2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题8 二次函数与一元二次方程、不等式（2）-2024一轮数学题型细分与精练（解析版）

专题8二次函数与一元二次方程、不等式（2）题型一一元二次不等式在实数集上恒成立问题1．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】又因为不等式的解集为，则，又，，则不等式即为，即，由于不等式的解集为，则，解得，.不等式即为，即为，解得.故选：B.2．若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【答案】【解析】当时，恒成立，当时，利用二次函数图象知，则解得，所以实数a的取值范围是3．已知不等式的解集为．（1）解不等式；（2）b为何值时，的解集为R？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由题意知且－3和1是方程的两根，∴解得.∴不等式，即为，解得或.∴所求不等式的解集为或；（2），即为，若此不等式的解集为，则，解得.4．对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围.【答案】不存在这样的实数，使函数的值恒大于零.【解析】①当时，函数的值不恒大于零，不符合题意，舍去；②当时，要使得对任意，函数的值恒大于零，则满足，即，此不等式组无解，故.综上知，不存在这样的实数，使函数的值恒大于零.5．（1）关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．（2）若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．【答案】（1）m<－2；（2）m<－2和x>3【解析】（1）首先将分式不等式变形，分离出参数m，将求m范围转化为二次函数求最值问题；（2）将不等式变形为（x－1）p＋x2－4x＋3>0，结合一次函数性质得到关于p的不等式，求解p的取值范围试题解析：（1）∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2>0，∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0．要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．∴Δ<0，即64－8（6－m）<0，整理并解得m<－2．（2）∵x2＋px>4x＋p－3，∴（x－1）p＋x2－4x＋3>0．令g（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g（p）>0，只要有．∴x>3或x<－1．题型二一元二次不等式其他恒成立问题1．若，不等式恒成立，则有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出函数的图象，并截取在内的部分如图所示（实线部分），由图象知，当时，取得最小值，所以故选：A.2．若当时，恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】若当时，恒成立，则函数在时的最小值恒大于等于二次函数图像的对称轴为直线：①当时，函数在时取得最小值，，解得：②当时，函数在时取得最小值，解得：③当时，函数在时取得最小值，解得：综上所述：实数的取值范围为故答案为3．（1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．（2）对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．【答案】（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}．【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2．如图所示：可得，∴m的取值范围是{m|m<－5}．（2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴.令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1．故a的取值范围为{a|a<1}．4．若关于x的不等式对于满足的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.【答案】【解析】∵∴不等式可转化为.令.∵∴当,即时,函数取得最大值,∴5．（1）当，时，求关于的不等式的解集；（2）若时，对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，时，关于的不等式可化为，解得，∴所求不等式的解集为.（2）当时，对任意恒成立，∴对任意恒成立，又当时，取得最小值，为，∴，即实数的取值范围是.题型三一元二次不等式有解问题1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式在内有解等价于在内有解，设函数，所以原问题等价于又当时，，所以.故选：A.2．当时，不等式有解，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】解：由题知，且，所以方程恒有一正一负两根，设，作出函数的大致图象如图所示：由图象知，不等式在上有解的充要条件是当时，，即，解得，故答案为：．3．已知函数在时至少存在一个实数c，使成立，求实数p的取值范围.【答案】【解析】二次函数在时至少存在一个实数c，使的否定是：对于中任意一个x都有，所以整理得解得或.故二次函数在内至少存在一个实数c，使成立的实数p的取值范围是.4．已知关于的不等式的解集非空，对于其解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】由得，设集合，由得，设集合，所以，设，则的解集非空，设解集为，其中，是方程的两实根，且，要使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立，则需，即，即，所以，即，解得，所以.故得解.题型四一元二次不等式的应用1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为元，则，，根据题意知，，解得：，所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．2．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，所以，因为，所以，即，解得.故选:C2．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（）A．甲车超速 B．乙车超速C．两车均不超速 D．两车均超速【答案】ACD【解析】设甲的速度为由题得0.1x1+0.01>12，解之得或；设乙的速度为，由题得0.05x2+0.005>10.解之得x2<-50或x2>40.由于x>0，从而得x1>30km/h，x2>40km/h.经比较知乙车超过限速.故选：ACD3．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．【答案】（1）＜（2）最大值为9【解析】（1）由题意得，由可得.答：的取值范围为.（2）由题意得，所以在上恒成立，又，（当且仅当时取“=”），所以.答：的最大值为9.4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．（1）设他每月获得的利润为w（单位：元），写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系．（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为．（2）由每月获得的利润不小于3000元，得．化简，得．解得．又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以．设政府每个月为他承担