2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题06 反比例函数中的平行四边形含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题06反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A是反比例函数图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若，则这两个反比例函数可能是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是____．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图像上一点，点B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作平行四边形ABCO，若点C和BC的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k的值是___________．4．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为__．5．如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是__________；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为__________．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与双曲线y=-交于点M（-4，m）、N（n，-4），与x轴交于A．(1)求k、b的值；(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．7．综合与探究如图，已知，，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．(1)证明四边形为菱形；(2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在的图象（）上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标．8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为．

（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点作轴，垂足为点，设点在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于，请求出点的坐标；（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN//x轴，交反比例函数的图象于点N，若以B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA、OB，求的面积；(3)直线a经过点且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接、，求的面积；(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝2x﹣4（k≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．(1)求A、B的坐标．(2)当x为何值时，2x﹣4＞？(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点C．(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PDy轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．15．如图1，菱形顶点在轴上，顶点在反比例函数上，边交轴于点，轴，，．(1)求．(2)如图2，延长交轴于点，问是否在该反比例函数上存在的点，坐标轴上的点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，连接、．(1)求反比例函数（）的表达式；(2)求△的面积；(3)点为坐标轴上一点，点为的图像上一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．(1)与的数量关系是（

）A．

B．

C．

D．(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．①求点的坐标及反比例函数的表达式；②连接、，则的面积为_________；(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．（1）若点的坐标为．①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；（2）连接、．①当时，求的长度；②如图2，试证明的面积是个定值．专题06反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A是反比例函数图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若，则这两个反比例函数可能是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】设A（a，），B（a，），然后求出AB的长，进而求得CD的长，然后根据求得a的值，进而确定k1-k2=7，最后结合选项即可解答．【详解】解：设A（a，），B（a，），k1＞0、k2＜0，∴AB=-=，∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=，∵，∴CD·a=7，即·a=7，∴=7，结合选项可得B选项符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出=7是解答本题的关键．2．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是____．【答案】9【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D也用a、b表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a、b，再由点坐标求出k的值．【详解】解：∵，，∴A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，根据平行四边形的性质，D也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，∵，∴，∵，∴，，∵C、D都在反比例函数图象上，∴它们横纵坐标的乘积相等，即，解得，∴．故答案为：9．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图像上一点，点B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作平行四边形ABCO，若点C和BC的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k的值是___________．【答案】【分析】作轴，轴，轴，证，设，则，；因为轴，D是BC的中点，由即可求解；【详解】解：∵作轴，轴，轴，∵四边形ABCO是平行四边形，∴，∴，∵轴，轴，∴，在和中，∵，∴，∴，，设，则，，，；∵轴，D是BC的中点，∴，，∵，∴，∴，都答案为：-8．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为__．【答案】（，）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质假设出点坐标，进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．【详解】解：反比例函数过点，，反比例函数解析式为：，点在反比例函数的图象上，，解得：，，点在直线上，设点坐标为：，点，，点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，四边形是平行四边形，点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，点在反比例函数的图象上，，解得：（负数不合题意），故点坐标为：（，）．【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出点坐标是解题的关键．5．如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是__________；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为__________．【答案】

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是，再求和整理即可．【详解】∵点P1(1，y1)，P2(1+2，y2)在反比例函数的图象上，∴，∴．又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴,∴点B1的纵坐标是：．∵点P3(1+2+3，y3)在反比例函数的图象上，∴,∴点B2的纵坐标是：．∵点P4(1+2+3+4，y4)在反比例函数的图象上，∴,∴点B3的纵坐标是：．…∴点Bn的纵坐标是：∴点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为．故答案为，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标为yn+1+yn．三、解答题(共0分)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与双曲线y=-交于点M（-4，m）、N（n，-4），与x轴交于A．(1)求k、b的值；(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．【答案】(1)k=-1，b=-2；(2)①作图见解析；②点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【分析】（1）先求出点M和点N的坐标，再待定系数法求解析式即可；（2）①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点B和点C坐标，即可画出平移后的直线；②分情况讨论：当CA，CB为边时，当BC，BA为边时，当AC，AB为边时，分别根据平行四边形的性质即可求出点P坐标．（1）解：把x=-4，y=m代入y=-中，得m=-=2，∴点M（-4，2），把x=n，y=-4代入y=-中，得n=-=2，∴点N（2，-4），∴将点M（-4，2），点N（2，-4）代入y=kx+b中，得，解得，∴k=-1，b=-2；（2）解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），当y=-x+2=0时，x=2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），分情况讨论：当CA，CB为边时，且AP=CB，∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），点P坐标为（0，-2）；当BC，BA为边时，且AP=CB，同理可得点P坐标为（-4，2）；当AC，AB为边，且AC=BP，同理可得点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．7．综合与探究如图，已知，，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．(1)证明四边形为菱形；(2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在的图象（）上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标．【答案】(1)见详解(2)(3)【分析】（1）由A（0,4），B（-3,0），C（2,0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．（1）证明：∵，，，∴，，，∴，，∴，∵为点关于的对称点，∴，，∴，∴四边形为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点，∴4=，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：；（3）∵四边形是平行四边形，∴，，∴是经过平移得到的，∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，∵M点在y轴正半轴，∴M点的横坐标为0，∴即根据平移可知点的横坐标为3，代入，得，即N点坐标为，∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：，∴点的坐标为．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为．

（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点作轴，垂足为点，设点在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于，请求出点的坐标；（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN//x轴，交反比例函数的图象于点N，若以B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）P（3，2）或P（－3，－2）；（3）点M点坐标为：；；；【分析】（1）先将点A（2，m）代入反比例函数求得A的坐标，然后代入，求得k的值即可；（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC＝6，即可求得x，y的值；（3）设M（2y-4,y）,N(,y)，根据平行四边形的性质可得，解出y即可求解．【详解】（1）∵一次函数的图象经过点A（2，m），∴m＝3．∴点A的坐标为（2，3）．∵反比例函数的图象经过点A（2，3），∴k＝6，∴反比例函数的表达式为．（2）令x＋2＝0，解得x＝−4，即B（−4，0）．∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．∴BC＝6．设P（x，y），∵S△PBC＝•BC•|y|＝6，∴y1＝2或y2＝−2．分别代入中，得x1＝3或x2＝−3．∴P（3，2）或P（−3，−2）．（3）∵MN∥OB,故M,N的纵坐标相同，∵M是直线AB上一动点，N在反比例函数的图象上，设M（2y-4,y）,N(,y)，依题意可得当时，解得y1=2+,y2=2-,∴；当时，解得y1=，y2=-,∴；综上，点M点坐标为：；；；．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解析式是解此题的关键．9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA、OB，求的面积；(3)直线a经过点且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．【答案】(1)反比例函数解析为y=，一次函数解析式为y=-2x+8(2)8(3)M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）【分析】（1）由A点坐标可求得m的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）设直线AB与x轴交于点D，求出D点的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可确定△AOB的面积；（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论，AB、AM、AN分别为平行四边形的对角线，列出相应方程式解得即可．（1）解：∵反比例函数y=的图像过A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数解析为y=，把x=3代入可得n=2，∴B（3，2），设直线AB解析式为，把A、B坐标代入可得，解得，∴一次函数解析式为；（2）解：设直线AB与x轴的交点为D，令y=0，得-2x+8=0，解得x=4，∴D（4，0），∴，，∴；（3）解：点M在直线a上，点N在y轴上，设M（m，1），N（0，n），①当AB为平行四边形对角线时，，解得，∴M（4，1），N（0，7）；②当AM为为平行四边形对角线时，，解得，∴M（2，1），N（0，5）；③当AN为为平行四边形对角线时，，解得，∴M（-2，1），N（0，-3）；综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）．【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M、N的位置是解题的关键．10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．（1）解：把代入一次函数，得，解得，，把代入反比例函数，得，，反比例函数的表达式为；（2）解：令，解得或，当时，，即，当时，，，；（3）解：存在，理由如下：当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；综上，P点坐标为或或．【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接、，求的面积；(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)点的坐标为：，，【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．（1）∵点在反比例函数的图象上，，解得：，∴反比例函数的表达式是：；在反比例函数的图象上，，，将点，代入，可得：，解得：，∴一次函数表达式是：；（2）由（1）知，直线的解析式为，则，，；（3）如图所示：当且时，则，，点坐标为；当且时，则，，点坐标为：；当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，点坐标为：综上所述：点的坐标为：，，．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝2x﹣4（k≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．(1)求A、B的坐标．(2)当x为何值时，2x﹣4＞？(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．【答案】(1)点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）(2)x＞3或﹣1＜x＜0(3)32【分析】（1）联立y1=2x-4（k≠0）和y2=，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）当四边形ABCD是平行四边形，则（xA-xB）2=（xC-xD）2，求出直线AB平移的距离为8，由S四边形ABCD=AB•EH，即可求解．（1）解：联立y1＝2x﹣4（k≠0）和y2＝，得，解得：或，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）；（2）解：由图象得，当x>3或﹣1<x<0时，2x﹣4>；（3）设直线AB向上平移了m个单位得到直线CD，则直线CD的表达式为y＝2x﹣4+m②，联立①②并整理得：2x2+（m﹣4）x﹣6＝0，∴x1+x2＝（4﹣m），x1x2＝﹣3，则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝+12，∵四边形ABCD是平行四边形，故（xA﹣xB）2＝（3+1）2＝（xC﹣xD）2＝（x1﹣x2）2＝+12，解得m＝0（舍去）或8，即直线AB平移的距离为8，设直线AB交y轴于点E，过点E作EH⊥CD于点H，直线CD交y轴于点F，则FE＝m＝8，由直线CD的表达式知，tan∠HFE＝，则sin∠HFE＝，在Rt△EHF中，EH＝EFsin∠HFE＝×8＝，∴S四边形ABCD＝AB•EH＝×＝32．【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点C．(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PDy轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，（，）【分析】（1）将点B（−2，n）代入y＝x＋1得点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可；（2）由四边形DPOC为平行四边形，得PD＝OC，设P（m，），表示出点D的坐标，求出PD的长度，即可解决问题．（1）解：由题意知，点B在一次函数的图象上，∴，∴点B坐标为（-2，-1），代入反比例函数解析式可得，∴反比例函数解析式为；（2）解：存在，理由如下：由可知，点C坐标为（0，1），设点P坐标为（，），∵PDy轴，且D在线段AB上，∴点D坐标为（，），∴PD＝，∵四边形DPOC为平行四边形，∴PD＝OC＝1，即，解得，∵点P在第三象限，∴，∴点P的坐标为（，）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（2，0），（−2，0），（−2＋2，0），（−2−2，0）．【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而得出答案；（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．【详解】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝−2，故A（−2，0），C（0，1），∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，∴COBE，∴△AOC∽△AEB，∵AC＝BC，∴AO＝OE＝2，即B点横坐标为：2，则y＝×2＋1＝2，故B（2，2）；故答案为：−2，0；2，2；（2）∵B（2，2），∴把B点代入y＝（k≠0），解得：xy＝4，即y＝，将y＝x＋1与y＝联立可得：x＋1=解得x1＝2，x2＝−4，则y1＝2，y2＝−1，故D点坐标为：（−4，−1），如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围为：0＜x＜2或x＜−4；（3）如图2，由题意可得：COMN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），故MN＝a＋1−＝CO＝1，解得：a＝±2，当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），故MN＝−（a＋1）＝CO＝1，解得：a＝−2＋2或−2−2，综上所述：P点坐标为：（2，0），（−2，0），（−2＋2，0），（−2−2，0）．【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN的长是解题关键．15．如图1，菱形顶点在轴上，顶点在反比例函数上，边交轴于点，轴，，．(1)求．(2)如图2，延长交轴于点，问是否在该反比例函数上存在的点，坐标轴上的点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)k＝；(2)Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．【分析】（1）设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，根据菱形的性质，得AB＝5，BE＝5−x，在Rt△ABE中用勾股定理求出EC＝2，AE＝4，表示出点C、D的坐标，列方程−＝4即可求出k；（2）先求出直线AB的解析式，得F点坐标，设P点坐标（m，），分情况讨论：①Q在x轴上，设为（n，0），②Q在y轴上，设为（0，n），根据平行四边形对角线互相平分列式求出n，即可得到点Q坐标．(1)解：设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝5，则BE＝5−x，∵AD∥x轴，∴BC∥x轴，∴AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴EC＝2，AE＝4，∴C（2，），D（5，），∴−＝4，解得：k＝；(2)∵k＝，∴C（2，−），D（5，−），∴A（0，−），B（−3，−），设直线AB的解析式：y＝kx＋b，代入A，B点坐标，得，解得：，∴直线AB的解析式：．当时，x＝2，∴F（2，0），设P（m，），存在以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∵Q在坐标轴上，①Q在x轴上，设Q（n，0），当AF，PQ为对角线时，2＝m＋n，−＝，解得：，∴Q（−3，0），当AP，FQ为对角线时，得m＝n＋2，−＝0，解得：（舍），当AQ，FP为对角线，得n＝m＋2，−＝，解得：，∴Q（7，0）；②当Q在y轴上，设Q（0，n），当AF，PQ为对角线时，m＝2，−＝n，解得：，∴Q（0，4），当AP，FQ为对角线时，得m＝2，−＝n，解得：，∴Q（0，），当AQ，FP为对角线，得m＋2＝0，＝n−，解得：（舍），综上，Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式、平行四边形的性质以及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，连接、．(1)求反比例函数（）的表达式；(2)求△的面积；(3)点为坐标轴上一点，点为的图像上一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)，，，．【分析】(1)根据一次函数求出A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可解决问题；(2)把点代入反比例函数中求出点B坐标，根据计算即可；(3)分四种情况：正确画图，根据平行四边形的性质和反比例函数上点的坐标可解答．（1）∵点在一次函数的图像上，∴，∴，∵在反比例函数的图像上，把代入，得，得，∴反比例函数的解析式是．（2）∵点在反比例函数的图像上，∴，即，∴，令，得，，∴，．（3）①如图，四边形是平行四边形，轴，，，，，．②如图，四边形是平行四边形，．③如图，四边形是平行四边形，，，，．④如图，四边形是平行四边形，同理得：，．综上，点N的坐标为或或或．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．(1)与的数量关系是（

）A．

B．

C．

D．(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．①求点的坐标及反比例函数的表达式；②连接、，则的面积为_________；(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2)①，；②8(3)存在，，【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．(1)将点，分别代入，得，故选A．(2)①由（1）得：，，设过点A作轴于点，过点B作轴于点∴∴∴∵∴∴即∴∴，∴反比例函数的表达式为②如图，作轴，轴，轴，由①知，，则综上所述，的面积为8．故答案为：8．(3)，图解：①为边即：②为对角线即：【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．18．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．（1）若点的坐标为．①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；（2）连接、．①当时，求的长度；②如图2，试证明的面积是个定值．【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，∴xC＝2，yB＝4，把y＝4代入中，得x＝1，∴B(1，4)，把x＝2代入中，得y＝2，∴C（2，2），把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②设D（m，0），E（0，n），当四边形BEDC为平行四边形时，∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，∴m＝1，n＝2，∴D(1，0)，E(0，2)，当四边形BDEC为平行四边形时，∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，∴1−m＝2−0，4−0＝2−n，∴m＝−1，n＝−2，∴D（−1，0），E（0，2），综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），∵OB＝OC，∴OB2＝OC2，∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，∴OB＝；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC＝(＋m)•−ו−m•＝3，∴△BOC的面积是个定值．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．专题07反比例函数中的正方形1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上．则的值为（

）A．－9 B．－20 C．－21 D．－222．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．33．如图，正方形ABCD的边长为，点，点在轴上且在点的右侧，点，均在第一象限，为的中点，反比例函数的图像经过点，则（

）A．点在上 B．点在上方C．点在下方 D．以上三种情况都有可能4．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数在第一象限的图像经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（）A．12 B．6 C．10 D．85．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上．已知点B的坐标是，则k的值为（）A．16 B．12 C．8 D．46．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（

）A．36 B．18 C．12 D．97．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上，B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（）A． B． C． D．9．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（

）．A． B． C． D．10．如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．11．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．12．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④若，，则点的坐标为．其中正确结论的有____．13．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．(1)点的坐标_________；(2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，直线AD：与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数与直线AD交于E、F两点．(1)求反比例函数表达式；(2)根据图像，求出不等式的解集；(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．18．【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB＝AD，所以把绕A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合．因为，所以，所以F、D、G共线．如果______（填一个条件），可得．经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足______时，．【探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设，．当时，______，______；当时，______，______．【应用】如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．①求△COD的面积；②当△AOB面积最大时，请直接写出的值．专题07反比例函数中的正方形1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上．则的值为（

）A．－9 B．－20 C．－21 D．－22【答案】C【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【详解】解：∵一次函数中，当x=0时，y=0+4=4，∴A（0，4），∴OA=4；∵当y=0时，0=，∴x=-3，∴B（-3，0），∴OB=3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE=∠BAO．在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C点坐标为（-7，3），∵点C在反比例函数图象上，∴k=-7×3=-21．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．2．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3【答案】C【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长为，点，点在轴上且在点的右侧，点，均在第一象限，为的中点，反比例函数的图像经过点，则（

）A．点在上 B．点在上方C．点在下方 D．以上三种情况都有可能【答案】B【分析】根据的坐标以及正方形的边长得到，然后利用待定系数法求得，进而求得反比例函数的图像与的交点即可得到结论．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为，点，为的中点，∴，，，∵反比例函数的图像经过点，∴，∴，当时，，∵，∴点在上方．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正方形的性质．反比例函数图像上点的坐标满足其解析式是解题的关键．4．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数在第一象限的图像经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（）A．12 B．6 C．10 D．8【答案】A【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，a），根据反比例函数图像上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以＝a﹣b，则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12．【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），所以E（a+b，），所以＝a﹣b，∴（a+b）（a﹣b）＝k，∴a2﹣b2＝k，∵两正方形的面积差为12，∴k＝12．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．5．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上．已知点B的坐标是，则k的值为（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BE，DF＝AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【详解】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∵正方形的边长为2，B（，），∴BE，AE，∴OF＝OE+AE+AF5，∴点D的坐标为（，5），∵顶点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝xy5＝8．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△DAF是解本题的关键．6．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（

）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．∴点D的坐标为（3，），∴点C的坐标为（3-t，+t）．∵点C在反比例函数y=的图象上，∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，∴点B的坐标为（3，6-），∴3×（6-）=，整理，得：+=18．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系．7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得M（4，），N（，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解析式．【详解】解：∵正方形OABC的边长是4，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，∴M（4，），N（，4），∴BN＝4﹣，BM＝4﹣，∵△OMN的面积为6，∴4×4﹣×4×﹣×4×﹣×（4﹣）2＝6，∴k＝8，（负根舍去）故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．8．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上，B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设B（a，），由A点和中点坐标公式可得a的值，从而得出B点坐标；过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，由△DAN≌△ABM可得DN、AN的长度，便可求得D点坐标，再代入反比例函数y=求m即可；【详解】解：B点在反比例函数y=的图象上，设B（a，），∵AB的中点E在y轴上，A的坐标为（-1，0），∴（-1+a）=0，解得：a=1，即B（1，2），如图，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，ABCD是正方形，则AD=BA，∠BAD=90°，∵∠DAN+∠ADN=90°，∠DAN+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM，又∵∠AND=∠BMA=90°，AD=BA，∴△DAN≌△ABM（AAS），∴DN=AM=2，NA=MB=2，∵A（-1，0），∴D（-3，2），代入比例函数y=得：m=-6，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识；由全等的性质求得D点坐标是解题关键．9．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C作CE⊥y轴于E，点A的坐标为，，求出OB，得到点B坐标，证明和全等，得点C坐标，代入，求出k，得解析式；【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，∵，∴．∵，∴，∵点A的坐标为，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴点C的坐标为，∵反比例函数的图象过点C，∴，∴反比例函数的表达式为，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．10．如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．【答案】Q（3，）【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，即可求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答．【详解】解：∵反比例函数解析式为：，∴OA×OB=OC×OD=16，∵四边形OAPB是正方形，∴OA=OB=4，∵四边形BDQE的面积为4，∴四边形BOCE面积为16-4=12，∴OC=3，即点Q的横坐标为3，当x=3时，，∴Q（3，）【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．11．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．【答案】-9【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y=中，先求出m的值，则可求出k的值．【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，∵E点是CD的中点，∴(m-3，).∵B、E都在y=的图像上，∴，

解得m=-3，∴B(-3，3)，∴k=-3×3=-9，故答案为-9．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．12．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④若，，则点的坐标为．其中正确结论的有____．【答案】①③④【分析】设正方形的边长为，表示出，，，，的坐标，利用得到三角形与三角形全等，结论①正确；利用勾股定理表示出与，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形与三角形全等，根据三角形面积三角形面积四边形面积三角形面积，等量代换得到四边形与面积相等，结论③正确；过作垂直于，如图所示，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的值，确定出坐标，即可对于结论④做出判断．【详解】解：设正方形的边长为，得到，，，，，，在和中，，，结论①正确；根据勾股定理，，，和不一定相等，结论②错误；，，结论③正确；过点作于点，如图所示，，，，，，，，，，，即，由得，，整理得：，解得：（舍去负值），点的坐标为，结论④正确，则结论正确的为①③④，故答案为：①③④【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．13．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)48【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．（1）解：由题意，点A(1，4)在反比例函数y=的图像上，∴，∴反比例函数的解析式为．（2）解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有，∴，即B(2，2)，∴小正方形的边长为4，∴小正方形的面积为，大正方形经过点A(1，4)，则大正方形的边长为8，∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为64-16=48．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合、反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标和利用待定系数法求出反比例函数解析式．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．【答案】(1)B(-1，-3)(2)存在，或或(3)【分析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，证明得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；（2）先求出AB的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB=AP时有两种情况和当AB=BP时有一种情况进行求解即可；（3）先设向上平移了m表示和的坐标，再根据B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上得和点的横、纵坐标的积相等，列出关于m的方程即可求解．（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，如下图，则，∵点A(0，-6)，D(-3，-7)，∴DF=3，AF=1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，，∴，∴，∵，∴，∴DF=AE=3，AF=BE=1，∴OE=OA-AE=6-3=3，∴B(-1，-3)．（2）存在3种情况，由（1）得且在中AB=AD=，一：当AB=AP时的等腰三角形，如图，则AP=，∵A为(0，-6)，∴P点的坐标为(0，-6+)；二：当AB=AP时，如下图，则AP=，∵A为(0，-6)，∴P点的坐标为(0，-6-)；三：当AB=BP时，如下图，则BP=，且过B作BEAP于点E，∵，∴，∴P点在原点上，则P为(0，0)．综上所述点P的坐标为或或．（3）设向上平移了m可得为(-1，-3+m)，为(-3，-7+m)，反比例函数关系式为，∴，解得m=9，∴k=，∴反比例函数解析式为：．【点睛】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类讨论．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．(1)点的坐标_________；(2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)．【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；（2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．（1）解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．∵四边形为正方形，∴，，∵，，∴．在和中，，∴，∴，．∵点，，∴，，∴点的坐标为，即．故答案为：．（2）设反比例函数为，由题意得：点坐标为，点坐标为，∵点和在该比例函数图象上，∴，解得：，，∴反比例函数解析式为．（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：①B′D′为对角线时，∵四边形B′PD′Q为平行四边形，∴，解得：，∴P（，0），Q（，4）；②当B′D′为边时．∵四边形PQB′D′为平行四边形，∴，解得：，∴P（7，0），Q（3，2）；∵四边形B′QPD′为平行四边形，∴，解得：．∴P（-7，0）、Q（-3，-2）.综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．16．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不