2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）期末难点特训（二）与圆综合有关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．2．如图，已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）与y轴交于C，顶点为D．(1)求二次函数解析式．(2)若圆过A、B、C，求圆心的坐标．(3)为圆上一动点，求的最小值．3．如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4．(1)求BE的长；(2)在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中，①求∠CDE的取值范围；②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．6．已知ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．7．内接于，，BD为的直径，．（1）如图1，求证：为等边三角形；（2）如图2，弦AB交BC于点F，点G在EC上，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，弦BH分别交AF，AG于P，Q两点，，，求QG的长．8．定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线．（1）求抛物线L的不动点坐标；（2）如图1，已知平面直角坐标系中、、，以点B为圆心，为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转得到点，当点P在⊙B上运动时，求线段长度的最大值；（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线﹔①求抛物线L的解析式；②如图2，若直线交抛物线L于点、，交y轴于点Q，平面内一点H坐标为，记，当点P在⊙B上运动时，求的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．如图，是的直径，弦于点H，连接，过上一点E作交的延长线于点G，连接交于点F，且，连接．（1）求证：是的切线；（2）延长交于点M，若，，求的值．11．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．(1)如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若，AC＝12，求FG的长；(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，，求y与x之间的函数关系式．12．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB//CD，BC//AD，AB=6，BC=8．(1)求证：四边形ABCD为矩形．(2)如图2，E是上一点，连接CE交AD于点F，连接AC．①当点D是中点时，求线段DF的长度．②当16S△DCF=3S四边形ABCD时，试证明点E为

的中点．(3)如图3，点E是⊙O上一点（点E不与A、C重合），连接EA、EC、OE，点I是△AEC的内心，点M在线段OE上，且ME=2MO，则线段MI的最小值为．13．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴正半轴上一动点，以为直径画交轴于点，连结，过点作交于点，连结，．（1）求的度数（2）求证：∽．（3）如图2，连结，过点作于点，过点作交的延长线于点，设点的横坐标为．①用含的代数式表示．②记，求关于的函数表达式．14．如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交BA的延长线于点P，AD平分．（1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切;（2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长;（3）如图2，若，求的最大值．15．【提出问题】如图1，直径垂直弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，则点的位置随着点位置的改变而改变．【特殊位置探究】（1）当时，求和线段的长；【一般规律探究】（2）如图2，连结，．在点运动过程中，设，．①求证：；②求与之间的函数关系式：【解决问题】（3）当时，求和的面积之比．（直接写出答案）期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．【答案】(1)(2)P（，）(3)证明见解析【分析】（1）把A、C坐标代入可得关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值即可得答案；（2）如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，根据（1）中解析式可知D、B两点坐标，可得CD//AB，利用ASA可证明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出点E坐标，利用待定系数法可得直线BP的解析式，联立直线BP与抛物线解析式求出交点坐标即可得答案；（3）如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），根据CD、QF为⊙M的弦可得圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，即可表示出点M坐标，根据MD=MF，利用两点间距离公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．(1)∵A（﹣1，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+2x+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：．(2)如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，∵点D（m，3）在抛物线上，∴，解得：，（与点C重合，舍去），∴D（2，3），∴CD//AB，CD=2，当y=0时，，解得：，，

∴B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，在△DCB和△ECB中，∵，∴△DCB≌△ECB，∴CE=CD=2，∴OE=OC-CE=1，∴E（0，1），∴，解得：，∴直线BP的解析式为，联立直线BP与抛物线解析式得：，解得：（舍去），，∴P（，）．(3)如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），∵CD、QF为⊙M的弦，∴圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，∵C（0，3），D（2，3），QF//y轴，∴M（1，），∵MD=MF，∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理得：t=2，∴点F在定直线y=2上．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、二次函数与一次函数的交点问题及圆的性质，综合性强，熟练掌握相关知识及定理是解题关键．2．如图，已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）与y轴交于C，顶点为D．(1)求二次函数解析式．(2)若圆过A、B、C，求圆心的坐标．(3)为圆上一动点，求的最小值．【答案】(1)二次函数解析式为y=x2-2x-3；(2)圆心的坐标为（1，-1）；(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设圆心的坐标为（1，m），利用半径相等，列方程求解即可；（3）连接WO并延长至点Q，使，求得OQ=，证明△WPO∽△WQP，从而得到PQ=PO，当C、P、Q三点共线时，PC+PO=PC+PQ=CQ，此时最小，据此即可求解．（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0），∴，解得：，∴二次函数解析式为y=x2-2x-3；（2）解：∵二次函数解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3），∴二次函数y=x2-2x-3的对称轴为x=1，∵圆过A、B、C，∴圆心一定在二次函数y=x2-2x-3的对称轴上，∴设圆心的坐标为（1，m），由半径相等得：(3-1)2+m2=12+(-3-m)2，解得：m=-1，∴圆心的坐标为（1，-1）；（3）解：连接WO并延长至点Q，使，连接PQ、WP、CQ、WC，∵W点的坐标为（1，-1），∴CW==，OW=，∴WP=，∴=，∴WQ=，∴OQ=，∵∠AOQ=45°，∴Q点的坐标为（-，），∵∠PWO=∠PWQ，，∴△WPO∽△WQP，∴=，∴PQ=PO，当C、P、Q三点共线时，PC+PO=PC+PQ=CQ，此时最小，∵点C的坐标为（0，-3），Q点的坐标为（-，），∴CQ．【点睛】本题是二次函数综合题，主要有二次函数的图像和性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义，坐标与图形的性质，两点之间，线段最短等基础知识，构造母子型相似是解第3问的关键．3．如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4．(1)求BE的长；(2)在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中，①求∠CDE的取值范围；②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值．【答案】(1)(2)①15゜≤∠CDE≤75゜②【分析】（1）由△BEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的长；（2）①当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小，由BD=2BE1即可求得∠E1DB为30度，从而解决；②延长DC到，使，连接BD，，首先可以证明，则可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的，则；再证明∠DHC=90゜，取CD中点O，连接OH，将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，当点H、P、、四点共线时，PA+PB+PH=，再求出的长度即可解决．（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90゜∵BE=BF∴△BEF是等腰直角三角形由勾股定理得：即∴（2）①如图，连接BD当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小∵BD为正方形的对角线∴当点E移动到位置时，∠CDE最小在中，BD=2BE1∴∴当点E移动到位置时，∠CDE最大同理可计算得∴15゜≤∠CDE≤75゜②延长DC到，使，连接BD，，如图则是等腰直角三角形∴，∵△BEF是等腰直角三角形∴BF=BE，∠FBE=90゜∴∴∴可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的∴∵G、C分别为DE、的中点∴GC为的中位线∴∴CG⊥DF即∠DHC=90゜取CD的中点O，连接OH，则将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，∴，，∴是等边三角形，故有PA=∵∴当点H、P、、四点共线时，PH+PA+PB取得最小值，且最小值为∵∴是等边三角形∴，连接OA、OB，则可得OA=OB∵∴∴∴设交AB于点M，在中，∴∴即PH+PA+PB最小值为【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到临界状态及旋转△APB是问题的关键与难点．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【答案】(1)证明见解析(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析(3)6【分析】（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．（2）过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．（1）解：如图，连接OD，交BC于点N，AB为直径弦AD平分∠BAC，四边形CNDM为矩形OD为圆的半径MD是⊙O的切线（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小弦AD平分∠BAC，与的度数为AB是直径，AB是直径为半圆FD为圆的直径由（1）知：MD是⊙O的切线由题意得：AB垂直平分FC由（1）知：四边形CNDM为矩形在中在中EC+EM的最小值为．（3）解：如图FC平分，AD平分，解得或（不合题意，舍去）【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）6【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3，∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O的半径为6．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．6．已知ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）AB+AC＝AD；（2）AB+AC＝AD，理由见解析；（3）【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC＝AD；（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．【详解】解：（1）如图①，在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．7．内接于，，BD为的直径，．（1）如图1，求证：为等边三角形；（2）如图2，弦AB交BC于点F，点G在EC上，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，弦BH分别交AF，AG于P，Q两点，，，求QG的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是90度，解得，继而证明为等边三角形；（2）由（1）中结论，结合等边三角形与圆周角定理，可证明，再由等角对等边性质，得到，进一步证明，即可解题；（3）过点O作，点L为垂足，由中位线性质得到，根据正弦定义，解得，连接AH，延长PO交AH于点M，构造等边三角形，然后，连接AD，通过解直角三角形，得到，在直角三角形，利用勾股定理得BH=9，继而根据垂径定理可证明BL=LH=，再通过解直角三角形得到，由图中线段的和差关系得到PH=6，BP=3，在等边三角形中，得到AP=PH=6，，最后连接BE，，根据等边三角形的性质和平行线的判定定理推知PQ//EG，结合平行线截线段成比例求得．【详解】（1）证明：连接CD∵BD为的直径，∴∵，∴∴∵，∴为等边三角形（2）∵为等边三角形∴，∴，∴∵，，∴∴∵，∴，∴∵为等边三角形，∴，∴∵，∴，∴（3）过点O作，点L为垂足∵点O为圆心，∴∵，∴∵，∴在内，，∴连接AH，延长PO交AH于点M，∵为等边三角形，∴，∴∴，∴∴，∴∵，∴为等边三角形连接AD，∵为的直径，∴∵为等边三角形，∴∵∴在内，，∵BD为的直径，∴在内，，∴∵，∴在内，∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，连接BE，∵∴，∴，∴为等边三角形∴，∴∵，∴，∴∵，∴【点睛】本题考查圆的综合题，解题过程中涉及圆周角、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及平行线截线段成比例等知识点，难度较大，注意作辅助线是解题关键．8．定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线．（1）求抛物线L的不动点坐标；（2）如图1，已知平面直角坐标系中、、，以点B为圆心，为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转得到点，当点P在⊙B上运动时，求线段长度的最大值；（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线﹔①求抛物线L的解析式；②如图2，若直线交抛物线L于点、，交y轴于点Q，平面内一点H坐标为，记，当点P在⊙B上运动时，求的取值范围．【答案】（1）（0,1）和（2,3）；（2）；（3）①②【分析】（1）将函数关系式变形即可得出当=0时，值不受影响，求出定点坐标即可；（2）用相似三角形得出的轨迹，然后分析得出最大值即可；（3）①利用对称轴公式求解出的值，即可得出函数关系式；②根据点到直线的距离求出的取值范围，用表示出即可求解出取值范围；【详解】解：（1）当=0时，值不受影响解得，当时，当时，∴恒过定点（0,1）和（2,3）即抛物线L的不动点坐标是（0,1）和（2,3）故答案为（0,1）和（2,3）（2）如图所示，过点B作BQ⊥轴，使在取一点，作则是直角三角形∵，又∵∴∴∴∴点是以Q为圆心，为半径的圆，如图所示，共线时，最大，∴，故答案为；（3）①∵对称轴为∴∴∴故答案为②∵过点∴设函数关系式为，则∴∴当与相切时，点到直线的距离为1∴，解得∴的取值范围是当时，，，当时，令，则或∵或∴∴∴∴∴即综上所述故答案为【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、旋转、函数的最值、动点问题等，其中用韦达定理处理复杂数据，数形结合是此类题目的一种基本方法．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．连接CP，∵CP为半径，∴，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴，FP=EP，∴BF=BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．10．如图，是的直径，弦于点H，连接，过上一点E作交的延长线于点G，连接交于点F，且，连接．（1）求证：是的切线；（2）延长交于点M，若，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接，由，推，证，得，根据切线判定定理可得；（2）连接，根据平行线的性质可得，∠ACH=∠G，利用锐角三角形函数可得，利用垂径定理即可求出CH，从而求出AH，设⊙的半径为，利用勾股定理即可求出r，从而求出OE，然后证出，利用相似三角形的性质即可求出结论．【详解】（1）证明：连接，如图，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是⊙的切线；（2）解：连接，如图，∵∴∠ACH=∠G，∠M=∠HAC∴tan∠ACH=tan∠G∴∵，∴CH=∴=设⊙的半径为，则，，在中，，解得，∴∵∠OEM=∠CHA=90°∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．(1)如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若，AC＝12，求FG的长；(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，，求y与x之间的函数关系式．【答案】(1)∠B＝60°(2)证明见解析(3)GF＝5(4)【分析】（1）作AH∥CD交BC于H．可证得四边形ADCH是菱形，再结合四边形ABCD是等邻边互补四边形，可得到△ABH是等边三角形即可．（2）证明DA=DC，∠B+∠ADC=180°即可．（3）连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥CG于M，FN⊥AG于N．根据勾股定理和垂径定理，求出AG，GC，EG，证明点F是△AGC的内心，求出EF即可解决问题．（4）如图3中，连接AC，作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，设AC交BD于K．根据AM∥FN，可得，设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n，根据直角三角形的性质可，即可解决问题．（1）解：如图1中，作AH∥CD交BC于H．∵AD∥BC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ADCH是菱形，∴AD=CD=AH=CH，∠D+∠C=180°，∵BC＝2AD，∴BC=2CH，即BH=CH=AH，∵四边形ABCD是等邻边互补四边形，∴∠B+∠D=180°，∴∠B=∠C，∵AH∥CD，∴∠AHB=∠C，∴∠B=∠AHB，∴AB＝BH＝AH，∴△ABH是等边三角形，∴∠B＝60°．（2）证明：如图2中，连接CD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD=180°，∵AE＝EC，∴OD⊥AC，∴DA＝DC，∴四边形ABCD是等邻边互补四边形．（3）解：如图2﹣1中，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥CG于M，FN⊥AG于N．∵E是AC的中点，AC=12，∴AE＝EC＝6，∴OD⊥AC，，∴∠AOE＝∠COE，GA＝GC，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOE＝∠ABC，∴，∴，∴，∴，∴，∴GE=8，∴，∴，∵，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠AGF＝∠CGF，∴点F是△AGC的内心，∴FM＝FN＝FE，设FM＝FN＝FE＝d，∵，∴d＝3，∴EF＝3，∴GF＝EG﹣EF＝8﹣3＝5．（4）解：如图3中，连接AC，作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，设AC交BD于K．∵BD是直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵BA＝BC，BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴∠ABD＝∠CBD，∵OA＝OB，∴∠BAF＝∠ABD＝∠CBD，设∠BAF＝α，则∠BCF＝∠BAF＝α，∵BA＝BC，∠DBA＝∠DBC，∴BD⊥AC，∠BKC＝90°，∴∠ACM+∠CBD＝90°，∵AM⊥BC，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠CAM＝∠CBD＝α，∵AM⊥BC，FN⊥BC，∴AM∥FN，∴，设OK＝m，AK＝n，OB＝OA＝r，则CF＝2m，AC＝2n，在Rt△AOK中，m2+n2＝r2，，∴，∴，整理得：，∴，∴．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．12．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB//CD，BC//AD，AB=6，BC=8．(1)求证：四边形ABCD为矩形．(2)如图2，E是上一点，连接CE交AD于点F，连接AC．①当点D是中点时，求线段DF的长度．②当16S△DCF=3S四边形ABCD时，试证明点E为

的中点．(3)如图3，点E是⊙O上一点（点E不与A、C重合），连接EA、EC、OE，点I是△AEC的内心，点M在线段OE上，且ME=2MO，则线段MI的最小值为．【答案】(1)见解析(2)①，②见解析(3)【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再利用圆内接四边形对角互补的性质可证明∠A=∠C=90°，即可证明四边形ABCD为矩形；（2）①证明△DCF△DAC，利用相似三角形的性质即可求解；②由已知求得S△DCF=S△DAC，得到，求得DF=3，AF=5，过点F作FG⊥AC于点G，证明Rt△AFGRt△ACD，求得FG=DF=3，进而证明结论成立；（3）当点E运动到AC上方时，利用内心的性质证得点I在以点N为圆心，5为半径的圆的一段圆弧上，当I、M、N在同一直线上时，IM取得最小值，计算即可求解；当点E运动到AC下方时，E、N重合时，IM取得最小值，同理可求解．(1)证明：∵AB//CD，BC//AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=∠C=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；(2)①∵四边形ABCD为矩形，且AB=6，BC=8，∴AB=CD=6，BC=AD=8，AC=，∵点D是中点，∴∠DCF=∠DAC，∠D公共，∴△DCF△DAC，∴，即，∴DF=；②∵四边形ABCD为矩形，∴S四边形ABCD=2S△DAC，∠D=90°，∵16S△DCF=3S四边形ABCD，∴S△DCF=S△DAC，∵，AD=8，∴DF=3，AF=5，过点F作FG⊥AC于点G，∴Rt△AFGRt△ACD，∴，即，∴FG=3，∴FG=DF=3，∵FG⊥AC，∠D=90°，∴CF是∠ACD的平分线，∴点E为

的中点；(3)解：当点E运动到AC上方时，连接AI、CI，连接EI并延长交⊙O于点N，连接AN、CN，∵点I是△AEC的内心，且AC=10，∴∠AEN=∠CEN，∠EAI=∠CAI，∴AN=CN=AC=5，∠AEN=∠CEN=∠CAN=45°，∵∠NAI=∠CAI+∠CAN=∠CAI+45°，∠NIA=∠EAI+∠AEN=∠EAI+45°，∴∠NAI=∠NIA，∴AN=NI=CN=5，∴点I在以点N为圆心，5为半径的圆的一段圆弧上，如图，当I、M、N在同一直线上时，IM取得最小值，∵ME=2MO，OE=AC=5，∴MO=，MN=MO+ON=，∴IM的最小值为；当点E运动到AC下方时，E、N重合时，IM取得最小值，同理可求得IM的最小值为；故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，内心的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴正半轴上一动点，以为直径画交轴于点，连结，过点作交于点，连结，．（1）求的度数（2）求证：∽．（3）如图2，连结，过点作于点，过点作交的延长线于点，设点的横坐标为．①用含的代数式表示．②记，求关于的函数表达式．【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①；②【分析】（1）证明∠EAD＝90°＋45°＝135°，则∠DBE＋∠EAD＝180°，即可求解；（2）由∠AOB＝∠AOD＋90°＝135°＝∠DAE，即可求解；（3）①由△ADE∽△OAB得到，即，即可求解；②证明△DEB∽△DBM，则得到，利用，代入即可求解．【详解】（1）∵是直径∴∵∴∵∴∴（2）∵又∵∴∽（3）∵∽∴即∴∴∵∴∴∴②过点作交延长线于点，连结．∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∴∵∴∽∴∴∴．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了函数的基本知识、圆的基本性质、三角形相似等，综合性强，难度大，正确作出辅助线是本题解题的关键．14．如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交BA的延长线于点P，AD平分．（1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切;（2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长;（3）如图2，若，求的最大值．【答案】（1）证明见详解；（2）BC长为6；（3）10．【分析】（1）连接OD，根据AD平分，AC为直径，易证，可得，根据可得，易得，则，可证得PD与相切；（2）延长OD至BC于M，连接，可知四边形PDMB为矩形，可得M为BC中点，根据得，则PD为，可得，解得，(不合题意，舍去)，则根据，可得解；（3）连接BD，证明△BDC是等边三角形，把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，证明A、B、Q三点共线，再证明△ACQ是等边三角形，得到当弦AC为直径时，AB+AD取得最大值，即可求解．【详解】解：（1）连接OD，∵AD平分∴又∵AC为直径，∠ADC为其所对圆周角∴∵∴∴又∵∴∴∵∴∴∴PD与相切；（2）延长OD至BC于M，连接∵∠ABC为直径AC所对圆周角∴又∵∴四边形PDMB为矩形，∴∵，∴M为BC中点,又∵∴∴∵设则PD为∴，∴∴∴解得，(不合题意，舍去)∴，，∴BC长为6；（3）连接BD，∵AD平分，∴∠PAD=∠CAD，∵是四边形的外接圆，∴∠CBD=∠CAD，∠PAD=∠DCB，∴∠CBD=∠DCB，∵，∴∠CBD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB=∠DCB，∴△BDC是等边三角形，∴BD=CD=BC，把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，如图，由旋转的性质得：∠ACQ=60，∠ADC=∠QBC，AC=QC，AD=QB，∵是四边形的外接圆，∴∠ADC+∠ABC=180，∴∠QBC+∠ABC=180，∴A、B、Q三点共线，∵∠ACQ=60，AC=QC，∴△ACQ是等边三角形，∴AB+AD=AB+BQ=AQ=AC，当弦AC为直径时，AB+AD取得最大值，∴AB+AD的最大值为10．【点睛】本题考查的圆的综合题，涉及到切线的判定和性质，圆周角定理，矩形，正方形的性质和三角形相似的判定与性质，旋转的性质等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．15．【提出问题】如图1，直径垂直弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，则点的位置随着点位置的改变而改变．【特殊位置探究】（1）当时，求和线段的长；【一般规律探究】（2）如图2，连结，．在点运动过程中，设，．①求证：；②求与之间的函数关系式：【解决问题】（3）当时，求和的面积之比．（直接写出答案）【答案】（1），；（2）①证明见解析；②；（3）当时，和的面积之比为或．【分析】（1）连结，利用垂径定理先求解再求解从而可得的值，连结，则利用三角函数求解即可．（2）①连结，证明，再利用为直径，可得结论；②连结，过点作的垂线交的延长线于点，证明可得．再求解结合，，可得结论．（3）当时，或4．再分两种情况讨论，当时，则可得，再求解．如图，连接证明，从而可得答案，当时，，解得．同理可得．【详解】解：（1）连结，∵直径．，．，连结，则在中，．（2）①连结，，为直径，．②连结，过点作的垂线交的延长线于点，为直径，．，．．（3）当时，在的右边时，；当在的左边时，；当时，则，解得．经检验：是原方程的根且符合题意，如图，连接四边形为的内接四边形，．当时，，解得．同理可得．∴当时，和的面积之比为或．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握构建适当的辅助线构建相似三角形是解题的关键．期末难点特训三（选填压轴50道）1．如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（

）A．3 B． C．4 D．2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（）A．若y4＞y3，则a＞0B．对称轴不可能是直线x＝2.7C．y1＜y4D．3a+b＜03．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（

）A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜74．已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（）A．4 B．2 C．6 D．35．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2．连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（）A． B． C．3﹣ D．3+6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值为（）．A．2.5 B．2+ C．3 D．47．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2B．若x1+x2＞4，则y1＜y2C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y28．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，二次函数的图像经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．有以下结论：①abc＜0；②5a+3b+c＞0；③－＜a＜－；④若点M(－9a，y1)，N(a，y2)在抛物线上，则y1＜y2．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，则CE的长不可能是（）A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.114．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a≤ C．a≤或a＞0 D．a≥或a＜015．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大17．如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG.以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是(

)A．2 B．3 C．4 D．518．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．如图，已知弦与弦交于点，且为的中点，延长交于点，若，则（

）A． B． C． D．20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．321．已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A． B． C． D．22．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题23．如图所示，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．24．如图，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G：下列结论：①CDF≌BDH，②DG＝DM，③CF＝FE，④BE＝2DH，其中正确结论的序号是_____．25．如图所示，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD上动点（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°，下列说法：①点E从B向C运动的过程中，△CEF的周长始终不变；②以A为圆心，2为半径的圆一定与EF相切；③△AEF面积有最小值；④△CEF的面积最大值小于．其中正确的有_____.（填写序号）26．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是.27．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是_____．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．29．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是___________．30．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是_____．31．如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有_____（填写所有正确结论的序号）．32．如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若，，则CD的长为__________．33．如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．（1）当三点共线时，线段的长度为_________；（2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．34．如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．35．如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．36．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．37．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标______；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为______．38．如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为_____．39．“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；⑤以为边作正方形．正方形即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．40．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是_______．41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O与AC、AB都相切，其半径为1．若在三角线内部沿边AB顺时针方向滚动到与BC相切，则点O运动的路经长是_____．42．如图，为的直径，为上一动点，将绕点逆时针旋转得，若，则的最大值为__．43．如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2＝AB•DC，则OD＝__．44．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是__________．45．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD，其中正确的结论的序号是_____．46．如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数（）的图象经过点，且与交于点，连接，若∆的面积为，则的值为______．47．如图，六边形ABCDEF为的内接正六边形，点M为劣弧上的一个动点，连接OM，以点O为旋转中心，将线段OM逆时针旋转60°得到线段ON，连接MN，得到△OMN，点H为△MON的外心．（1）连接MH，NH，则∠MHN=_______．（2）若正六边形ABCDEF的周长为，当点M从点A运动到点C时，外心H所经过的路径长为_______．48．如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与边BC，AB交于点D和点E，连接OD，EF∥OD交OA于点F，若OF＝2FA，且OD＝k，则k的值为_____．49．如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．50．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，0）．点C的坐标为________；②若正方形ABCD和正方形A1BC1B1关于点B成中心对称；正方形A1BC1B1和正方形A2B2C2B1关于点B1成中心对称；…，依此规律，则点C7的坐标为________．期末难点特训三（选填压轴50道）1．如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】根据题意可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，进而证明，最后即可求出长的最大值.【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：连接BP,∵,∴BD=DC,∵是的中点，∴DE//BP,,所以当BP的长最大时，长的最大，由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,∵的半径为2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故选：B.【点睛】本题考查圆的动点问题，熟练掌握圆的性质并利用中位线性质得出是解题的关键.2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（）A．若y4＞y3，则a＞0B．对称轴不可能是直线x＝2.7C．y1＜y4D．3a+b＜0【答案】C【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】解：A、当时，抛物线开口向下，当时，随增大而增大，若，时，，选项错误，不符合题意；B、当对称轴为直线时，，若则，不符题意，若则，符合题意，选项错误，不符合题意；C、若，当抛物线对称轴为直线时，，对称轴直线时满足题意，此时，，若，当抛物线对称轴为直线时，，当时，选项正确，符合题意；D、，，，选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是判定对称轴的位置．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（

）A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7【答案】A【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：在中，°，，，．，，．以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，的范围是，故选：A．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．4．已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（）A．4 B．2 C．6 D．3【答案】C【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．【详解】解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2∴函数图象一定经过点C（2，-2）点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．5．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2．连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（）A． B． C．3﹣ D．3+【答案】C【分析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．【详解】解：如图中，取的中点，连接，．四边形是正方形，，，，，，，∴点G在以AB为圆的圆的上运动，，，，当，，共线时，的值最小，CG最小值（如图2中），，，∵四边形ABCD为正方形，∴，，，，，，，，，，，，，故选择：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直径所对圆周角的性质，点C到圆上最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形与辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值为（）．A．2.5 B．2+ C．3 D．4【答案】C【分析】连接PC，先根据直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质得出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出，又根据线段中点的定义得出，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案．【详解】如图，连接PC在中，，∴∵将绕顶点C逆时针旋转得到∴也是直角三角形，且∵P是的中点，∴∵M是BC的中点∴则由三角形的三边关系定理得：即当点恰好在的延长线上时，当点恰好在的延长线上时，综上，则线段PM的最大值为3故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．7．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2B．若x1+x2＞4，则y1＜y2C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2【答案】C【分析】先求出抛物线的对称轴为，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线的对称轴为：，当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，∴，即，∵x1＜x2，∴；∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向下，此时距离越远，y值越小；∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P2（x2，y2）距离直线较远，∴；当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向上，此时距离越远，y值越大；∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P1（x1，y1）距离直线较远，∴；故C符合题意；D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析．8．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】由抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，可判断①；由抛物线与轴有两个交点，可判断②；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，可判断③；由抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，可判断④；由，，可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：∴abc＜0，故①不符合题意；抛物线与轴有两个交点，故②符合题意；抛物线与x轴的一个交点坐标为，故③符合题意；抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，所以方程的两个根是，；故④符合题意；∵抛物线的对称轴为，即，而时，，即，∴3a+c=0，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴5a＜0，∴；故⑤符合题意；综上：②③④⑤符合题意；故选：A【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，利用数形结合思想是解答本题的关键.9．如图，二次函数的图像经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据题意可当x=-2时，y＜0，可得，故①正确；再由二次函数的图像与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，可得，从而得到，故②正确；然后根据二次函数的图像经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，可得，从而得到，故③正确，即可求解．【详解】解：根据题意得：当x=-2时，y＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，∴抛物线的对称轴，a＜0，∴，∴，故②正确；∵二次函数的图像经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，∴，∵a＜0，∴，∴，故③正确；∴正确的有①②③，共3个．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由图象可知：，，，，，故此选项正确；②当时，，故，错误；③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且，即，代入得，得，故此选项错误；④当时，的值最大．此时，，而当时，，所以，故，即，（其中，故此选项正确．故①④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为．11．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：①：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；③：又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤，解得1＜m≤，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．有以下结论：①abc＜0；②5a+3b+c＞0；③－＜a＜－；④若点M(－9a，y1)，N(a，y2)在抛物线上，则y1＜y2．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答．【详解】解：①由开口可知：a﹤0，∵对称轴∴b﹥0，由抛物线与y轴的交点可知：c﹥0，∴abc﹤0，故①正确；②对称轴x=，∴b=-4a，∴5a+3b+c=5a-12a+c=-7a+c，∵a﹤0，c﹥0，∴-7a+c﹥0，∴5a+3b+c﹥0，故②正确；③∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴b=-4a，∴c=-5a，∵2﹤c﹤3，∴2﹤-5a﹤3，∴﹤a﹤，故③正确；④点M(-9a，y1)，N(，y2)在抛物线上，则当时，y1＜y2当-时，y1＞y2故④错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．13．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，则CE的长不可能是（）A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.1【答案】D【分析】取AB的中点F，得到△BCF是等边三角形，利用三角形中位线定理推出EF=BD=1，再分类讨论求得，即可求解．【详解】解：取AB的中点F，连接EF、CF，∵∠BAC=30°，BC=2，∴AB=2BC