二次函数的应用第1课时图形面积问题课件北师大版数学九年级下册

2.4二次函数的应用第1课时图形面积问题九年级下

北师版1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.能运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能运用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.学习目标难点重点

由于抛物线y=ax2

+bx+c的顶点是最低（高）点，当

时，二次函数

y=ax2

+bx+c有最小(大)值如何求出二次函数y=ax2

+bx+c的最小（大）值？新课引入一

求二次函数的最大（或最小）值问题1

二次函数

的最值由什么决定？xyOxyO最小值最大值二次函数

的最值由a及顶点坐标决定.探究新知学习问题2

当自变量x为全体实数时，二次函数

的最值是多少？当a＜0时，有

.当a＞0时，有

.

(1)若x=在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,最大值与最小值同时存在，问题3当自变量x有限制时，二次函数

的最值如何确定？如图1，当a＞0时，最小值在x＝

处取得，最大值在x＝x2处取得；如图2，当a＜0时，最大值在x＝

处取得，最小值在x＝x2处取得.图1图2(2)若x=

不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在.如图，函数在x＝x1处取得最小值，x＝x2处取得最大值.例1写出下列抛物线的最值.(1)y=x2-4x-5;解：∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）,

∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;(2)y=-x2-3x+4.∴当x=时，y取最大值，最大值为.解：∵a=-1＜0，对称轴为x=,顶点坐标为(，),例2求下列函数的最大值与最小值x0y解：-31∴当

时，∴当x=1时，∵解：Oxy1-3（2）即

x在对称轴的右侧，∴当

x=-3时，当x=1时，1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.归纳

当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：针对训练1.二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为()A．2B．4C．－4D．16B2.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3B．－1C．4D．4或－1C二

二次函数与几何图形面积的最值例1如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，AN=40m，

AM=30m，其中AB和AD分别在两直角边上，比值为4:3.

30mM40mABCDN┐（1）设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2，

当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？解：解：当x=20时，y有最大值，最大值为300.30mM40mABCDN┐在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？NM解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M.∵DA//CB，∴GN⊥DA.∵DA//EF，NM在Rt△EGF中，由得GM=24（m）∴当x=12时，y有最大值300.例2

用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)xxy解：∵7x+4y+πx=15,∴0＜x＜1.48.设窗户的面积是Sm2,则

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02

m2.xxy归纳

二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

针对训练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为()A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不确定2.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为(

)A．20B．40C．100D．120BD3.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ABCD解：设AB=x，则AD=，∴S=∴当x=1时，S有最大值

.即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.ABCD（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x由题意0＜80－2x≤50∴15≤x＜40x4.如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2.（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x=-2(x-20)2+800∴当x=20时，S有最大值800.即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少?ABCDx随堂练习

(1)请用含有x的式子表示CE，并求出x的取值范围；解：由题意可知3(x＋1)＋x＋CE＝25，∴CE＝22－4x，∵CD≤10，∴22－4x＋x≤10，解得x≥4，(4分)又∵3(x＋1)＋x<25，解得(2)求该实践基地种植面积的最大值．解：设该实践基地种植面积为S，即S＝S2＋S3，则S＝x2＋(x＋1)(22－4x)＝－3(