赢战2023年高考数学模拟仿真卷 1卷(理科)(全国卷专用)(解析版)

【冲锋号-考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷01卷（理科）

（全国卷专用）

（解析版）

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2023•浙江温州•模拟预测）已知全集0=11,集合4=卜--2》-3>0},B={x\x=2k,k&Z},则

（04）c8=（）

A.{2}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】B

【分析】先求出集合A的补集，再求出（aA）cB即可.

【详解】因为A={x,-2x-3>0},所以0”={和2-2》一340}={止14x43},

因为8={x|x=2匕左eZ},所以支4m3={0,2},故选：B

2.已知复数2=8$6+1与116,现有如下说法：①目=1；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正

数.则正确说法的个数为（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】命题①按照复数模的计算法则结合同角三角函数的运算进行计算即可；命题②③按照复数实

部和虚部的定义，结合象限角三角函数值的正负进行判断即可.

【详解】依题意，|z|=>/cos26+sin26=l,故①正确；

复数z的实部为cos6,为正数，故②正确；

复数z的虚部为sin6,为负数，故③错误.故选：B.

3.(2022婀南南阳高三期中(理))若函数/(同=6飞山》+〃)在点4(0,〃0))处的切线方程为片3*+”,

则实数〃的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，即可求出“0)、r(o),从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：因为f(x)=e*(sinx+a),所以"0)=e°(sin0+a)=a,

又/'(x)=e*(sinx+a+cosx),所以J"⑼=e"(sin。+a+cos0)=l+a,

所以切线方程为y-a=(l+a)(x-0),即y=(l+a)x+a,

所以l+a=3,解得a=2；故选：B

4.新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而

成的饮料.下图为2021年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：

2021年消费者购买新式茶饮的频次

2021年消费者月均消费新式茶饮的金额

FrequencyofConsumersBuyingNewTeain2021

AverageMonthlyConsumptionofNewTeaby

Consumersin2021

50元以下14.5%

根据所给统计图，下列结论中不正确的是()

A.每周消费新式茶饮的消费者占比超过90%

B.每天消费新式茶饮的消费者占比超过20%

C.月均消费50—200元的消费者占比超过50%

D.月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%

【答案】D

【分析】由所给统计图逐一判断即可

【详解】每周消费新式茶饮的消费者占比1-9.1%>90%,A正确，

每天消费新式茶饮的消费者占比5.4%+16.4%>20%,B正确；

月均消费50—200元的消费者占比30.5%+25.6%>50%,C正确；

月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1-14.5%-30.5%<60%.D错误.故选：D

5.刘徽构造的几何模型"牟合方盖"中说："取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆困，

径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣."牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧

面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的"牟合方益”平均分为八份，取

它的八分之一（如图一）.记正方形0A8C的边长为r,设OP=/?,过尸点作平面PQRS平行于平面

OABC.OS=OO=r,由勾股定理有&=PQ=J勾—〃？,故此正方形PQRS面积是一一站.如果将图一

的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于力\（如

图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为〃，不难发现对于任何高度/?,此截面面积必为〃2,根

据祖唾原理计算牟合方盖体积（）

注：祖晒原理："寨势既同，则积不容异意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积

相等

【答案】C

【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积,根据祖晒原理可得图一中几何体体积,从而得结论.

2

【详解】Vm=15/z=|xrxr=lr\由祖胞原理图二中牟合方盖外部的体积等于V

所以图1中几何体体积为丫"-9=，，所以牟合方盖体积为W=$3故选：C.

6.（2。22.河北.模拟预测）若To，。，黑篝4,则，。+讣＜）

A.—B.—C.1D.1

222

【答案】C

【分析】将cos2a用上”里替换后，解方程解出a即可.

1+tarra

222

dm、cos2a3,./2\csina-cosal-tana

【详解】因为a£。，彳<----2~=o，可得3(l+tan“a)=8x-----------=8nx--------

V2Jl+tana8'7sin~a+cos“a1+tan'a

0,31，所以tana=@,所以a=f,

可得3(1+tan2a)2=8-8tan2a,解得tan'a=-,因为aw

732736

所以cos(a+7)=cos?=g.故选：C.

7.设。为一ABC所在平面内一点，BC=3CD>AD=AAB+pAC,则〃-4=()

【答案】D

【分析】由平面向量共线定理得30=48,再由平面向量的基本定理得到=从而求得

I4

A=4，〃=?,由此得到结果.

。J

【详解】因为BC=3C£＞，所以BD=4C£＞，

14

所以AO=AB+8£>=AB+4CO=A8+4AD-4AC，故AD=--AB+-AC，

145

又因为AZ)=/IAB+"AC,所以％=-鼻，jLi=—,则〃一4二,.故选：D.

8.(2022•河南•模拟预测(理))如图是函数/(x)的图象，则函数f(x)的解析式可以为().

A.er+ln|x|B.ex+e2xC.x2+-D.x+J

【答案】D

【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.

【详解】解:对于A：/(x)=e'+lnW定义域为{x|xwO},

当x＞0时/(x)=e'+lnx,则/(x)=e'+：＞0,即函数在(0,+少)上单调递增，故A错误;

对于B：/（x）=eT+e2*定义域为R,且e-fO，e2x＞0,所以〃司=。一，+«2、＞0,故B错误；

21\

2"2"+1

八JY尸“--耳=——=--------1----2---------------

21（11V3I

又23/+23犬+1=123*+2+：＞0,所以当*＞2不时户"）＞0，

当x＜o或0＜尢＜2^时r（x）＜。，即函数在（一吗0），（0,2一：）上单调递减，在+a＞）上单调递增，故C

错误；对于D：〃x）=x+/•定义域为｛X|XK0｝,

（1\（12\（（।1V3-

x-23X2+23X+231-23X+--23+--23

f，⑴=1二*=1_A__________1=—J?…」

J⑴X3V?A-3

所以当x＞2：或x＜0时/中）＞0,当0＜*＜2（时T（x）＜°，

即函数在（-8,0）,2rM上单调递增，在0,2与上单调递减，符合题意；故选：D

\7\7

9.（2022・江西•二模（理））若正整数m、”只有1为公约数，则称机、”互质.对于正整数〃，9（〃）是小

于或等于”的正整数中与”互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：

奴3）=2,.7）=6,奴9）=6,则下列说法正确的是（）

A.姒12）=7B.数列加（3"）｝是等差数列

9

C.log7^（7）=9+log76D.数列;温的前”项和为S"，则S“＜4

【答案】D

【分析】利用题中定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；求出夕（7）的值，结合对数的运算

性质可判断C选项：计算出9（2"）,利用错位相减法可求得S“，可判断D选项.

【详解】对于A选项，在不超过12的正整数中，与12互质的正整数有：1、5、7、11,故夕（12）=4,A

错；对于B选项,因为奴3）=2,奴9）=6,以27）=18,显然姒3）、*（9）、奴27）不成等差数列，B错:

对于C选项，7为质数，在不超过79的所有正整数中，能被7整除的正整数的个数为7。，所有与79互质

的正整数的个数为79-7*,所以，夕（7〃=79-78=78（7-1）=6x73,

因此，log?＜（7）=k＞g7（6x78）=8+10876,c错；

对于D选项，因为2为质数，在不超过2"的正整数中，所有偶数的个数为2”,，

所以，（p（2n）=2n-2"-'=2'-',所以，碓）=广，

口।c123n,112n-\n

rrio++,

则S"=m+要+齐++广…似，25n=7+F+¥TF

上述两个不等式作差可得;S„=1+：+（++白-*=―\--2=2-琮^,

乙乙乙乙

2

〃+2

所以，S,,=4-苗<4,D对.故选：D.

10.（2022・四川资阳•一模（理））已知函数〃x）=sin5+coss,其中（y>0.给出以下命题:

①若f（x）在1°，］上有且仅有1个极值点，则1<345：

②若〃x）在生）上没有零点，则。〈*或*［；

③若〃x）在区间信今）上单调递增，则0<。"或|<。43.

其中所有真命题的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】对于①，先整理得了（x）=^sin（0x+5）再结合正弦函数的性质得到+£，从而

得以判断正误；

7171.

—69+—>KTI

2435

对于②，先由正弦函数的性质得到，,从而分析得—V'即&=°或％=1,从而可

兀

7167+—<（Z：+l）7t

求得。的取值范围

兀兀、兀

—6U+->——+2配

对于③，先由正弦函数的单调区间得到，：42,从而分析得即&=o或2=i,

3兀兀/兀c?88

——。+—W—+2E

442

从而可求得。的取值范围.

【详解】f（x）=sin<wx+cos0x=&sin（"x+：）,

对于①，因为f（x）在（0,；）上有且仅有1个极值点，则f（x）在（0,：）上只有个最值,

因为0<x<3,所以乌〈口无+工<四/+色,

44444

令f=s+；,则卜苧+?则尸&sinW：O+*只有一个最值,

所以］:工与，得1<045,故①正确；

_.十/T\ll、,71广1l、t兀兀兀兀人兀GUI九兀兀

对.于（2）,因为—<.X<.TI,所以/G+1<①X+—<TICO+-,令f=8+一,则一0+—</<兀@+一,

4244

因为/1（X）在仁,兀）上没有零点，则丫=后皿在（畀+50+"上没有零点,

7171.

—CO+—>KJl

241333

所以,故2k—<co<k-\—,因为勿>0,所以&d—>ty>0»k>---,

兀&+一兀/乙+i\兀2444

乂由24一±14%+3二，得&5t^-3-<k<5~,又keZ,所以上=0或&=1,

24444

13337

当左=0时，--<6><-,所以0<。4一：当％=1时，-<<w<-；

24424

综上：0<04、3或3故②7正确；

对于③,因为<包'所以¥<y+'<tyx+¥〈任0+',^-t=cox+—,贝！|“0+色<，<也。+¥'

242444442444

因为〃x）在区间与引匕单调递增，则y=VJsin/在4+：3@+：）上单调递增，

因为y=&sinx在一^+2依:$+2版，ZeZ上单调递增,

所以,故4左一24。42氏+上,因为。>0,所以2&+L2刃>0,即发>-2,

3兀兀/兀.,233338

—co+-<—+2/01

442

□Q111111

又由4人一・工2女+：,得左故__;.<%4?，乂kwZ,所以&=0或4=1,

233888

3115

当％=0时，—<co<—所以0<GW—；当％=1时:—<a）<3；

23392

综上：0<&>4§或/4043,故③正确.故选：D.

11.（2022•辽宁•一模）国家体育场"鸟巢"的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同

的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢"相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴

一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于则椭圆的离心率为（）

【答案】C

【分析】设出外层椭圆方程，利用离心率表达出内层椭圆方程，设出直线方程，联立后由根的判别式得

到4=7」?：2与片=。“严,利用斜率乘积列出方程，求出4=2,从而求出离心率.

(1-彳)屋2a2a-3

2222

【详解】设外层椭圆方程为A方=1,则内层椭圆方程为/+方=彳(0<彳<1),

设过A点的切线方程为y=K(x+a)£<0,

4^-+p-=A(0</l<l)联立得：仅2+$甘卜2+2ayk^x+/《一=0,

2

由4=4以：-4(从+akf)("6_Aa2b2)=°得：好=,

设过点B的切线方程为y=k2x+b,

22

222222

与=+5=久0</1<1)联立得：(b+aki)x+2ak2bx+(l-A)ab=0,

2222

由A2=4aW-4(b+aki)(\-^ab=0得：抬=,

从而*=清记卡=『4'故椭圆的离心率为哼故还c

12.设。=*，^=21n^sin^+cos-^j,c=|ln|^,则。，b,c的大小关系正确的是(

)

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.h<a<c

【答案】D

Z>=lnfsin—+cos—Y,c=ln包下，所以只要比较

【力析】由一」°=ine5。=Ine002

I100lOOj1,50J

x=e"",y=(sin2一+cos[—]=1+sin，=1+sin0.02,z=]的大小即叽然后分别构造函数

I100100j50V50j

/(x)=eJt-(l+sinx)(x>0),g(x)=(l+x)L2-er,判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可

【详解】因为〃=in/=Ine°°2，〃=ln51

50

所以只要比较x=e002,y=[sin-^―+cos=14-sin—=1+sin0.02,z=f—Y=(1+0,02)12的大小即可,

(100100J50(50J

令/'(x)=e*-(1+sinx)(x>0),贝ijJ"(x)=e*-cosx>0,所以/(x)在(0,+°o)上递增,

所以f(x)>/(0),所以e*>l+sinx,所以e。02>1+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)，2-e*,则g'(x)=1.2(1+x)0-2-er,g"(x)=0.24(1+x)-08-e*

因为g"(x)在(0.+8)上为减函数，旦g"(0)=0.24-1<0,

所以当x>0时，g"M<0,所以g'(x)在(0.+8)上为减函数，

因为g'(0)=1.2-1>0,g'(0.2)=1.2x1.2°2-e0-2=1.212-e°-2,

要比较1土与e°2的大小，只要比较In1.212=1.2In1.2与Ine02=0.2的大小，

令h(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),则h'(x)=ln(l+x)+1-1=ln(l+x)>0,

所以〃(x)在上递增,所以〃(x)>/?(())=0,

所以当xe(0,+oo)时，(l+x)ln(l+x)>x,所以1.21nl.2>0.2,

所以1,21-2>e02,所以^(O.2)=1.2xl.202-e0-2=l.^-e02>0,

所以当X€(0,0.2)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上递增，

所以g(x)>g(0)=0,所以(1+x严〉e*,

所以(1+0.02)12>e°m,所以z>x,所以z>x>y,所以。>。>方，故选：D

【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造

函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题。

第n卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(1+X—X~j则。3=.

【答案】30

【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.

【详解.】因为(1+x-0”>=%+平++为/°，所以的是含丁项的系数，

若从10个(l+x-Y)式子中取出0个卜f),则需要从中取出3个x,7个1,则得到的项为

2

C,o(-%)°CC；『=120/；

若从10个(1+x-V)式子中取出1个(-Y),则需要从中取出1个x,8个1,则得到的项为

283

C；O(-X)C；JCC^1=-9OX；

若从10个（l+X-Y）式子中取出大于或等于2个卜x2）,则无法得到含丁的项；

综上：含丁的项为1209_90丁=30/，则含/项的系数为30,即。3=30.

故答案为：30.

14.（2022・福建•模拟预测）已知数列｛4｝满足奇数项成等差数列，公差为d,偶数项成等比数列，公比

为4,且数列｛4｝的前"项和为5“，4=1,%=2,S5=2a4+a5,a9=a3+a4.若4M向="2，则正整

数m-.

【答案】2

【分析】利用等差等比数列的通项公式求解即可.

【详解】由题意知，q=l,%=2,因为55=24+。5=2。24+4+24,

S5=4+%+%+%+%=%+生+4+4+&q+4+2d=3q+3d+a2+a2q,

所以得4-2q+d=0,①由为二阳+为得4+4d=q+d+2g,即3d=2q,（2）

联立①②解得d=2,g=3,所以％=之,

当初=2%时,由%仆+|=4+2得2X3*TX（21+1）=2X3*,解得&=1,此时加=2;

当加=2%-1时，由amam+l=勺+2得（2%-1）x2x3^'=2*+1,

此等式左边为偶数，右边为奇数，则方程无解.故答案为2

22

15.（2022•山东•一模）已知工分别为双曲线C:工-二=1的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点，

412

过B的直线与双曲线C的右支交于A,8,两点（其中点A在第一象限），设M,N分别为5，2BF\F]

的内心，则|阿-”目的取值范围是.

4G4疔

【答案】

33

【分析】根据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△4GK，48片心的内切圆与x轴切于双曲线的右顶

点E,设直线A8的倾斜角为。，可用6表示|郎-|凋，根据AB两点都在右支上得到。的范围，利用6

的范围可求得|陷-|烟的取值范围.

【详解】如图：

设月的内切圆与凹,40耳鸟分别切于匕£>,6,所以|4//|=|AD|Jg|=|Gf；|,|£>EI=|G片|,

所以|A£|-|A片|=|AH\+\HFl\-\AD\-\DF2\=\HF}\-\DF2\=\GFt\-\GF2\=2a,

又|G用+1GE|=2c,所以IG/=；\=a+c,\GF21=c-a,

乂|环|=a+c,|£/"=c-a,所以G与E5。)重合，所以M的横坐标为“，同理可得N的横坐标也为〃,

设直线AB的倾斜角为。.则/即时二工/,2E&N=*,

|ME\-\NE\=(c-a)tan~~~-(c-«)tan

.产8、.为e.e\0.0

sin(----)sin—cos—sinco2s——si2n—cq

(c—〃)•22222

,兀e、osi/cos^

cos(----)cos—…一sin工--cos户—(1)鬻

222)22)22

当。4时，1^1-INEhO,当时，由题知，a=2.c"»H

因为A,B两点在双曲线的右支上，,且。wg,所以tan8<-JJ或tan。〉石，

回一且-<且.且一!一#0,|ME|-|NE|=(4-2)•三4

6f-Jfn⑸

3tan<93tan。tan。tan。V°°'T

孚明.故答案沏卜哈功

综上所述，|ME|-|NE|e

【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△△片居，耳心的内切圆与工轴同时切

于双曲线的右顶点E,并将|M目-|限用直线AB的倾斜角。表示出来是解题关键.

16.在棱长为4的正方体ABCO-AgGA中，分别为RG，耳G的中点，G为正方体棱上一动点.下

列说法中所有正确的序号是

①G在A8上运动时，存在某个位置，使得MG与A。所成角为60;

②G在AB上运动时，MG与CG所成角的最大正弦值为中；

③G在A4上运动且AG=§GA时，过G,M,N三点的平面截正方体所得多边形的周长8石+2及；

④G在CJ上运动时（G不与C|重合），若点G”,N，G在同一球面上，则该球表面积最大值24万.

【答案】②④

【分析】通过证明平面ABC"可知AQLMG,得①错误；

PC

取6中点P,根据sin/PMG=——可知当MG最大时，cosNPMG最小，则sinNPMG最大，可确定当G

MG

与A或5重合时MG最大，由此计算知②正确：

作出平面GMN截正方体所得的截面图形，依次计算各边长可知③错误；

根据四点共球面可知该球即为三棱锥G-GMN的外接球，由R=卜+（；C°j可知当G与C重合时，

球的半径最大，由此可求得④正确.

【详解】对于①，连接.

Q45_L平面AORA，44匚平面4。。4，:.48，4。：四边形为正方形，，A。J_AR；

乂A〃cAB=A,AA，A8u平面ABCQ,r.A。，平面ABCQ,

又MGu平面4BGA，・•.AQ_LMG,即MG与A4所成角恒为90,①错误；

对于②，取C£＞中点P,连接MP.PG,

时,「分别为&。,。。中点，，/2/（6，又8口平面ABC。，.1MPL平面A8C。，

PG

二.MG与CG所成角即为NPMG,sinZPMG=——,当sinNPMG最大时，cosNPMG最小，

MG

MP4

又cosZ.PMG==，.二当MG最大时，cos4PMG最小，

MGMG

；当6与A或B而合时，MG取得最大值，7+2?+"=6,

,sinZPMG的最小值为包包=2,②正确；

63

对于③，延长交于点S,连接GS交。A于R：

延长MMA4交于点T,连接GT交丁。；

则过G,",N:.点的平面截止方体所得多边形即为五边形GQNMR；

SD、D、M1SD.1D.R1

取的中点K,连接NK,D,M〃NK,豪:笈=>.忒=q,即*="

B.Q1

同理可得：需=£，.・・。s=用。=1；

；.GQ=GR=42+22=2后,MR=NQ=df+22=石，MN7*+12=2&，

••・五边形GQVMR的周长为6石+2后，③错误；

对于④，若点G,M,N，G在同一球面上，则该球即为三棱锥G-GMV的外接球，

,GMN的外接圆半径r=gMN=&,.•.三棱锥G-GMN外接球半径=，

又GG的最大值为CG=4,，«皿=岳4=庭，

・••该球表面积最大值为4万*6=24万，④正确.故答案为：@(4).

【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，涉及到线线角的求解、正方体截面问题、

三棱锥的外接球表面积的求解问题；求解此类问题的基本思路是根据所求量确定最值点，再结合线线角、

球的表面积的求解方法确定最值.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)记锐角ABC的内角48,C的对边分别为",b,c,已知—M~g)=-(A^Q.(1)求证：8=C；

cosBcosC

(2)若asinC=l,求*的最大值.

【答案】⑴见解析；(2)孑25.

16

【分析】(1)运用两角和与差正弦进行化简即可；

(2)根据(1)中结论运用正弦定理得asinC=2RsinA±=6sinA=l,然后等量代换出』+!，再运

2Ra~Z?

用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.

【详解】(1)证明：由题知则理，?，

cosBcosC

所以$山(/4-3)8$。=$皿/4一。)858,

所以sinAcosBcosC-cosAsin8cosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因为A为锐角,即cosAwO,

所以sinBcosC=sinCeosB,

所以tanB=tanC,所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,所以sin8=sinC,

因为asinC=l,所以L=sinC,

a

因为由正弦定理得：。=2RsinA,sin8=3，

所以asinC=2Hsin=Z?sinA=1,所以』=sinA

27?b

因为A=乃一3-C=万一2c,所以一=sinA=sin2C,

b

所以二+2

2=sin?C+sii?2C=>8$2c+(1_cos22Q=-COS2C--cos2C+-

ab222

rr7T

因为.ABC是锐角三角形，且6=C,所以,

42

所以—<2c<7t,所以—1<cos2c<0，

2

当cos2c=-。时，4取最大值为号，

4a~h16

所以1最1大值为：2言5.

a2h216

18.（12分）（2022•广东•模拟预测）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，

某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活

动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了

22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人

次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了

以下散点图.

y（人次）

i-4oo

350

V-300

i-250

y--ioo

i--i50

i-ioo

\—\50

TiOx（天）

⑴请根据散点图判断，以下两个函数模型丫=〃+及与）；=。4,（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作

为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

⑵根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的

人次.

17

参考数据：其中匕=电如"=弓2匕，

/i=l

力7士匕

84

V100

i=I

1.8458.556.9

⑶已知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中

特价房的数量为求4的分布列与数学期望.

【答案】（l）y=cd⑵R6.9X10。25，，到访人次为690（3）分布列见解析，E（J=1.6

【分析】（1）观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型，（2）由y=c•，取对数可得

lgy=lgc+lgJx,结合线性回归方程求法及参考数据可求回归方程，结合回归方程进行预测；（3）由条件

确定4的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

（1）根据散点图可得了随X的增大，增长速度越来越快，故判断y=cw*适合作为人次y关于活动推出

天数x的回归方程类型.

（2）（2）由（1）知，y=cd,两边同时取对数得lgy=lgc+lgd-x,令lgy=v，则v=lg〃-x+lgc

7

由题意知匕=lgy；,v=1.84,Z苦匕=58.55,

1=1

17

又元=一（1+2+3+4+5+6+7）=4,=I2+22+32+42+52+62+72=140,

7i=i

Vxv-7xv

(;58.55-7x4x1.84

所以1g4二号--------比0.25

140-7x42

i=i

所以lgc=D-lgH=1.84-0.25x4=0.84,1gy=0.84+0.25x,

则y关于x的回归方程为y=100-84+°-25v=6.9xIO025',

当x=8时，3=6.9x1()2=690,故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690.

(3)由题意可知J的取值可能为0,1,2,3,4.

p4=o)=冬=_L,pq=i)=2d^l=_§_,PC=2)=^^1=3,p(^=3)=^^i=—

MolJoy。'JoJJ

c41

p(^=4)=-^=—.

1210

所以4的分布列为:

01234

18341

P

14217352W

J^l^E(a=Ox—+lx—+2x-+3xA+4x—=1.6

1421735210

19.（12分）（2022•河南开封•模拟预测（理））如图，。-0分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆0的

直径，以。8为直径在底面内作圆E,C为圆O的直径A8所对弧的中点，连接8c交圆E于点。，AA,,

BBX,CC,为圆台的母线，AB=24瓦=8.

（1）证明；G。//平面084。；⑵若二面角£-BC-。为?1T，求。Q与平面ACQ所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；（2）通.

【分析】（1）连接。区。万，根据圆的性质知回BOC、ISBED都为等腰直角•:角形，进而有。EQG为平

行四边形，则EQJ/DG，根据线面平行的判定证明结论.

(2)构建空间直角坐标系，根据已知求得00=2#,再求出OQ、面ACQ的法向量，利用空间向量

夹角的坐标表示求线面角的正弦值.

(1)连接。C为圆0的直径AB所对弧的中点，

所以回BOC为等腰直角三角形，即NOBD=45°,

乂。在圆E上，故为等腰直角三角形，

所以OE〃OC且OE=^OC,又CG是母线且«G=；oc，则06//0C,

故DE"0£且DE=0£,则DEO£为平行四边形，

所以EOJ/OC」而E«u面0叫。，。6<2面0%。，故G。//平面0阴。.

(2)由题设及(1)知：。。、OB、0C两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

过G作C///OQ,则尸为0C的中点，再过尸作尸G〃O£),连接GG,

由圆。，即GF，圆0，BCu圆0,则GFLBC,乂0DJ.3C，则尸G_LBC,

故二面角G-8C-。的平面角为NFGG=g,而FG=1OZ)="O8=0,

324

则A(0,Y,0),0(2,2,0),6(2,0,向，Q(0,0,倔,

所以A£>=(2,6,0),C]£>=(0,2,-#),O、D=Q2-显),

/n-AD=2x+6y=0厂「r-

若加=（x,y,z）为面AC1。的,个法向量，则〈厂，令y=",则加=（一3而倔2）,

m.C[D=2y-娓z=0

Icos<m,OtD>l=犍_=通，故。。与平面A