与相交线与平行线有关的计算与证明课件人教版数学七年级下册

与相交线与平行线有关的计算与证明相交线67123458两条直线相交两条直线被第三条直线所截邻补角对顶角垂直同位角内错角同旁内角同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行判定性质

例1如图，直线AB，CD相交于点O．EO⊥AB，∠3＝∠FOD，∠l＝27°，求∠2，∠3的度数．解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠1＋∠2＝90°，又∠1＝27°，∴∠2＝90°－∠1＝90°－27°＝63°．又∠1＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－27°＝153°．又∠3＝∠FOD，∴∠3＝∠AOD＝76.5°．∴∠2＝63°，∠3＝76.5°．

垂直是两条直线间的位置关系，一个角为90°是数量关系，垂直的定义建立起了两条直线垂直(位置关系)与一个角的度数为90°(数量关系)之间的联系．例2如图，AB交CD于点O，OE⊥AB．（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数；解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，即∠DOE＋∠BOD＝90°．（1）∵∠EOD＝20°，∴∠BOD＝90°－20°＝70°．∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝70°．例2

如图，AB交CD于点O，OE⊥AB．（2）若∠AOC

∠BOC＝1

2，求∠EOD的度数．解：（2）由∠AOC

∠BOC＝1

2，可设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．由补角的定义可知∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，解得x＝60°．∴∠BOD＝∠AOC＝60°，∴∠EOD＝90°－60°＝30°．

解决相交线所成角的思路（1）有两直线相交时，分清对顶角和邻补角，考虑对顶角、邻补角的性质．（2）有垂直时，考虑直角、互为余角的关系．（3）有两条直线被第三条直线所截时，注意同位角、内错角、同旁内角的应用．CD

在利用“垂线段最短”的性质来解决问题时，要注意区分它与“两点之间，线段最短”，它们的应用条件是不一样的．

例4如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．分析：从题图中分离出三个基本图形如下：找到每个图形中的截线与被截线，便能根据角的位置关系做出判断．

例4如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．

解：∠1与∠7为同位角，∠2与∠8为同位角，∠4与∠6为同位角；

∠3与∠4为内错角，∠1与∠5为内错角，∠2与∠6为内错角，∠4与∠8为内错角；

∠1与∠6为同旁内角，∠2与∠5为同旁内角，∠2与∠4为同旁内角，∠4与∠5为同旁内角．

分离法辨别复杂图形中的“三线八角”要在一个复杂的图形中确定“三线八角”，先在复杂的图形中分离出“三线”．一般是从相邻的两个顶点处的角入手，其中两个角的公共边或在同一直线上的边所在的直线是截线，另一边所在的直线是被截线，然后根据角的位置关系来进一步判断．

例5如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？解：a与c平行．理由如下：∵∠1与∠2是内错角，且∠1＝∠2，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．∵∠3与∠4是同旁内角，且∠3＋∠4＝180°，∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．∴a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行)．

平行线判定的五种方法（1）同一平面内，不相交的两条直线互相平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）同位角相等，两直线平行；（4）内错角相等，两直线平行；（5）同旁内角互补，两直线平行．

例6工人师傅把一个如图所示的零件进行加工，首先把材料弯成了一个45°的锐角，然后准备在A处进行第二次弯折加工，若要保证弯折后的部分与BC保持平行，则弯折处的角度应是___________．

解析：分两种情况：第一种情况就是被弯过来的部分与BC在AB的同一侧，且平行，如图①，此时弯折处的角度为135°(同旁内角互补，两直线平行)；第二种情况是被弯过来的部分与BC分别在AB的两侧，但也是平行的，如图②，此时弯折处的角度为45°(内错角相等，两直线平行)．所以答案为45°或135°．

用平行线的判定方法解决实际问题的两个步骤第1步：将实际问题转化为数学问题；第2步：借助于平行线的判定方法加以判定，进而解决问题．例7如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝_____．解析：∵∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，∴∠l＝∠MEN.∴AB∥CD．∴∠3＋∠BMN＝180°，∠EMB＋∠MEN＝180°．又MN平分∠EMB，∴∠BMN＝(180°－∠MEN)＝×(180°－40°)＝70°．∴∠3＝180°－∠BMN＝180°－70°＝110°．110°

解决此类问题的途径是由角的关系找出平行线，再由平行线的性质得到角相等或互补，从而结合角的有关性质进行角度计算．解：由题意可设∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x．∵FC∥AB，FC∥DE，∴∠2＋∠B＝180°，∠l＋∠D＝180°．∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x，∠l＝180°－∠D＝180°－3x．

例8如图，已知FC∥AB，FC∥DE，∠α

∠D

∠B＝2

3

4，分别求∠α，∠D，∠B的大小．又∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180°－3x)＋(180°－4x)＋2x＝180°．解得x＝36°．∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．

例8如图，已知FC∥AB，FC∥DE，∠α

∠D