2025届新高考数学精准冲刺复习 数列的综合应用

2025届新高考数学精准冲刺复习数列的综合应用一．数列的应用二．数列的求和三．数列递推式四．数列与函数的综合五．数列与不等式的综合六．数列与向量的综合目录一．数列的应用1.约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak-1，ak(a1＜a2＜...＜ak)．(Ⅰ)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(Ⅱ)当k≥4时，若a2-a1，a3-a2，...ak-ak-1构成等比数列，求正整数a；(Ⅲ)记A=a1a2+a2a3+...+ak-1ak，求证：A＜a2．【解析】解：(Ⅰ)当k=4时正整数a的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即a=8．

即A＜a2．

设ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2，由ak=t＜t+1＜t+2≤ak+1得bt＜k,bt+1=bt+2=k,与{bn}是等差数列矛盾，所以对任意n∈N*都有dn=1，所以数列{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n；(Ⅲ)证明：因为对于n∈N*，Bn⊆Bn+1，所以bn≤bn+1，所以n+bn≤n+bn+1＜n+1+bn+1，即数列{n+bn}是递增数列，先证明S∩T=∅，假设S∩T≠∅，设正整数p∈S∩T，由于p∈S，故存在正整数i＜p使得p=i+ai，所以ai=p-i,因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以ai+1≥p-i+1，所以bp-i=i-1，bp-i+1=i,

3.已知Tn为所有n元有序数组(a1，a2，…，an)所组成的集合．其中ai∈{0，1}(i=1，2，…，n)．对于T中的任意元素x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)定义x,y的距离：d(x,y)=|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|．若k∈N*，U为T5k的子集，且有2k个元素，并且满足任意x∈T5k，都存在唯一的y∈U，使得d(x,y)≤2，则称U为“好k集”．(1)若a,b,c∈T3，a=(1，0，1)，b=(0，1，0)，c=(0，1，1)，求d(a,a)，d(a,b)及d(a,c)+d(b,c)的值；(2)当k=1时，求证：存在“好k集”，且“好k集”中不同元素的距离为5；(3)求证：当k＞1时，“好k集”不存在．

结合|xi-yi|+|1-xi-yi|=1可得：d(x,y)就相当于对0，1的顺序进行重组，对于任意x∈U，可知均存在y∈T5，使得d(x,y)=2，当k＞1时，对任意a=(a1，a2，…，a5k)∈T5k，定义a=(A1，A2，…，Ak)，其中Ai=(a5i-4，a5i-3，…，a5i)，i∈{1，2，…，k}，可知：对任意e,f∈T5k，其中e=(E1，E2，…，Ek)，f=(F1，F2，…，Fk)，可知d(e,f)=d(E1，F1)+d(E2，F2)+…+d(Ek，Fk)，假设存在“好k集”，则对任意b=(B1，B2，…，Bk)∈T5k，以b为基础构建“好k集”U，对任意c=(C1，C2，…，Ck)∈T5k，

【解析】解：(1)由题意，因为m是正奇数，当m=1时，由a1=1，得a2=1+1=2，a3=1=a1，这与前6项各不相同矛盾，不合题意；当m=3时，由a1=1，得a2=1+3=4，a3=2，a4=1=a1，不合题意；当m=5时，由a1=1，得a2=1+5=6，a3=3，a4=3+5=8，a5=4，a6=2，符合题意；综上，m的最小值为5，此时数列的前6项为：1，6，3，8，4，2．(2)证明：假设集合B={k∈N*|ak∈Am，ak＞2m}非空，当k=1时，a1=1，又m是正奇数，2m≥2，而a1＜2m,不合题意，当k=2时，a2=1+m,若a2＞2m,则需m＜1，又m是正奇数，不合题意，设B中元素的最小值为k(显然k≥3)，因为ak＞2m≥ak-1，所以ak=ak-1+m,因此ak-1为奇数，且ak-1＞m.

若K＞m,则必有ai-1=aj-1=K-m＞1，与i的最小性矛盾；若K≤m,则必有ai-1=aj-1=2K，也与i的最小性矛盾．因此只能ai=1，因此aj=a1=1，j＞1，aj-1=2，即1，2∈Sm．综上，S={1，2}．5.已知Sn={1，2，⋯，n}(n≥3)，A={a1，a2，⋯，ak}(k≥2)是Sn的子集，定义集合A*={ai-aj|ai，aj∈A且ai＞aj}，若A*∪{n}=Sn，则称集合A是Sn的恰当子集．用|X|表示有限集合X的元素个数．(1)若n=5，A={1，2，3，5}，求A*并判断集合A是否为S5的恰当子集；(2)已知A={1，a,b,7}(a＜b)是S7的恰当子集，求a,b的值并说明理由；(3)若存在A是Sn的恰当子集，并且|A|=5，求n的最大值．【解析】解：(1)若n=5，有S5={1，2，3，4，5}，由A={1，2，3，5}，则A*={1，2，3，4}，满足A*∪{5}=S5，集合A是S5的恰当子集．(2)A={1，a,b,7}(a＜b)是S7的恰当子集，则A*={1，2，3，4，5，6}，7-1=6∈A*，由5∈A*则7-a=5或b-1=5，7-a=5时，a=2，此时b=5，A={1，2，5，7}，满足题意；b-1=5时，b=6，此时a=3，A={1，3，6，7}，满足题意；a=2，b=5或a=3，b=6．(3)若存在A是Sn的恰当子集，并且|A|=5，当n=10时，A={1，2，3，7，10}，有A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，满足A*∪{10}=S10，所以A={1，2，3，7，10}是S10的恰当子集，当n=11时，若存在A是S11的恰当子集，并且|A|=5，则需满足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，由10∈A*，则有1∈A且11∈A，由9∈A*，则有2∈A或10∈A，2∈A时，设A={1，2，a,b,11}(3≤a＜b≤10)，经检验没有这样的a,b满足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}；当10∈A时，设A={1，a,b,10，11}(2≤a＜b≤9)，经检验没有这样的a,b满足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}；因此不存在A是S11的恰当子集，并且|A|=5，所以存在A是Sn的恰当子集，并且|A|=5，n的最大值为10．6.对于数列{an}定义△ai=ai+1-ai为{an}的差数列，△2ai=△ai+1-△ai为{an}的累次差数列．如果{an}的差数列满足|△ai|≠|△aj|，(∀i,j∈N*，i≠j)，则称{an}是“绝对差异数列”；如果{an}的累次差数列满足|△2ai|=|△2aj|，(∀i,j∈N*)，则称{an}是“累差不变数列”．(1)设数列A1：2，4，8，10，14，16；A2：6，1，5，2，4，3，判断数列A1和数列A2是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；(2)若无穷数列{an}既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且{an}的前两项a1=0，a2=a,|△2ai|=d(d为大于0的常数)，求数列{an}的通项公式；(3)已知数列B：b1，b2…，b2n-1，b2n是“绝对差异数列”，且{b1，b2…，b2n}={1，2，⋯，2n}，证明：b1-b2n=n的充要条件是{b2，b4…，b2n}={1，2，⋯，n}．

或2n,1，2n-1，2，2n-2或4，2n,1，2n-1，2，若排序为2n-1，2，2n,1，2n-3，则当差数列为5-2n时，无法排序，不合题意；若排序为4，2n,1，2n-1，2，则当差数列为5-2n时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为3，2n-1，2，2n,1，或2n,1，2n-1，2，2n-2，利用数学归纳法证明：当差数列为-1-2n+2i,符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，显然i=1，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为-1-2n+2i,符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1；则当差数列为2n-2i时，符合的排序为i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,或2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，2n-2i+1，当差数列为-1-2n+2(i+1)=-2n+2i+1时，对于i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,可得符合的排序为2n-(i+1)-1，i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1；对于2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，2n-2i+1，无法排序；所以符合的排序为2n-(i+1)-1，i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，即当差数列为-1-2n+2i,符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1；所以当差数列为-1-2n+2i,符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，成立；同理可证：当差数列为-1-2n+2i,符合的另一种排序为2n,1，2n-1，2，⋯，2n-i+1，i；依次类推，可得其排列为n+1，n,n+2，n-1，n+3，n-2，⋯，2，2n,或2n,1，2n-1，2，2n-3，3，⋯，n+1，n,所以{b2，b4，⋯，b2n}={1，2，⋯，n}，故充分性成立；若{b2，b4，⋯，b2n}={1，2，⋯，n}，则{b1，b3，⋯，b2n-1}={n+1，n+2，⋯，2n}，若差数列为±(2n-1)，则符合的排序为2n,或1，2n,若差数列为±(2n-2)，则符合的排序为2，2n,或2n,1，2n-1或1，2n,2或2n-1，1，2n,若差数列为±(2n-3)，则符合的排序为2n-1，2，2n,或2n,1，2n-1，2，因为1，2n,2的排序为1，2n,2，2n-1，不合题意，2n-1，1，2n的排序为2，2n-1，1，2n,不合题意，所以若差数列为±(2n-1)，则符合的排序为2n,1，若差数列为±(2n-2)，则符合的排序为2，2n,1或2n,1，2n-1，若差数列为±(2n-3)，则符合的排序为2n-1，2，2n,1或2n,1，2n-1，2，利用数学归纳法证明：当差数列为±(2n+1-2i)时，符合的的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，当i=1时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为±(2n+1-2i)，符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1；当差数列为±(2n-2i)，符合的排序为i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,或2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，2n-2i.当差数列为±(2n+1-2(i+1))，对于i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,可得排序为2n-(i+1)+1，i+1，2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，对于2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1，2n-2i则无法排序，所以当差数列为±(2n+1-2i)，符合的排序为2n-i+1，i,⋯，2n-1，2，2n,1；同理可证：当差数列为±(2n+1-2i)，符合的排序为2n,1，2n-1，2，⋯，2n-i+1，i；此时满足数列B是“绝对差异数列”的排序只有两种：n+1，n,n+2，n-1，n+3，n-2，⋯，2，2n,或2n,1，2n-1，2，2n-3，3，⋯，n+1，n,则b1-b2n=(b1-b2)+(b2-b3)+⋯+(b2n-1-b2n)=-(△b1+△b2+⋯+△b2n-1)=-n,必要性成立；所以b1-b2n=n的充要条件是{b2，b4，⋯，b2n}={1，2，⋯，n}．

(Ⅱ)从lT(a1)，…，lT(an)中任意删去两个数，记剩下的数的和为M，求M的最小值(用n表示)；(Ⅲ)对于满足lT(ai)＜n-1(i=1，2，…，n)的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e,f,g,使得dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3恒成立？请说明理由．【解析】解：(Ⅰ)lT(a2)=1，lT(a4)=dT(a4，a1)+dT(a4，a2)+dT(a4，a3)≤1+0+1=2．(Ⅱ)设lT(a1)，⋯，lT(an)中的最大值为lT(ak)，由定义，lT(ak)≤n-1，若存在lT(ak)=lT(am)=n-1，k≠m,则∀i∈N*，(ak，ai)∈T，∀i∈N*，(am，ai)∈T，

(Ⅲ)结论：集合S中存在满足条件的三个不同的元素e,f,g,使得dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3恒成立，证明如下：设lT(ai)，i=1，2，⋯，n中存在最大数，不妨记为lT(f)，由lT(f)＜n-1，存在e∈S，使dT(f,e)=0，即(e,f)∈T，由lT(f)≥1，可设集合G={x∈S|(f,x)∈T}≠∅，则l1中一定存在元素g,使得dT(g,e)=1，否则lT(e)≥lT(f)+1，与lT(f)是最大数矛盾，所以dT(f,g)=1，dT(g,e)=1，即dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3．10.已知集合Un={(x1，x2，⋯，xn)|xi∈{0，1}，i=1，2，⋯，n,n≥3}，任取α=(x1，x2，⋯，xn)∈Un，β=(y1，y2，⋯，yn)∈Un，定义α*β=max{x1，y1}+max{x2，y2}+⋯+max{xn，yn}，其中max{a,b}表示a,b中的最大值，例如max{1，0}=1，max{1，1}=1．(1)当n=3且α=(0，1，0)时，写出满足α*β=3的所有元素β；(2)设α，β∈Un满足α*α+β*β=n,求α*β的最大值和最小值；(3)若Un的子集S满足：∀{α，β}⊆S，α*β≥n成立，求集合S中元素个数mS的最大值．【解析】解：(1)因为n=3，α=(0，1，0)且α*β=max{x1，y1}+max{x2，y2}+⋯+max{x3，y3}，

则∀i∈{1，2，⋯，n}，max{xi，yi}=1，S中满足xi=0的元素至多有一个，否则S中满足第i个分量等于0的元素存在两个，即有α=(x1，x2，⋯，xn)，β=(y1，y2，⋯，yn)，xi=yi=0，则max{xi，yi}=0，α*β＜n,与已知矛盾；故S中可能有的元素分为以下两种情况：①每个分量都是1的，至多存在1个，②某个分量是0的至多各有1个，总计n个，所以mS≤n+1，当S={α|α∈Un，αn=n或n-1}时，满足题意且mS=n+1．故所求最大值为n+1．

为常数列．12.已知数列{an}，{bn}的项数均为m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0=B0=0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数．345123sdf(1)若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；(2)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，⋯，m-1，求rn；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0，1，2，⋯，m}，满足p＞q,s＞t,使得Ap+Bt=Aq+Bs．【解析】解：(1)数列{an}，{bn}的项数均为m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，规定A0=B0=0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数，a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，由题意可知：A0=0，A1=2，A2=3，A3=6，B0=0，B1=1，B2=3，B3=6，当k=0时，则B0=A0=0，Bi＞A0，i=1，2，3，故r0=0；当k=1时，则B0＜A1，B1＜A1，Bi＞A1，i=2，3，故r1=1；当k=2时，则Bi≤A2，i=0，1，2，B3＞A2，故r2=2；当k=3时，则Bi≤A3，i=0，1，2，3，故r3=3；综上所述：r0=0，r1=1，r2=2，r3=3．(2)a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，⋯，m-1，由题意可知：rn≤m,且rn∈N，∵an≥1，bn≥1，则An≥a1=1，Bn≥b1=1，当且仅当n=1时，等号成立，∴r0=0，r1=1，又∵2ri≤ri-1+ri+1，∴ri+1-ri≥ri-ri-1，∴rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥…≥r1-r0=1，可得ri+1-ri≥1，反证：假设满足rn+1-rn＞1的最小正整数为1≤j≤m-1，当i≥j时，则ri+1-ri≥2；当i≤j-1时，则ri+1-ri=1，则rm=(rm-rm-1)+(rm-1-rm-2)+…+(r1-r)0+r0≥2(m-j)+j=2m-j,又∵1≤j≤m-1，∴rm≥2m-j≥2m-(m-1)=m+1＞m,假设不成立，∴rn+1-rn=1，∴数列{rn}是以首项为1，公差为1的等差数列，∴rn=0+1×n=n,n∈N．

q+Bs．13.如图，T是3行3列的数表，用aij(i,j=1，2，3)表示位于第i行第j列的数，且满足aij∈{0，1}．a11a12a13a21a22a23a31a32a33

【解析】解：(1)T0为000000000T1=φ11(T0)，故T1为110100000T2=φ22(T1)，故T2为100011010T3=φ33(T2)，故T3=Ψ(T0)为100010001(2)T′为010111000由题意得，φ11，φ13，φ22，φ31，φ33均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，φ12，φ21，φ23，φ32均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如Ψ：φ11，φ11不改变表格中数据，故n的最大值为9，且变换满足交换律，例如Ψ：φ11，φ12和Ψ：φ12，φ11，结果相同，观察到T′是关于φ12，φ22，φ32变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T′中有4个1，故相对于T0改变了4个数，若n=1，通过验证，发现不能得到T′，若n=2，结合对称性和奇偶性，有Ψ：φ11，φ13，Ψ：φ21，φ23，Ψ：φ31，φ33，Ψ：φ12，φ32四种变换，经过验证，均不满足，若n=3，结合对称性和奇偶性，不妨取变换Ψ：φ11，φ12，φ13，T1=φ11(T0)，故T1为110100000T2=φ12(T1)，故T2为001110000T3=φ13(T2)，故T3=Ψ(T0)为010111000故n的最小值为3；(3)设A是所有优变换的集合，则A中的优变换的个数为29，B是所有数表的集合，则B中的数表的个数为29，构造f：A→B，下面证明A中的优变换和B中数表为一一对应关系，由于A，B中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由(2)可知，Ψ：φ11，φ12，φ13，φ22可以得到以下数表，000000010由对称性可知，a12，a21，a23，a32可以单独被改变，又经过Ψ：φ11变换得到110100000又a12，a21可单独被改变，故可得到100000000即a11可单独被改变，同理经过变换a13，a31，a33可单独被改变，经过Ψ：φ22变换得到：010111010又经过变换，a12，a21，a23，a32可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表T：(aij)，aij∈{0，1}，i,j∈{1，2，3}，存在唯一的一个“优变换”Ψ，使得T=Ψ(T0)．

，求S1，S2，S3及d(S)；(Ⅱ)若S={1，2，…，n}，集合S1，S2，…，Sn中的元素个数均相同，若d(S)=3，求n的最小值；(Ⅲ)若m=7，S={1，2，…，7}，集合S1，S2，…，S7中的元素个数均为3，且Si∩Sj≠∅(1≤i＜j≤7)，求证：d(S)的最小值为3．

(Ⅱ)设ai∈S使得d(ai)=d(S)=3，则d(ai)=xi1+xi2+…+xim≤m,所以m≥3，所以S={1，2，…，n}至少有3个元素个数相同的非空子集，当n=1时，S={1}，其非空子集只有自身，不符题意；当n=2时，S={1，2}，其非空子集有{1}，{2}，{1，2}，不符题意；当n=3时，S={1，2，3}，其非空子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，当{S1，S2，S3}={{1}，{2}，{3}}时，d(1)=d(2)=d(3)=1，不符题意；当{S1，S2，S3}={{1，2}，{2，3}，{1，3}}时，d(1)=d(2)=d(3)=2，不符题意；

所以d(1)+d(2)+…+d(7)=|S1|+|S2|+…+|S7|=3×7=21，因为d(i)≤d(S)(i=1，2，…，7)，所以21=d(1)+d(2)+…+d(7)≤7d(S)，所以d(S)≥3；当S1={1，2，3}，S2={1，4，5}，S3={1，6，7}，S4={4，2，6}，S5={3，4，7}，S6={3，5，6}，S7={2，5，7}时，

【解析】解：(1){an}不是“完全平方数列”．

17.给定整数n≥2，对于数列A：a1，a2，⋯，an定义数列B如下：b1=min{a1，a2}，b2=min{a2，a3}，⋯，bn-1=min{an-1，an}，bn=min{an，a1}，其中min{x1，x2，⋯，xk}表示x1，x2，⋯，xk这k个数中最小的数．记Sn=a1+a2+⋯+an，Tn=b1+b2+⋯+bn．(Ⅰ)若数列A为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列B；(Ⅱ)求证：若Tn=Sn，则有a1=a2=⋯=an；(Ⅲ)若Sn=0，常数Cn使得Tn≤Cn•min{a1，a2，⋯，an}恒成立，求Cn的最大值．【解析】解：(1)由题意得，数列B为①0，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，1．(2)证明：反证法，若存在ai，使得ai≠ak，(i,k∈N*)，不妨设a1＞a2=a3=a4=⋯=an，n∈N*，则数列B：a2，a3，a4，⋯，an-1，an，an，则Sn=a1+a2+⋯+an=a1+(n-1)a2，Tn=na2，又a1＞a2，所以Tn＞Sn，不符合题意，故假设不成立，故若Tn=Sn，则有a1=a2=⋯=an．(3)由题意得，min{a1，a2，⋯，an}＜0，不妨设ak=min{a1，a2，⋯，an}，Tn≤Cn•min{a1，a2，⋯，an}恒成立，

18.数列{an}，{bn}的项数均为m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0=B0=0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数．(Ⅰ)若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；(Ⅱ)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，⋯，m-1，求rn；(Ⅲ)证明：存在0≤p＜q≤m,0≤r＜s≤m,使得Ap+Bs=Aq+Br．【解析】解：(Ⅰ)列表如下，对比可知r0=0，r1=1，r2=1，r3=2．i0123ai213Ai0236bi133Bi0147rk0112(Ⅱ)由题意知rn≤m且rn∈N，因为an≥1，bn≥1，an，bn∈{1，2，⋯，m}，所以An≥1，Bn≥1，当且仅当n=1时，等号成立，所以r0=0，r1=1，又因为2rj≤rj-1+rj+1，则rj+1-rj≥rj-rj-1，即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥...≥r1-r0=1，

{dn}：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，{fn}：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，所以，{bn}和{cn}中，ci=di，(i=4，5，6，7)中至少有三个成立，不妨设c4≠d4，c5≠d5，c6≠d6，由题意，c4和d4中一个等于0，而另一个等于1，又因为f4=0或1，所以f4=c4和f4=d4中必有一个成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一个成立，f6=c6和f6=d6中必有一个成立，所以“fi=ci(i=3，4，5)中至少有两个成立”或”fi=di(i=4，5，6)中至少有两个成立“中必有一个成立，

N-2)•2+1=2N-3，当且仅当：b2=b3=⋯=bN-1=2，bN=1，即A：0，2，4，⋯，2N-4，2N-3时，等号成立，此时存在“强紧数列”A：0，1，3，⋯，2N-3，故此情形下，aN的最小值为2N-3；②T1={2，3，⋯，k}，T2={k+1，k+2，⋯，N-1}，其中k=2，3，⋯，N-2．对任意i∈T1，有bi≥2，对任意j∈T2，有bj+1≥2．aN=a1+(b2+b3+⋯+bk)+bk+1+(bk+2+bk+3⋯+bN)≥0+(k-1)•2+1+(N-k-1)•2=2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；③T1=∅，T2={2，3，⋯，N-1}．对任意i∈{2，3，⋯，N-1}，有bi-1≥2，aN=a1+b2+(b3+b4⋯+bN)≥0+2+(N-2)•2=2N-2＞2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3．综上，aN的最小值为2N-3．

又因为b1+b2+⋯+bm=(b1+b2+⋯+b20)-(bm+1+bm+2+⋯+b20)≤(13+20)-(20-m)×1=13+m,且a1+a2+⋯+am≥m×1=m,所以d(A，B)=2[b1+b2+⋯+bm-(a1+a2+⋯+am)]≤2[(13+m)-m]=26，即d(A，B)≤26，又对于A=(1，1，1，⋯，14)，B=(14，1，1，⋯1)，有A，B∈S20，且d(I，A)=d(I，B)=13d(A，B)=26，综上所得，d(A，B)的最大值为26．

(3)证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an．当存在1≤i＜j≤n,使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则S(B)-S(A)=2(iaj+jai-iai-jaj)=2(i-j)(aj-ai)≤0．当存在1≤m＜n,使得am+1=am+2=an=0时，若记数列a1，a2，am为C，则S(C)=S(A)．所以S(T2(A))≤S(A)．从而对于任意给定的数列A0，由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0，1，2，)可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak))．又由(Ⅱ)可知S(T1(Ak))=S(Ak)，所以S(Ak+1)≤S(Ak)．即对于k∈N，要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有S(Ak+1)≤S(Ak)-1．因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=0．即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(A)．

【解析】解：(1)因为数列A：4，3，2，1，a1≥a2≥⋯≥an，

再根据a1，a2，⋯，an为正整数，可知an-1=an=1．故当n≥2时，an-1=an=1．(3)当n=2时，S=2n-2=2，有an-1=an=1，此时T3=0+1-1=0，命题成立；当n≥3时，由(2)的结论，a1，a2，⋯，an中至少有两个1，现假设a1，a2，⋯，an中共有m(m≥2)个1，即an=an-1=⋯=an-m+1=1，且an-m≥2，则a1≤m.因为若a1≥m+1，则S=a1+a2+⋯+an≥m+1+2(n-m-1)+m=2n-1，矛盾．所以a1≤m.根据{Ti}(1≤i≤n+1)的定义可知，T2=a1≤m,0≤T3=a1-a2≤m,|T4|≤max{a3，T3}≤m,以此类推可知一直有|Tn-m+1|≤max{an-m，Tn-m}≤m,再由后面an=an-1=⋯=an-m+1=1，可知|Tn+1|≤1；另一方面Tn+1与S奇偶性相同，所以Tn+1=0．

【解析】解：(1)数列P的伴随集合为{-1，0，1，2，3}，数列Q的伴随集合为{3，5，6，9，10，12}．(2)先证明：对任意i≠k,或j≠l,则ai+aj≠ak+al(1≤i≤j≤n,1≤k＜l≤n)，假设ai+aj=ak+al(1≤i＜j≤n,1≤k＜l≤n)，当i=k,且j≠l,∵ai+aj=ak+al，则aj=al，即2j=2l，∴j=l,与j≠l矛盾，同理当i≠k,且j=l时，也不成立．当i=k,且j≠l时，不妨设i＜k,∵ai+aj=ak+al，则2i+2j=2k+2l，∴1+2j-i=2k-i+2l-i，左边为奇数，右边为偶数，∴1+2j-i≠2k-i+2l-i，综上，对任意i≠k,或j≠l,则ai+aj≠ak+al(l≤i＜j≤n,1≤k＜l≤n)，

，所以d(A1，A2)≠d(A2，A3)，所以A1，A2，A3，A4不是X4中的一个等距序列．(Ⅱ)证明：设A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)，C=(c1，c2，c3)，把a1a2a3，b1b2b3，c1c2c3分别称作A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)，C=(c1，c2，c3)的第一个，第二个，第三个坐标，若d(A，B)=x,x∈{0，1，2，3}则A，B中有x个对应坐标不相同，例如当d(A，B)=1时，说明A，B中有1个对应坐标不相同，其中A=(1，1，0)，B=(1，1，1)，就是符合d(A，B)=1的一种情况．当d(A，B)=d(B，C)=0时，A=B=C，所以d(A，C)=0是偶数；当d(A，B)=d(B，C)=1时，则A，B中有1个对应坐标不相同，并且B，C中有1个对应坐标不相同，所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A=C则d(A，C)=0，当有2个对应坐标不相同时，d(A，C)=2，都满足d(A，C)为偶数；当d(A，B)=d(B，C)=2时，A，B中有2个对应坐标不相同，并且B，C中有2个对应坐标不相同，所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A=C则d(A，C)=0，当有2个对应坐标不相同时，d(A，C)=2，都满足d(A，C)为偶数；当d(A，B)=d(B，C)=3时，A，B中有3个对应坐标不相同，并且B，C中有3个对应坐标不相同，

28.已知n为正整数，集合Mn={(x1，x2，⋯，xn)|xi∈{0，1}，i=1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α=(a1，a2，⋯，an)和β=(b1，b2，⋯，bn)，定义：α-β=(|a1-b1|，|a2-b2|，⋯，|an-bn|)；d(α，β)=|a1-b1|+|a2-b2|+⋯+|an-bn|．(Ⅰ)当n=3时，设α=(0，1，0)，β=(1，0，0)，写出α-β，并计算d(α，β)；(Ⅱ)若集合S满足S⊆M3，且∀α，β∈S，d(α，β)=2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；(Ⅲ)若∀α，β∈Mn，且d(α，β)=2，任取γ∈Mn，求d(α-γ，β-γ)的值．【解析】解：(1)α-β=(1，1，0)，d(α，β)=2．(2)最大值是4．此时S={(0，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}或S={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}．若还有第5个元素，则必有(1，0，0)，(0，1，1)和(0，0，1)，(1，1，0)和(0，1，0)，(1，0，1)和(1，1，1)，(0，0，0)之一出现，其对应的d(α，β)=3，不符合题意．(3)解：设α=(a1，a2，⋯，an)，β=(b1，b2，⋯，bn)，γ=(c1，c2，⋯，cn)，所以ai，bi，ci∈{0，1}，|ai-bi|∈{0，1}，(i=1，2，3，⋯n)从而α-β=(|a1-b1|，|a2-b2|，⋯，|an-bn|)∈Mn，又d(α-γ，β-γ)=||a1-c1|-|b1-c1||+||a2-c2|-|b2-c2||+⋯+||an-cn|-|bn-cn||，当ci=0时，||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|；当ci=1时，||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|．所以d(α-γ，α-β)=d(α，β)，所以d(α-γ，α-β)=2．29.已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S(X)=x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有x∈{0，1}，k=1，2，⋯，n,则称数列X为n项0-1数列．若数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，均为n项0-1数列，定义数列A*B：m1，m2，⋯，mn，其中mk=1-|ak-bk|，k=1，2，⋯，n.(Ⅰ)已知数列A：1，0，1，B：0，1，1，直接写出S(A*A)和S(A*B)的值；(Ⅱ)若数列A，B均为n项0-1数列，证明：S((A*B)*A)=S(B)；(Ⅲ)对于任意给定的正整数n,是否存在n项0-1数列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n,并说明理由．【解析】解：(I)S(A*A)=3，S(A*B)=1；(II)证明：对于两个0-1数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，记数列A*B：c1，c2，⋯，cn，则对于ck(1，2，3，⋯，n)，若ak=1，则此时|ak-bk|=1-bk，ck=1-|ak-bk|=bk，若ak=0，则此时|ak-bk|=bk，ck=1-|ak-bk|=1-bk，故对于数列(A*B)*A：d1，d2，⋯，dn，考虑dk的值(k=1，2，⋯，n)：若ak=1，则dk=ck=bk，若ak=0，则dk=1-ck=1-(1-bk)=bk，故(A*B)*A与B是同一数列．所以S((A*B)*A)=S(B)；(III)若n是奇数，则不存在n项0-1数列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n,证明如下：对于3个n项0-1数列A，B，C，记xi=3-|ai-bi|-|bi-ci|-|ci-ai|(i=1，2，⋯

(i=1，2，⋯，n-1)，证明：这样的数列A有偶数个．【解析】解：(Ⅰ)因为T(A)：0，1，1，所以n-1=3，即n=4．因为t1=0，t2=1，t3=1，所以a1＞a2，a2＜a3，a3＜a4，又因为ai∈{1，2，3，4}(i=1，2，3，4)，所以a2=1，a1=4，或a4=4，当a1=4时，a3=2，a4=3，当a4=4时，a1=3，a3=2，或a1=2，a3=3，综上所述，所有具有性质P的数列A为：4，1，2，3、3，1，2，4、2，1，3、4．证明：(Ⅱ)由于数列E：e1，e2，…，en-1(n≥2)，其中ei∈{0，1}(i=1，2

经检验数列A符合题意．证明：(Ⅲ)对于符合题意的数列A：a1，a2，…，an(n≥5)，①当n为奇数时，存在数列A'：an，an-1，…，a1符合题意，且数列A与A'不同，T(A)与T(A')相同，按这样的方式可由数列A'构造出数列A，所以当n为奇数时，这样的数列A有偶数个，当n=3时，这样的数列A也有偶数个．②当n为偶数时，如果n,n-1是数列A中不相邻的两项，交换n与n-1得到数列A'符合题意，且数列A与A'不同，T(A)与T(A')相同，按这样的方式可由数列A'构造出数列A，所以这样的数列A有偶数个；如果n,n-1是数列A中相邻的两项，由题设可知：必有an-1=n,an=n-1，a1=n-2，除这三项外，a2，a3，…，an-2是一个n-3项的符合题意的数列A，由①知这样的数列A有偶数个；综上所述，这样的数列A有偶数个．31.已知集合An={(x1，x2，…，xn)|xi∈{-1，1}(i=1，2，…，n)}．x,y∈An，x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)，其中xi，yi∈{-1，1}(i=1，2，…，n)．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn．若x⊙y=0，则称x与y正交．(Ⅰ)若x=(1，1，1，1)，写出A4中与x正交的所有元素；(Ⅱ)令B={x⊙y|x,y∈An}．若m∈B，证明：m+n为偶数；(Ⅲ)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【解析】解：(Ⅰ)A4中所有与x正交的元素为(-1，-1，1，1)(1，1，-1，-1)，(-1，1，-1，1)，(-1，1，1，-1)，(1，-1，-1，1)，(1，-1，1，-1

．所以m+n=2k-n+n=2k为偶数．…(8分)(Ⅲ)8个，2个n=8时，不妨设x1=(1，1，1，1，1，1，1，1)，x2=(-1，-1，-1，-1，1，1，1，1)．在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：(1，1，1，1)，(-1，1，-1，1)，(-1，-1，1，1)，(1，-1，-1，1)分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…(10分)N=14时，不妨设y1=(1，1…1，1)，(14个1)，y2=(-1，-1…-1，1，1…1)(7个1，

所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…(13分)32.给定有穷数列A：a1、a2、⋯、an(n≥3，n∈N*)，定义数列A的绝对差分数列B：b1、b2、⋯、bn-1(n≥3，n∈N*)，其中bk=|ak+1-ak|(1≤k≤n-1，k∈N*)．若数列B是单调不减的，即b1≤b2≤⋯≤bn-1，则称数列A是X数列．(1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为X数列：①A1：1、2、4、5；②A2：2、-2、-8、0；(2)已知各项均为整数的X数列A：a1、a2、⋯、a10满足a1≤a2≤⋯≤a10，并且其差分数列是等差数列，若a1=3，a4=6，求a10的所有可能值；(3)已知X数列A：a1、a2、⋯、an是1、2、3、⋯、n(n≥3，n∈N*)的一个排列，若其差分数列B：b1、b2、⋯、bn-1满足b1+b2+⋯+bn-1=n+2，求n的所有可能值．【解析】解：(1)①数列A1的绝对差分数列为1、2、1，不是X数列；②数列A2的绝对差分数列为4、6、8，是X数列；(2)设数列A的绝对差分数列为B：b1、b2、……、b9，依题意，数列B为等差数列，且公差d＞0，又a1≤a2≤⋯≤a10，则bk=|ak+1-ak|=ak+1-ak≥0，其中1≤k≤9，k∈N•，又数列A各项均为整数，则数列B各项也均为整数，且a4=a1+b1+b2+b3，所以6=3+3(b1+d)，解得b1+d=1，又b1≥0且b1，d∈Z，则b1=0，d=1或b1=1，d=0，若b1=0，d=1，则a10=a1+b1+b2+……+b9=3+9b5=3+9×4=39；

若n=3，显然没有符合上述要求的数列B；若n=4，显然没有符合①③的数列B，此时数列数列A为2、3、1、4或3、2、4、1，均符合题意；若n=5，显然没有符合②③的数列B，此时数列数列A为4、3、2、1、5或2、3、4、5、1，均符合题意；若n=6，假设数列B符合①，此时数列A的前5项不妨设为a1、a1+1、a1+2、a1+3、a1+4，则最后一项为a1+8或a1，而a1已经排列过，a1+8＞n=6，则此时不存在这样的数列A；假设数列B符合②，此时数列A的前4项不妨设为a1，a1+1、a1+2、a1+3，若倒数第二项为a1+1，而a1+1已经排列过，显然不合题意；若倒数第二项为a1+5，则最后一项为a1+2(不合题意)或a1+8，而a1+8＞n=6，则此时不存在这样的数列A；假设数列B符合③，此时数列A的前3项不妨设为a1、a1+1、a1+2，若倒数第三项为a1，而a1+1已经排列过，显然不合题意；若倒数第三项为a1+4，则倒数第二项为a1+2(不合题意)或a1+6，而a1+6＞n=6，则此时不存在这样的数列A；相应地，当n≥7时，均不存在符合题意的数列A；综上，n的值为4或5．

N-2)•2+1=2N-3，当且仅当：b2=b3=⋯=bN-1=2，bN=1，即A：0，2，4，⋯，2N-4，2N-3时，等号成立，此时存在“强紧数列”A：0，1，3，⋯，2N-3，故此情形下，aN的最小值为2N-3；②T1={2，3，⋯，k}，T2={k+1，k+2，⋯，N-1}，其中k=2，3，⋯，N-2．对任意i∈T1，有bi≥2，对任意j∈T2，有bj+1≥2．aN=a1+(b2+b3+⋯+bk)+bk+1+(bk+2+bk+3⋯+bN)≥0+(k-1)•2+1+(N-k-1)•2=2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；③T1=∅，T2={2，3，⋯，N-1}．对任意i∈{2，3，⋯，N-1}，有bi-1≥2，aN=a1+b2+(b3+b4⋯+bN)≥0+2+(N-2)•2=2N-2＞2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3．综上，aN的最小值为2N-3．34.已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)对于A=(a1，a2，…，an)∈Sn，B=(b1，b2，…，bn)∈Sn，定义A与B之间的距离：d(A，B)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|．若d(A，B)=1，则称A，B相关，记为A↔B．若Sn中不同的元素A1，A2，…，Am(m≥2)，满足A2↔A3，…，Am-1↔Am，Am↔A1，则称A1，A2，…，Am为Sn中的一个闭环．(Ⅰ)请直接写出S2中的一个闭环A1，A2，A3，A4；(Ⅱ)若