2023年中考数学一轮复习 相似三角形-8字形相似 专项训练(含解析)

中考复习《相似三角形一8字形相似》专题训练

一、选择题

1.如图，在等腰△ABC中，A8=AC,点。是BC上一点，且8O=2C£>,连接A。，将4

A3。沿A。翻折，得到△AOE,DE与AC交于点F.若ADCF,ZSAEr的面积分别为1

A.2A/2B.3C.工D.A

23

2.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边DC上，DE：EC=4：1,连接AE交8。于点

F,则△〃£厂的面积与△8AF的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.16：25D.3：5

3.如图，E是团ABC。的边3c延长线上一点，连接AE,交CD于点F,连接2F,CZ）=3CF,

贝！JS&ADF:SABEF等于（）

A.4：1B.3：1C.4：3D.9：4

4.如图，在团A8CQ中，A8=10,4。=15,N84。的平分线交于点E,交。C的延长

线于点片8GJ_AE于点G,若8G=8,则△（?£”的周长为（）

C.24D.25

5.如图，已知△ABC和△AB。都是。。的内接三角形，AC和8。相交于点E,则与△AOE

相似的三角形是（)

A.ABCEB.AABCC.△AB。D./\ABE

6.如图，在平行四边形ABC。中，E是AB的中点，CE和8。交于点0,设△OCO的面积

为机，△0EB的面积为遥，则下列结论中正确的是（）

A.tn=5B.771=4^5C.m=3y/5D.tn=10

二、填空题

7.如图，在AABC中，点。，E分别在边BC,AC上，DE//AB,—=^,AQ与BE相交

BD2

于点F,若BF=4,则E尸的长是.

8.已知，团ABC。面积为40,点M为AO的三等分点，且N为BC的中点,

3

MN交对角线8。于点O,则阴影部分的面积为.

9.如图，矩形力BCD中，AB=2,BC=&，E为CD的中点，连接AE,BD交于点P,过

点P作PQ_LBC于点Q,则PB：PD=,PQ=

10.如图，AE与BC相交于点。，ZB=ZC=90°，BD=\2cm,DC=8cm,EC=6cm,则

11.如图，在每个边长均为1的方形网格中，点A、B都在格点上，若C是AB与网格线的

交点，则AC的长为.

12.如图，四边形48。和四边形ACE。都是平行四边形，点M为。E的中点，8M分别

交4c和C。于点P,Q.若△ABC的面积为6,则图中阴影部分的面积为

13.已知菱形A8CD的边长是8,点E在直线AO上，若DE=3,连接BE与对角线AC相

交于点M.则叫的值是

AC

14.已知菱形ABC。的边长是8,点E在直线AO上，若DE=3,连接BE与对角线AC相

交于点F,则FC：AF=.

15.如图所示，S矩形ABCO=36,在边AB,AD上分别取点E,F,使得AE=3EB,DF=2AF.DE

与CT的交点为。，贝iJS"oo=.

16.如图，4,B两处被池塘隔开，为了测量A,B两处的距离，在AB外选一适当的点0,

连接AO,BO,并延长至点C,£>；使得0£>=工。4,0。=408,测得CC=20m,则

22

AB=m.

17.如图，点0为正方形A8CD的中心，BE平分NDBC交DC于点、E,延长BC到点F,

使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接0H交DC于点G,连接HC.则以

下四个结论：①GH=」CF；②SACHF=2SADGH;③NC"F=45°；④GH・BE=2HE,0G

2

中正确结论为.（填序号）

18.如图，正方形A8C。边长为2,点£、尸分别为边AB、BC中点，AF分别交线段。E、

19.如图，在平行四边形A8C。中，AB=6,AD=9,NBA0的平分线交8c于点E,交.DC

的延长线于点F,BGA.AE,垂足为G,BG=4版,则尸的周长为

20.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=8,/8A。的平分线交3c于点E,交DC

BG=4\历，则△CEF的周长为.

21.如图，平行四边形ABC。中，E是边BC上的点，AE交BD于点F,如果型=2,那

BC3

么群

D

22.如图，直线y=fcv-4(&>0)与双曲线>=区在第一象限内交于点R,与x,y轴的交点

X

分别为P，Q；过R作轴，M为垂足，若△OPQ与的面积相等，则A的值

23.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图，在井口8处立一根垂直于井口的木

杆5。，从木杆的顶端。点观察井内水岸C点，视线。C与井口的直径A3交于点£如

果测得48=1.8米，8。=1米，8E=0.2米.请求出井深4c的长.

24.如图1,在△ABC中，点E在AC延长线上，且NE=NABC.

(1)求证：AB1=AC,AE-,

(2)如图2,。在BC上且8C=3C£>,延长A。交BE于F,若丝求里；

AC2EF

(3)如图3,若/。8=90°,tan/E=T，BD=5CD,过A作交EB延长

线于Q,直接写出3c.

BQ

25.如图，点£为正方形ABC。边BC延长线上的一个点，连接AE交于点尸、交.CD

于点G.

⑴求证：鲁嗡;

(2)如图2,连接4c交BD于点O,连接OE交CO于点"连接尸”；

①若FG=1,FA=3,求tanNOEC的值;

26.如图，AB是。0的直径，△BCQ是。。的内接三角形，BC=DC,AB与CD交于点E,

过点C作CF//BD交OA的延长线于点F.

(1)求证：C尸是OO的切线；

(2)若。。半径为5,8。=8,求线段AE的长.

参考答案

一、选择题

1.解：：A8=4C,

:.NB=NC,

由折叠得：NB=NE,AB=AE,BD=DE,

AZC=ZE,

:NAFE=NDFC,

：.AAFES/XDFC,

,：（XDCF,△AE尸的面积分别为1和16,

.迎=空=坐=4

**DFCFDC，

,:BD=2CD,

.•.设8=〃，BD=2a,

：.AE=4CD^4a,DE=BD=2a,

：.AB^AC=4a,

设DF=x,

则AF=4DF=4x,

：.CF=AC-AF=4a-4x,EF=DE-DF=2a-x,

VEF=4CF,

2a-x=4(4〃-4x),

.\x=-^-cb

15

•\AF=4x=^-af

15

EF=2a-x^^-a,

15

包=因=工

*'EF16T

故选：c

2.解：二•四边形A5C£)是菱形,

：.DC//ABfDC=ABf

■:DE：EC=4：1,

DE4

Dc二5

DE4

闵B5

,:DE〃AB,

:・/\DEFs4BAF,

.SADEF.DE'2-16

SABAF研25

故选：c.

3.解：：E是团ABC。的边BC延长线上一点,

：.CE//AD,

：.丛ADFs^ECF,

•.•-A-D-DF1>

CECF

°：CD=3CF,

DF^^AD

cFTCE，

S^ADF：5AECF=4：1,AD=2CE,

BC=2CE,

SABEF：SAFCF=3：1,

S^ADF:SABEF=4：3,

故选：C.

4.解：♦.,在EL43C3中，CD=AB=10,BC=AD=\5,N84D的平分线交BC于点E,

J.AB//DC,ZBAF=ZDAF,

：.4BAF=4F,

：.NDAF=NF,

：.DF=AD=\5,

同理8E=A8=10,

：.CF=DF-CD^\5-10=5；

.•.在△ABG中,BG±AE,4B=10,BG=8,

在RtAABG中，=^2_g2=6,

AG=^AB2_BG21Q

：.AE=2AG=\2,

...△A8E的周长等于10+10+12=32,

:四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CF,

:.△CEFsXBEk,相似比为5：10=1：2,

.♦.△CEF的周长为16.

故选：A.

5.解：；NBCE=NBDA,NCEB=NDEA

故选：A.

6.解：,:ABHCD,

：.^OCD^>/\OEB,

又是AB的中点，

：.2EB=AB=CD,

.•.也陋=(BE)2,即近_=(口2,

^AOCDCDm2

解得，*=4\而,

故选：B.

二、填空题

.CD=_1

"CBT

•:DE"AB,

：.ZCED=NCAB,ZCDE=ZCBA,

...△CEQs^CAB,

.CD=DE=1

"CBAB丁

\'DE//AB,

:./ABE=/DEB,NBAD=NADE,

:.丛DEFs^ABF,

._DE=EF

**AB丽，

.1=EF

.,不~T'

;.EF=9，

3

故答案为：A.

3

8.解：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,AB=CD,

,:BD=BD,

:.△ABDQ/\CDB(555),

:.ACDB的面积=工团ABC。的面积=20,

2

为8c的中点，

：.BN=NC=—BC,

2

；.△£>%(7的面积=Z\BNZ)的面积=的面积=10,

2

-：AM=—AD,

3

.•.OM=2A£>=2BC,

33

\'AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,NDMN=NANB,

:./\DMOs/\BNO,

1-BC

.DM=DO=3_兽

・•丽丽1BC7

S4

••.--A-D--O-N-—_—,

SABON3

...△DON的面积的面积=殁，

77

阴影部分的面积=4。。%的面积+ZXEWC的面积=期,

7

故答案为：112.

7

9.解：：四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=2,AB//CD,ZC=90",

NBAP=ZAED,NA8P=ZPDE,

：.AABPsAEDP,

•..AB'1_B.P一,

DEDP

为CO的中点，

：.ED=—DC^\,

2

C.AB-.ED=2：1,

；.PB：PD=2：1,

：.PB：BD=2：3,

"JPQLBC,

：.NBQP=NC=90°,

；NDBC=NPBQ,

:./XBPQs丛BDC,

.BP=PQ

"BDDC'

•.•-2-_P--Q--，

32

;.PQ=4,

3

故答案为：2：1,A.

3

10.解：VZB=ZC=90°,NADB=NEDC,

：.XADBsXEDC,

•.•-A-B-二BD,

CECD

即笆■上，

68

.'.AB—9cm,

故答案为：9cm.

11.解：如图，

在Rt^ABF中，AB-A/AF2+BF2-^62+42=2A/13-

'：ZBDC=ZAEC=90°,NDCB=NECA,

：.ABDC^/\AEC,

.BC=BD_2__2

"AC前73，

•.•-A--B--A--C--=19

AC2

.2^13-AC1

••--------------'

AC2

.9©,

3_

故答案为：留亘.

3

12.解：•.•四边形A8CO和四边形4CE£＞都是平行四边形,

：・AD=BC=CE,AB//CD,AC//DE,

••.△BCPs^BME,XABPsACQPsXDQM.

：.CP：EM=BC：BE=\：2,

:点M为。E的中点，

:.CP：DM=1：2,

:.CP：AC=CP：OE=1：4,

,--5AABC=6,

.3g

•.SAABP=—Sj\ABC~—，

42

,:CP：AP=\：3,

S^PCQ=—S/sABP——)

92

,:CP：0M=1：2,

S^DQM=4sAPCQ=2,

•'-5msi=SMBP+S^PCQ+S^DQM=7.

故答案为：7.

13.解：如图，点E在线段上时，AE^AD-DE=S-3=5,

.♦菱形对边A力〃BC,

AAMESACMB,

•贴=胆=旦

•而BC京,

.MA=_5_.

*AC13'

点E不在线段AZ)上时，AE=4Z)+DE=8+3=11,

.,菱形对边AO〃BC,

.迪=坐=旦

•而BCV

•迪=旦

**AC19"

综上所述，地=_L或旦.

AC1319

故答案为：巨或旦.

1319

14.解：如图，当点E在线段AO上时,

：.BC=AD=S,BC//AD,

"：DE=3,

：.AE=5,

'JBD//AF,

:.△AEFsMBF,

AFC_BC_8.

,■AF-AE-5’

如图，当点E在线段A4的延长线上时,

,JBC//AE,

:.△AEFsMBF,

•.•FCBC8,

AFAE11

故答案为：8：5或8：11.

15.解：延长。E,CB相交于点G,过点。作O”J_A£),垂足为“,

•.•四边形A8C。是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,NA£)C=90°,

/.ZADE=ZG,ZGBE=ZA,

:AADES^BGE,

.AD_AE_o

••----Jf

BGBE

设BG=x,

则AD=BC=3x,

"：DF=2AF,

：.DF=—AD=2x,

3

.DF2x1

GC3x+x2

,：ZDOF^ZCOG,

:.△DOfsXGOC,

.DF=OF=1

**CGOC~2'

'：OH±AD,

：.ZOHF=ZADC=90°,

ZOFH^ZCFD,

：.20FHs丛CFD,

.OF=OH^l

^CFCD3"

.•.OH=JLC£>,

3

:S矩形ABCD=36,

AAD*CD=36,

S^POD——DF*OH

2

=L2A£>」CD

233

=』义36

9

=4,

故答案为：4.

16.解：\'OD=^OA,OC=—OB,

22

.QDQC_1

"'OA'OBT

又；NAOB=NCOD,

.♦.△4。8s△co。，

•..-C-D----O-D-二1,,

ABOA2

9：CD=20m,

：.AB=2CD=40mf

故答案为：40.

17.解：:四边形ABC。是正方形，

:・BC=CD,NBCD=90°,

.\ZBCD=ZDCF=90°,

•:FC=EC,

:.△BCE/ADCF(SAS),

:・/BEC=/DFC,

'：ZEBC+ZBEC=90°,

：.ZEBC+ZDFC=90<3,

AZBHF=180°-(/EBC+NDFC)=90°

；・NBHF=/BHD=90°,

•「BE平分NZ)3C,

:.NDBH=/FBH,

•:BH=BH,

:•△BFHgXBDH(ASA),

：.DH=HF,

•.•点。为正方形ABC£）的中心，

：.OB=OD,

，0H是AOB尸的中位线，

：.OH//BF,OH—BF,

2

.DO=DG

**0BGC"

：.DG=GC,

...GH是△DCF的中位线，

：.GH^^CF,

2

故①正确：

VZDCF=90°,DH=HF,

...△£WC的面积=Z\CHF的面积，

；DG=CG,

:.△DGH的面积=4GHC的面积的面积,

2

SACHF=2S&DGH,

故②正确；

•四边形A8C。是正方形，

AZDBC=45°,

AZDBH=ZFBH=22.5°,

'：ZBHF=90°,

：.ZBFH=90°-N”Bb=67.5°,

VZDCF=90°,DH=HF,

:.CH=HF=LDF,

2

AZHFC=ZHCF=61.5°,

：.ZCHF=45°,

故③正确；

•：OD=OB,DG=GC,

JOG是△O3C的中位线，

:.BC=20G,OG//BC,

NGHB=NHBC,NHGC=NGCB,

:.AGHESACBE,

.GH=HE

"BCBE'

：.GH・BE=BC・HE,

：.GH'BE=2HE*0G,

故④正确，

所以，正确的结论为：①②③④，

故答案为：①②③④.

18.解：：正方形ABC。的边长为2,E,尸分别是AB,BC的中点,

：.AD=AB=2,AE=BF=1,ZEAD=ZFBA=90a,

DE=AF=^22+l2=娓，

△A£»E和△BAF中，

，AD=AB

<ZEAD=ZFBA-

AE=BF

...△A£）E岭△BA尸（SAS）,

ZADE=ZBAF,

而/明/+/。4用=90°,

.\ZADM+ZDAM=90°,

：.AM-DE=AE-AD,即A例X&=1X2,

5____________

DM=VAD2-AM2=^22-

'."AD//CB,

:.AN：NF=AD：BF=2：1,

:.AN=2AF=对反，

33_

:.MN=运-迟=迟,

3515_

S^DMN=—DM'MN——XX.

-2251515

故答案为：—.

15

19.解：•・・在区48co中，AB=CD=6,AD=BC=99NBA。的平分线交8C于点E,

：.ZBAF=ZDAFf

9：AB//DF,

・・・NBAF=NF,

；,NF=NDAF,

•••△AOF是等腰三角形，AD=DF=9；

•:AD//BC,

・・・△EFC是等腰三角形，且以7=CE.

：.EC=FC=9-6=3f

；.AB=BE.

・••在△A3G中，BG.LAE,AB=6,5G=4&，

可得：AG=2,

又・.,8G_1_AE,

：.AE=2AG=4,

，△ABE的周长等于16,

XV团ABC。，

:•△CEFsXBEA,相似比为1：2,

••.△CEF的周长为8.

故答案为8.

20.解：•・•四边形A8c。为平行四边形，

J.AD//BC,ZDAE=ZAEBf8C=A£>=8,

TAE平分NBA。，

：.ZBAE=ZDAE

；・NBAE=ZAEB

：.BE=AB=69EC=BC-BE=8-6=2

在直角三角形BGE中，GE2=B£2-BG2

BPG£2=62-（4^2）2~4,

：.GE=2,AE=2GE=4,

■:XBAEsMCFE,

.CFEFCE

"AB=EA'BE'

即里旦2

646

：.CF=2,EF=2,

3

.♦.△CE尸周长为2+2+—=—.

33

故答案为西.

3

21.解：•.•四边形48CZ）为平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

：.l\BEFsl\ADF,

.BF=BE=BE=2

••丽ADBC3"

故答案为：2.

3

22.解：当x=0时，y=kx-4=-4,

・••点Q（0,-4）；

当,="-4=0时，x=—,

k

.•.点p（A,o）.

k

轴，

:.NPOQ=NPMR=90°.

又,：NOPQ=NMPR,

：./\OPQ^/\MPR.

•：XOPQ与APRM的面积相等，

：.t\OPgXMPR,

：.OP=MP,OQ=MR,

.•.点R（竺4）.

k

•.•点R在双曲线y=K上，

X

.••4=告，解得：k=4近或k=-4近（舍去）.

Q

~k

经检验，k=4正是方程4=告的解.

O

故答案为：4加.

23.解：由题意得：

BD//AC,

:・/D=/ACD,NA=NA8。，

:•△BDES^ACE,

・BDAC

••—二—，

BEAE

.1AC

"072=l.8-0.2；

解得：AC=8,

答：井深AC的长为8米.24.(1)证明：/ABC,NBAE=NCAB,

：./\BAE^/\CAB,

•.A•-B--A-E-,

ACAB

：.AB1=AC'AE-,

(2)解：如图2,设C£)=m,则BO=3CD=3〃?，

：.BC=CD+BD=4m,

由(I)知，△BAEsXCAB,

.AE=BE=AB

*,ABBCAC,

..AB=3

*AC2'

.AE=BE^3_

,,AB高'2,

.•.蚂=刍,BE=6m,

AE9

过点E作E”〃BC交4F的延长线于H,

：.△ACQSAAE”，

.CD=AC

••丽AE*

•••m——4—,

EH9

Q

：.EH=—m,

4

'：EH//BC,

:.△BDFsAEHF,

.BF=BD

**EF丽’

•.•-B-F_-3m_-4，

EF9.3

4m

：.BF=—EF,

3

BE=EF+BF=EF+—4EF=7—EF=6/w,

33

..EF=——m,

7

.CD_m_7.

"W~18-18：

(3)解：如图3,

设CO=x,则BD=5x,

:.BC=CD+BD=6x,

VtanZE=^_,

3

AZE=30°,

：.ZE=ZABC=30°,

在RtZXABC中，AC=^-BC=3x,

2

・"8=FAC=3我》，

在CA上截取CP=CD=x,

VZACB=900-ZABC=60°,

・・・△COP是等边三角形，

:.CP=DP=CD=x,NAPD=120°,

VZAB(2=180o-NE+N8AC=120°,

/.ZAPD=ZABQf

•・・AQ_LA£),

・・・NDA2=90°=ZCAB,

：.ZCAD=ZBAQf

：.XADPs4AQB,

.AP=DP

**ABBQ，

9：AP=AC-CP=3x-x=2x,

25.(1)证明：如图1,

图】

连接CR

■:BD是正方形ABCD的对角线，

：.AD//BC,NBAD=NBCD=90°,AB=CB,』ABF=/CBF,

•:BF=BF,

：./\ABF^/\CBF(SAS),

：.AF=CF,NBAF=NBCF,

：./BAD-/BAF=BCD-/BCF,

：.ZDAG=ZDCF,

9：AD//BC,

：.ZDAG=ZEf

・・・NDCF=/E,

•:/CFG=NEFC,

:.△CFGS/XEFC,

・

•C•-F--_'FG

EFCF

•.F•-G=-F--A;

FAFE

(2)解：如图2,过点O作OMJ_BC于M,

①；四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB,AD//BC,AB//CD,

.DG_FG_DF

"AB'AF而，

设。G=mFG=\,必=3,

工=

•,丽瓦可

.'.AB=3m,

：.AD^BC=3m