

0,且AoJ_平面5坊Ge

⑴证明。CL45;

⑴证明:连接5G,0为与C与BCl的交点，

因为侧面加5iGC为菱形,所以当C∙L5G.

又AO，平面58]GaBlCU平面5为GG所以为CLAO.

XAO,gU平面Ag(MOng=0,

所以坊C，平面AB0.

XABU平面ABQ

所以昌CLAA

18.如图,三棱柱ABC-AlBlG中,侧面5星GC为菱形，4C的中点为

0,且AO，平面351GC

(2)⅛AC±A5i，ZCBBx=60°乃C=I,求三棱柱ABC-A向G的高.

B

(2)解:作OOd_5C,垂足为。,连接AR作垂足为H.

由于3C_LA0,5ULo。，

XAo,0。U平面AOZMonoD=。,故BC，平面AoDa---------彳

0"U平面AOD,所以。"_LBCy^,i∖//

5i0H±AD,AD,BCc∑^ABC,ADΠBC=D,,,∕⅛染C2

o

所以。"_L平面A5C因为BBl=BTC/CBBj=60,B

所以ACMi为等边三角形,又5C=1,可得OD二旦

*4

由于AC_LA4,所以AoW

乙乙

由OHAD=ODOA,且ΛD=√o"+CM2一"得。"二竺

414

又。为gC的中点,所以点名到平面A5C的距离为手，

故三棱柱A5C-A4]G的高为子・

19.如图,在AABC中,NA5C=45°,ZBAC=90o√4。是BC上的高,

沿AO把4A5O折起,使NJBOC=90。.'J

⑴证明:平面AO5,平面BDC;'∖!p`

ɪ-----ʌ

B/DC/].♦^ιr

(1)证明:•・•折起前AD是HC边上的高，产’

当4A5O折起后,AO,OCAO_L。A

又BQnQC=Q,BQQCu平面BQC,

:•A。-L平面5。C

XVADc5FffiADB,

.*.平面AO51,平面5。C

19.如图,在AABC中,NA5C=45°,ZBAC=90o√4。是BC上的高,

沿A。把折起,使NBDC=90°.

(2)设5。=1,求三棱锥。-AHC的表面积.

(2)解:由(1)知,DAɪDB,DB±DC,DC±DA,

*：DB=DA=DC=I,木Λ

∙*∙AB-BC-CA—ʌ/^,^s∖

SZ∖QA8=SaOBC=SADCA=力1X1'

s∕∖ABC=l×√2×√2×Sin60o=S

表面积S，X3+®U.

20.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与交点刀£，平面ABC2

⑴求证:平面AECJ_平面BED;

⑴证明:因为四边形ABCD为菱形,—

所以ACJLBD

因为BE上平面A5C。,又ACU平面ABCR

所VλAC±BE,BDΠBE=B,BD,BEc∑^^BED,

所以ACJ_平面BED

XACU平面AEe

所以平面AEC_L平面BED

20.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BO交点,8石，平面ABC。,

(2)若NABC=I20°EG三棱锥E-AeD的体积为",求该三棱

3

锥的侧面积.

(2)解:设A5=x,在菱形A5C。中,由NABC=I20°,£

可得AG=GC=等,GB=GO=;./

2/4.二…工…

因为AEJ_£C,所以在RtAAEC中,可得EG=G.、］二步/A

2B

由_1_平面ABCz),知AEBG为直角三角形,可得二骂.

2

由已知得,三棱锥E-AeZ)的体积%AOHX%CGO∙5E=净3哼,

解得%=2..

从而可得AE=EC=ED=粕.

所以AEAC的面积为3,ZXEW的面积与AECD的面积均为遥.

故三棱锥E-AC。的侧面积为3+2√⅞.

21.如图,菱形ABC。的对角线AC与交于点0,点£/分别在AR

CDhME=CF,EF交BD于点”,将△£>£F沿瓦折到卸用勺位置.

,

(1)证明:ACJD

(1)证明:由已知得,AC_L5O,AO=CD.

又由AE=CT得些二竺，

ADCD'

^AC//EE

由此得EbJ_HD,即EFA.HD；

所以AULHD

21.如图,菱形ABC。的对角线AC与交于点0,点£/分别在AR

CD±ME=CF,EF交BD于点”,将△£>£F沿瓦折到△口,EF^J位置.

(2)解:由取//AC得黑嗡q.

由AB=5√4C=6得JDO=Bo=，45_/02=4.D,

所以O"=1QH=O"=3.

于是ODr2+OH2=(2√^)2+12=9=。旧2,故。DLLO”.

由(1)知ACi."D；XAC,3Z‰Bθn"Zr=H,

所以ACj_平面5印)；于是AC，OZX月

又由。。」OHACCOH=O,所以OD」5FffiABC.

又由更=变得跖=2.

ACDO2

五边形A5CWT的面积SJX6×8上X2×3二丝.

22241

所以五棱锥。'-AHCEN体积V=∣×y×2√2=^∙

22.如图9是圆。的直径点。是圆。上异于A乃的点PO垂直于圆

。所在的平面,且PO=OB=Lτ⅛κ

⑴若。为线段AC的中点,求证:ACj_平面P。。；/A∖∖

⑴证明:在“0C中,因为04=。。,。为A淑中点「

所UUC_LoD

又尸。垂直于圆。所在的平面,AC为圆。所在的平面内的直线,

所以PojLAC

又因为。OnP。二。,。0,POU平面PD0,

所以ACj_平面尸。0.

22.如图9是圆。的直径点。是圆O上异于Af的点PO垂直于圆

。所在的平面,且PO=OB=I.

⑵求三棱锥P-AHC体积的最大值;

⑵解:因为点C在圆。上，

所以当CGaAg时,。到A3的距离最大,且最大值为1.

又A5=2,

所以MBC面积的最大值为、2x1=1.

又因为三棱锥PAHC的高Po=1,

故三棱锥尸-ABa本积的最大值为91×14

ɔɔ

22.如图43是圆。的直径,点C是圆。上异于Af的点PO垂直于圆

。所在的平面,且尸O=O5=L

⑶若5。=鱼,点E在线段必上,求CE+OE的最小值.ɪ

(3)解:在△尸OJB中,P0=05=1,NPoJB=90°,

所以尸B-ʌ/ɪ2+12~V2∙

同理PC=√∑所以P5=PC=5C

在三棱锥P-A5C中,将侧面BC尸绕心旋转至平面BCF,使之与平面

AH尸共面,如图所示,当0,EC共线时,。£+。£取得最小值.

又因为OP=OBcP=CB

所以OC唾直平分P氏即£为尸5中点.7°

从而Oc=O£+Ec杉+f=W⅞//∖/

AOB

亦即C£+OE的最小值为主Wl

2

23.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,且7¾=6,顶点

P在平面ABC内的正投影为点。,。在平面E45内的正投影为点瓦

连接PE并延长交A5于点G,

⑴证明:G是A5的中点；

(1)证明:因为顶点P在平面A5C内的正投影为点。

所以PO_L平面ABc进而PO_LAA

因为。在平面RU5内的正投影为点^/Z

所以。£_L平面RLB,进而。£_LA昆尸。门。£二。，

所以ABJ_平面尸。£,又PGU平面Pr区故A5_LPG

又由已知B4=P民从而G是A5的中点.

23.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,且7¾=6,顶点

P在平面ABC内的正投影为点。,。在平面E45内的正投影为点瓦

连接PE并延长交AB于点G.

(2)在图中作出点E在平面B4C内的正投影方(说明作法及理由),并

求四面体PDM的体积.

R

(2)解:在平面内,过点石作PB的平行线交RI于点E尸即为E在平

面∕¾C内的正投影.

理由如下:由已知可得PB±B4,PB±PC,又EF//PB,

：.EFLPA,EFLPC,∕¾∩PC=P,

从而石方，平面7¾C即点方为石在平面B4C内的正投影.

连接CG因为顶点P在平面A5C内的正投影为点。，

所以。为正三角形ABC的中心.

ɔ

由⑴知G是AB的中点,所以。在CG上,故CZ)WCG.

由已知PCJ_平面必反。£_1_平面出反

所以OE〃PC因止匕尸£二,PG,OE=1Pe

由已知,正三棱锥的侧由是直角机角形且以二6,

R

可得。£二2,尸£二2但

在等腰直角三角形Pw中,£∕二尸b=2,

所以四面体PoEb的体积VqXGX2X2)X2=*

24.如图,在三棱锥PA5C中√LB=BC=2√‰B4二尸5=PC=AC=4,0为

AC的中点.

(1)证明:尸。_L平面ABC;

(1)证明:因为AP=C尸=Ae=4,0为AC的中点,

所以。尸，AG且。尸=2/.

连结OB因为A3=5C=0Le所以ZVLHC为等腰直角三角形,

2

11

^OB±AC,OB=^AC=2.

由OP2+OB2=PB2知PoɪOB.

由。尸，。民。尸，AC知尸0,平面A5C.

24.如图,在三棱锥P-ABC中45=5。=2近,以二尸5=PC=AC=4,0为

AC的中点,

(2)若点M在棱BC上,且二面角M-B4-C为30°,H/7|\I

求PC与平面B4M所成角的正弦值.//^\

(2)解:如图,以。为坐标原点,后,鼠,法的方向分别3,y,z轴的正

方向,建立空间直角坐标系O»

由已知得O(0,0,0),3(2,0,0)A(O,-2,0)C(0,2,0)/(0,0,2g),

£p二(0,2,2百),取平面∕¾C的法向量防=(2,0,0).

设M(Q,2-〃,O)(O<0≤2),则几ʃ=(α,4-q,0).

设平面RlM的法向量为H=(Xy,z).

2y+2Λ∕3Z=0,

段打二0,八团二0得

αx+(4—a)y—0,

可取〃=(75(。-4),百〃,-〃),

→_2√3(α-4)由已知得ICOs<而,%>∣二回

所以COs<°B，n>-2√3(α-4)2+3α2+a2

2

所以77∕粤WTq二回解得-4(舍去),〃W.

2√3(α-4)2+3α2+α223

所以〃二(_哈竽又晶=(02-2®所以cos<pKQ哼

所以PC与平面所成角的正弦值为回

4

25.如图,直四棱柱45。。/避£。1的底面是菱形44尸445=2,

NA40=60°N分别是5C35],Aι。的中点.

(1)证明:MN〃平面GOE;

⑴证明:连结5cME

因为ME分别为班1,5C的中点,

所以〃与C且"£=5Ie

2

又因为N为AQ的中点,所以NOWAID

乙

由题设知A向乙OC可得当CX4故MEZAVD,

因此四边形MNDE为平行四边形,MN//ED.

又MNe平面G。瓦所以MN〃平面CQE

25.如图,直四棱柱A5CO-ANGQl的底面是菱形,AAι=4,A3=2,

NB4。=60。£MN分别是BeBH].。的中点.

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

(2)解:由已知可得。ELD4.

以。为坐标原点,扇μ法,而1的方向为居y,z轴的

正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-W/

贝!M(2,0,0)41(2,0,4),MLg,2),N(l,0,2),

力1力=(°，°，-4)4M=(-LV^,-2)4N=(-1,°,-2)4N=(-1,°,-2).

→

τn・AM=O

设加二(X,y,z)为平面A]MA的法向量,则11

m∙A1A=0,

所以r+少量z=。,可取片(后0.

D、

4

n∙MN=0,

设〃=⑦,%r)为平面AlMN的法向量,则

n・A1N=0,

一言O可取

所以AOMO").

于是cos<E>=品=盥噜

所以二面角4叫W的正弦值为空

26.如图Q为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,A£为底面直径，

AE=ADZXABC是底面的内接正三角形,尸为。。上一点,PO二渔。O.

6

⑴证明:出，平面P5C;

⑴证明:不妨设圆。的半径为1,则

OA=OB=OC=I,AE=AD=2,AB=BC=AC=Λ∕3,

DO—ʌ/DA2-OA2=y[7i,P0——DO——,

62

PO22

PA=PB=PC=Λ∕+A0-^乙

2

在△朋C中,朋2+pc2=Ac,故B4JLPC,

同理可得B4_LP5,又PBnPC=P,P5,PCu平面尸5C,

故平面P5C.

26.如图Q为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心为底面直径,

AE=ADZ∖A3C是底面的内接正三角形,P为。。上一点,PO二小。O.

6

(2)求二面角3-尸CE的余弦值.

(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,

则有AQ-1,0)网产\,o),c(V，o),P(OOy),£(0,1,0),

故后=(-倔0,0),&=停,：,0),晶=d,-35,■

设平面PCE的法向量为〃=(My,z),

则由卜•丝=