第二章逻辑代数二

2024/4/171第二章逻辑代数2.1逻辑代数基本规则2.2逻辑函数的化简2.3卡诺图2024/4/1722.3卡诺图2024/4/173最小项在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，n变量均以原变量或反变量形式在m中出现且仅出现一次，则称m为该组变量的最小项n个变量的逻辑函数，其最小项共有2n个最小项只有一种取值情况使得它的逻辑值为12024/4/174最小项举例由A,B,C三个变量组成的最小项有8个：AB，AC，BC等虽然更简单，但却不是最小项，因为不是所有的项都出现了。同样也不是最小项。2024/4/1753变量最小项真值表ACBABCABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011100100000010000001000000000001000000100000000001000000100000000012024/4/176最小项的性质对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其它各组值时，该最小项的值都是0不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1若两个最小项有且仅有一个因子不同，则称此两个最小项具有相邻性：例：具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项并消去一个因子ACBABCABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011100100000010000001000000000001000000100000000001000000100000000012024/4/177最小项的编号用mi表示最小项，i为最小项编号，i采用十进制使最小项为1的变量取值所代表的数即为编号i2024/4/178逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式利用A+A=1的基本运算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量的项 例：

=m7+m6+m3+m1

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

2024/4/179卡诺图卡诺（MauriceKarnaugh）：Bell实验室通讯工程师“TheMapMethodforSynthesisofCombinationalLogicCircuits”,TransactionsoftheAmericanInstituteofElectricalEngineers,1953，vol.72partI:593–598卡诺图：

将逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列，此方格图称为卡诺图。2024/4/1710二变量卡诺图两侧标注的0和1表示使对应方格内最小项为1的变量取值，即最小项编号2024/4/1711三变量卡诺图为保证逻辑相邻的最小项在几何位置上相邻，每边的数字排列需要按格雷码顺序2024/4/1712四变量卡诺图用0表示反变量，1表示原变量，即可对应填入图中如ABCD对应0000，即m0，ABCD对应1111，即m152024/4/1713卡诺图的特点循环相邻性直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。

四角相邻性,卡诺图的四角也具有相邻性四个最小项有且仅有两个因子不同，称此四个最小项具有相邻性；八个最小项有且仅有三个因子不同，称此八个最小项具有相邻性2024/4/1714用卡诺图表示逻辑函数卡诺图：将逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列，此方格图称为卡诺图逻辑相邻性：逻辑相邻：ABCD与ABCD逻辑不相邻：ABCD与ABCD几何位置相邻：上下左右几何位置相邻，以及对边相邻2024/4/1715用卡诺图表示逻辑函数把逻辑函数化为最小项之和的形式，在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填1，其余位置填0任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和例：表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可直接填入卡诺图=二维真值表2024/4/1716用卡诺图化简逻辑函数卡诺图的化简原理最小项的性质⑤A+A=A例：2024/4/1717卡诺图化简的步骤将逻辑函数写成最小项表达式按最小项表达式填卡诺图合并最小项，即将相邻的方格圈成一组，每组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为1项4个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为1项8个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为1项2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为1项，仅含公共因子将所有包围圈对应的乘积项相加2024/4/1718用卡诺图化简逻辑函数L=AC+AB+BC2024/4/1719卡诺图化简的原则包围圈内的方格数必须是2n个包围圈内不能有0，必须全为1相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈多余包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少，不够多则不够简2024/4/1720用卡诺图化简逻辑函数2024/4/1721用卡诺图化简逻辑函数与-或表达式：与非-与非表达式：2024/4/1722用卡诺图化简逻辑函数当卡诺图中小方格被1占去了大部分，可以采用包围0的方法化简，即求出非函数L，再对L求非例：或：2024/4/1723卡诺图包0法原理(1)依据：包1法化简成立反演法则2024/4/1724卡诺图包0法原理(2)L的卡诺图反演法（摩根定律）2024/4/1725卡诺图的多种拓扑11111111BCDAP56

例2.4.2 L=M0+M2+M5+M7+M8+M10+M13+M15化简后注意：非对称结构卡诺图，不能完全使相邻项具有空间相邻特性00000101101011011110110001具有无关项的卡诺图化简

（任意项和约束项）2024/4/1727无关项（任意项、约束项）定义任意项：函数的变量取一些特定的值时（不应该出现的值），函数值可以是任意的，不影响电路的功能约束项：输入变量的取值不是任意的，限制某些输入变量的取值不能出现把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项，无关项常用d0,d1,d2……表示，无关项对应的最小项之和恒等于02024/4/1728任意项例：设计一个逻辑电路，能够判断一个十进制数是奇数还是偶数，当十进制为奇数时，电路输出为1，当十进制为偶数时，输出为02024/4/1729约束项例：有三个变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停止命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。因为电动机任何时候只能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上变量同时为1，即A、B、C的取值只能是001、010或100的一种，通常可写成：2024/4/1730无关项在化简逻辑函数中的应用因为输入变量使任意项为1时，函数的输出值是0还是1无所谓，所以可以把任意项写入逻辑函数式，也可以不写。因此卡诺图中任意项处的L既可为1也可为0。同样，既可把约束项写进函数式，也可以把它从函数式中删掉，因为A+0＝A无关项在卡诺图中对应位置既可填1，也可填0。因此在图中填X，表示1，0均可，究竟为1为0，应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而矩形组合数目最少为原则2024/4/1731任意项在化简逻辑函数中的应用2024/4/1732约束项在化简逻辑函数中的应用化简具有约束项的逻辑函数给定约束条件为：2024/4/1733约束项在化简逻辑函数中的应用化简逻辑函数给定约束条件为：2024/