导数在研究函数中的应用 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学高二年级导数在研究函数中的应用01040203审题建模求解检验导数（最优化问题）导数（最优化问题）导数利润最大用料最省效率最高容积最大面积最大如：函数模型数列模型均值不等式模型四大步骤审题建模求解检验审题求解检验审题学习目标1、能利用导数解决实际问题中的最优化问题．2、通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题的方法，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法．3、通过本节课的学习，进一步体会数学是从实际中来，又将应用于实践中去，体验数学的应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心．

例一：现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？审题：题目中有一个变量，就是截下的小正方形边长，设为x，则做成的长方体形无盖容器底面边长为，高为。建模：设容器容积为，则求解：求极值答：当截下的正方形边长为时，容积最大。检验：解题步骤：审题建模等量关系求解导数检验实际意义变量

例二：横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？审题：已知量只有直径d，两个变量，设高为h，宽为x，显然建模：思考：选哪个更好？为什么？检验：求解：

思考：以上解题过程可看出，当题目中有多个变量时，首先需要消元，将多个变量均用一个变量表示，才能采用导数方法来解题，那么能否在建模时就尽量减少变量个数呢？

如本题，能否只用一个变量来表示高和宽这两个变量呢？显然：

跟圆有关的题目很容易想到哪个知识点？如何求导？题目解析：三种方法都可以解决这个问题，但各有千秋。可见在掌握导数实际应用的步骤之后，大家要注重筛选最优解题方法，这关键在于选取最恰当的变量，以便于进行求导。例三：已知电源的电动势为E，内电阻为r，问当外电阻R取什么值时，输出的功率最大。

题目已知两个已知量，电动势E和内电阻r，求得是变量外电阻R和功率P的关系。由物理知识可知；注意：像这种实际问题，量比较多是常见的问题，区分开谁是常量，谁是变量是建模的关键。本体可知外电阻R为变量。

从物理实验角度思考，该模型的意义就是当一定时，输出功率P由负载电阻R的大小决定。因此R一定有一个适当的数值，使得输出功率最大。进而转化成了数学中的最值问题。因此，当R=r时，输出的功率最大。即当外电路负载电阻等于内电阻时，输出功率最大。课堂练习1、一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小？令q′＝0,解得v＝20.∵当v<20时,q′<0；当v>20时,q′>0,∴当v＝20时,q取得最小值,又v＝20符合实际意义。所以速度为20海里/时,航行1海里所需费用总和最小.2、答设一个正数为x,则另一个正数为c－x,两数之积为f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c),f′(x)＝c－2x.(1)用导数解决最优化问题,要正确引入变量,将所求对象表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①审题（找关系）：分析实际问题中各量之间的等量关系；②建模（写关系）：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；③求解（求导）：求函数的导数f′(x),解方程f′(x)＝0；④检验（实际意义）：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值；