湘教版高中数学必修二单元测试卷全册

湘教版高中数学必修二单元测试卷全册

第1章综合测试

总分：150分时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若况=(-1,2),彷=(1,-1),则乃等于()

A.(—2,3)B.(0,1)

C.(-l.2)D.(2,-3)

2.已知|a|=|b|=2,a，b=2,则|a—Z>|=()

A.1B.小

C.2D.小或2

3.已知a,b均为单位向量，(2a+办(a—25)=一斗，则。与8的夹角为()

A.30°B.45°

C.135°D.150°

4.向量a=(l,0)m=(2,l),c=a,l),若3a-b与c共线，则x=()

A.lB.-3C.-2D.-1

匕c

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60。,。=石，贝"一^^「:等于()

sinB+sinC

1r-73

A-B.J3C.—D.2

22

6.已知A(l,2),8(3,4),C(-2,2),。(一3,5),则向量露在向量功上的投影向量的坐标为()

26

-

A55

z26

/-

cl---D

\5

5J

7.已知△A8c外接圆的半径为1,圆心为。.若\=\AB且2况+M+祀=0,贝I」。•

/

-\|

A木

,B.

3D.

C-

•2

8.有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20。,现高不变,将倾斜角改为10。,则斜坡长为（）

A

A.1kmB.2sin10°kmC.2cos10°kmD.cos20°km

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于任意的平面向量a也c，下列说法正确的是（）

A.若a//b且b//c,则a//c

B.（a+b'）c=ac+bc

C.若ab=ac,J^a邦，则b-c

D.a+b+c=a+c+b

10.下列说法中正确的有（）

A.在4ABC中，a',bc=sinA：sin8：sinC

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,则a=6

C.在△ABC中，若sinA>sinB,贝UA>B；若A>8,则sinA>sinB都成立

..ab+c

D.在△ABC中，•A„।—:~~7、

sinAsinB+sinC

11.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且匕=6,sinA=2sinC,则以下四个

结论正确的有（）

A.△ABC不可能是直角三角形

B.△A8C有可能是等边三角形

C.当A=B时，△ABC的周长为15

D.当8=全时，△ABC的面积为6小

12.已知AABC中，角A,B,C所对的边分别是“，6,c,且a=6,4sinB=5sinC,以下四个说法

中正确的有（）

A.满足条件的△ABC不可能是直角三角形

B.当A=2C时,△ABC的周长为15

C.当A=2C时，若O为44BC的内心，则△AOB的面积为"

D.AABC的面积的最大值为40

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.若⑷=1,\b\=2,4与b的夹角为60。，且则机的值为.

14.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin8=石从b+c=5,bc=6,

则a=.

15.己知次=(-1,1),Oh=(0,-1),Ot=(1,m),若A,B,C三点共线，则实数机的值

为,cAch的值为.

16.已知a,%满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=44J|a-6|=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）如图所示，梯形ABCD中48〃CR且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,

若AB=a,AD=b,试用a,b表示DC,BC,MN.

18.（本小题满分12分）如图，已知向量a与b,其中⑷=3,|*|=4,且a与〜的夹角。=150。.

⑴求a协;

⑵求向量〜在。方向上的投影向量，并画图解释.

b

19.(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为mb,c.若且(〃/+

3

c)(a+b-c)=~bc.

⑴求cosC的值；

⑵若。=5,求4ABC的面积.

20.(本小题满分12分)如图,A,B两个小岛相距21海里,8岛在A岛的正南方，现甲船从A岛出发，以

9海里/时的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60。方向行驶，行驶多少

时间后，两船相距最近?求出两船的最近距离.

南

21.(本小题满分12分)平面内有向量次=(1,7),彷=(5,1),0>=(2,1),点Q为直线0P

上的一个动点.

(1)当齿oh取最小值时，求诙的坐标；

(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosZAQB的值.

71

22.(本小题满分12分)已知△ABC中三个内角A,8,C所对的边为。力c且8=]力=2.

2\[6

⑴若3,，求sinA的值；

(2)当B•五取得最大值时，求A的值.

第1章综合测试

答案解析

、

1.【答案】D

【解析】OA=(-1,2),仍=(1,-I),所以牯=初一次=(1+1,—1-2)=(2,-3).

故选D.

2.【答案】C

【解析】I。一臼==|a—臼2(a—b)2—^(r—lab+b1==-\/22—2x2+22=木=2.故选

C.

3.【答案】A

【解析】因为(2a+5)•(“-2/>)=2。2—4a4+“•》一252=—3。彷=—蒋^,所以。协=坐.设a

与b的夹角为仇则8$。=解=坐.又因为0映比180。，所以9=30。.故选A.

4.【答案】D

［解析晌量。=(1,0)力=(2,1),c=(x,1),则3a-b=(l1),又3a・b与c共线，则1x1・(-1).x=0,解得x=-l.

故选D.

5.【答案】D

,bcay/s匕+c

【解析】由正弦定理得一^二—^=一^二-^~=2,所以Z?=2sin8,c=2sinC,则一^~\二2.故选

sinBsinCsinA里smB+smC

2

D.

6.【答案】B

【解析】霜=(2,2),ci)=(-1,3),\cb|=<10,辐cb=-2+6=4,则向量或在

向量夕)上的投影向量为遗少•—=(一之.故选B.

\cb\\cb\'nv

7.【答案】D

【解析】因为2O\+显+证=0,所以(温+Ah)+(温+祀)=0,即成+ob=

0,所以。为边BC的中点，故△ABC为直角三角形，A为直角.又因为|况|=|勘|,所以

△OAB为等边三角形，|戏|=1,|波|=2,|祀尸小，CX与油的夹角为30。，则/Ch

=小*2*<：0$30°=3.故选口.

8.【答案】C

【解析】如图所示,/ABC=2(T,AB=1km,/ADC=10。,所以NABD=16(T/AABD中,由正弦

_ADAB一,sinl60°sin20°,,〃

定理-二.s。，所以AD=AB—=2coslOO（km）.故选C.

sinl60smlOsinlOsinlO

A

_^TT5r

DBC

—、

9.【答案】BD

【解析】a〃b且b〃c,当b为零向量时，则a与c不一定平行，即A错误;由向量乘法的分配律

可得（a+b>c=0c+"c,即B正确;因为a力=℃,则a-（b-c）=O,又a#）,则b=c或a_L（，-c）,即C错误；

向量加法满足交换律，即:a+"c=a+c+6,即D正确.故选BD.

10.【答案】ACD

【解析】设△A8C的外接圆半径为R,由正弦定理得'=岛=高=2R.对于A选

Sill/ISillDSill

项，a：b：c=2RsinA：2Rsin3：2RsinC=sinA：sin5：sinC,故A正确；对于D选项，

,b-\~c2RsinB+2RsinCa.._,丁、人..

由正弦定理琳.「—---：一心•「—=2/?=^-7,故D正确；对于B选项，由

sinB+sinCsin3十sinCsinA

二倍角公式得2sinA•

廿+廿一/层+小一扶

cosA=2sinBcosB,贝lj2。---------=2h----------，即/（/+C2-/）=/^^+廿一扶），

整理得〃4一〃—〃2c2+b2c2=0,即（〃2_。2）（/+匕2-^2）=0,则宗一乂二。或层十加=/,所以

7T.

a=b或C=］，故B错误;对于C选项，在△A8C中，由正弦定理得sinA>sinBd>bT>B（大

边对大角），故C正确.选ACD.

11.【答案】CD

【解析】因为sinA=2sinC,所以。=2c,又6=6,若A为直角，由36+/=4/，可得c

=2小，满足条件的可能是直角三角形，故A错误；由于a=2c,故△ABC不可能

是等边三角形，故B错误；当A=8时，a=b=2c=6,可得c=3,可得△A8C的周长为〃

JT

+b+c=6+6+3=15,故C正确；当时，b=6,a=2c,由余弦定理可得36=层+/

212

~ac=4c+c—2c9解得c=2小，q=4小,可得的面积为/acsinB=fx2小

x4巾x坐=6小，故D正确.选CD.

12.【答案】BCD

【解析】。=6,4sinB=5sinC,即4b析c,设6=53c=4*f>0）,由36+16产=25及,可得z=2（负

值舍去），满足条件的△4BC可能是直角三角形，故A错误；a=6,4sinB=5sinC,A=2C,

可得：B=K-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=—，由>=一-一，sinC/0,可得4cos2C-l=

4sinBsinC

—,解得：cosC=—f所以sinC二1^,可得sinA=2sinCeos。=2自，可得c=4,b=5,则

4448

〃+b+c=15,故B正确；S-BJAainA二交互.设△ABC的内切圆半径为七则R二"”心

24a+b+c

=—,SAABO上cR=不，故C正确；以3C的中点为坐标原点，3C所在直线为X轴，可得

22

8(-3,0),C(3,0),4sinB=5sinC,可得4b=5c,设A(加,〃)(*0),可得

4y1(ni-3)2+n2=5yj(tn+3)2+n2,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9)，即有

w2+n24--/n+9=0,化为(机+F)+〃2=［与］(〃翔)，则A的轨迹为以(一^,。］为圆心，,为

半径的除去x轴上两点的圆，可得△ABC的面积的最大值为gx6x竺二40,故D正确.

23

13.【答案】v

O

【解析】由题意得，(3。+56>(〃以一》)=3〃?。2+(5〃7—3)。协一5庐=0,3m+(5/7?—3)x1x2xcos60°

—5x

23

4=0,即8m=23,解得力=下".

O

14.【答案】V7

【解析】因为2〃sinB二石6,所以2sinAsin3=VJsinB,所以sinA=^.因为△AJ3C为锐角

2

三角形，所以cosA=L因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或6=3,c=2.所以。2=从+。2-268。$

2

A=22+32-2x6xl=7,所以。=77(负值舍).

2

15.【答案】一310

【解析】因为况=(-1,1),Oh=(0,-1),Ot=(1,m),所以屈=仍-O\=(1,

-2),Bt=虎-Oh=(1,，〃+1).因为A,B,C三点共线，所以屈//Bt,所以lx

(m+1)=(—2)x1,所以,〃=一3,所以比=(1,-3).所以目=OA—Ot=(—2,4),

Cb=昉-Ot=(-1,2).所以以Ch=(-2)x(-l)+4x2=10.

16.【答案】Vio

3

【解析】因为\a+b\=4,所以\a+b\1=\a\2-^\b\2+2a-b=16.因为⑷=3M=2,所以ab=5，所以

3___

|a-Z>|2=|a|2+|Z>|2-2a-Z>=9+4-2x-=10,可得|a』|=V10.

四、

17.【答案】解：如图所示，连接CN,则四边形ANCO是平行四边形.

..1.I....1.I

则衣=闻7=—他=一。，BC=NC-NB=AD——AB=b——a.

2222

18.【答案】解：(1)aga||Ncos6»=3x4xcos150°=12x——6A/3.

(2)如图，作况=a,Oh=b,过点B作直线。4的垂线，垂足为以，则O8|=|b|cos(7i

-0)=4x坐=2#，

B

0aA

向量力的单位向量为1,所以向量5在a方向上的投影向量是一2小=一华.

3311

19.【答案】解：(1)由(〃-〃+c)(a+〃-c)=”得层-S-C)2=]/?G即〃2=82+/_3历，

b2+c2-a211

由余弦定理，得cosA=-...=—,

2bc14

所以sin

14

又因为《，

所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcos3+sinAsinB~.

7

(2)由(1)得sinC=±^3.

7

asinC

在4ABC中，由正弦定理，得c=——=8,

sinA

”，11TTf-

所以S=-ncsinB="x5x8xsin-=10V3.

223

20.【答案】解：设行驶Ch后,甲船行驶了力海里到达C处，乙船行驶了6f海里到达。处.

7

①当9y21,即/时,C在线段AB上，

此时BC=21-9r,BD=6t,ZCBD=180°-60°=120°,

由余弦定理知C^BC^BD^-lBCBDcos120°=(21-9t)2+(6t)2-2x(21-9t)-6l-

=63t2-252t+441=

63(t-2>+189.

所以当Z=2时,8取得最小值3庖.

77「

②当q时,C与B重合，则CD=6x-=14>3V21.

7

③当时,BC=9f-21,

贝ijCD2=(9/-21)2+(6/)2-2-(9Z-21)-6/-COS60°=63?-252/+44l=63(Z-2)2+189>189.

综上可知，当t=2时,C£>取最小值3庖.

答:行驶2h后,甲、乙两船相距最近为3亚海里.

1.【答案】解：(1)设诙=(x,y).因为点。在直线O尸上，所以向量诙与

办共线.

又价=(2,1),所以x=2y,所以的=(2y,y).

又◎=温-0^=(1-2)，，7—历，Qh=初一殖=(5—2丫，1-y),

所以况Qh=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(l-y)=5/-20y+I2=5(>—2)2-8.

故当y=2时，QK-⑪有最小值一8,此时的=(4,2).

⑵由(1)知d=(-3,5),砂=(1,-1),QX•砂=-8,\QX|=^34,|砂|=啦，

所以cos/AQB=QA®4V17

17

I酗I翦

bc

22.【答案】解:⑴在△ABC中,由正弦定理得力,,

csinBy/2

则sinC=b二2'

Tl

因为〃>G所以C=—,

4

V3V21V2V6+V2

贝m!IJsinA=sin（兀-B-C）=sin（8+C）=sin8cosC+cosBsinC=—x—+-x—=--—.

—*——bsin"28A/31

（2）CA•CB=bacosC=2acosC=2x-7-^-cosC=—sinAcos（§兀-A）二sinA（-5cosA+

y/3.4V3,TC

-sinA）=2--sin（2A+-）,

IT3TI7IT—---

当且仅当2A+--,即A=石时，CACB取到最大值.

第2章综合测试

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.若sin则cos2a等于（）

12

A青BC-D—日

2.sin40°sin500—cos40°cos50。等于（）

A.0B.1C.-1D.-cos10°

3•已知角。终边上一点M的坐标为（1,小），则sin2a等于（）

A.-gB.^C.一坐D.坐

4.已知cosa=g,cos0—a）=号，且0<£<6€<兀，则cos£等于（）

至近2^35^/3

9o.39u.9

5.已知学<。<2兀，化简3coic的结果为（）

.ac.Q八a—a

A.sin2B.-sinC.cos5D.-cos/

6.若函数火x）=（l+小tanx）cosx,OWx<^,则/U）的最大值为（）

A.1B.2C・5+1D・小+2

3-

7.若tana=a，贝Jcos2a+2sin2a等于（）

48n16

B25C.1D-25

8,将函数/U）=sin2x+小cos2x的图象向左平移空个单位长度，得到函数g（x）的图象，则

g（©的单调递减区间是（）

A.[E+w，E+不J（Z£Z）B.[E—a，

C.2E+j,2E+乎（fcGZ）D.[2fot—$2E+：（攵£Z）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

9.若cos29+cos9=0,则sin26+sin夕等于（）

A.0B.A/3C.一SD.^2

10.已知cosa=_,,则tan停一a）等于（）

A.-yB.-7C.1

D.7

11.下列选项中，值为:的是（

n.兀.5兀

A.cos72°cos36°B.sinY2sin'p

C-J-+上12°

c-sin50。十cos500D.7—ucosT5°

12.已知函数/U）=sinRCOsx+sin入，则下列说法正确的是（）

A.7U）的最大值为2

B.«r）的最小正周期为兀

C.於）关于尸一1对称

D.y（x）在（o,习上单调递增

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知©0$（45。+幻=蒋，贝I]cos（135。-a）=.

14.若3sinx一小cosx=2小sin（x+0）,（pG（-n,n），则夕=.

15.设函数X-v）=2cos2x+V3sin2x+a,已知当x©0,当时，/）的最小值为一2,贝Ua=

则—的值为

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知函数,/（x）=q5sin3x—acos3x+a,且/（瓦）=3.

⑴求a的值；

（2）求人力的最小正周期及单调递增区间.

八-__sinx-cosxsin2x

18.（12分）1已t知函数_/（x）=-------------------.

（1）求.危0的定义域及最小正周期；

⑵求xx）的单调递减区间.

19.（12分）已知4x）=Asin（ox+夕）（A>0,80,|渥）的图象过点'言，（）），且图象上与点P

最近的一个最低点是《一聿，-2）.

⑴求人x）的解析：式；

（2）若/（a+制=右且a为第三象限的角，求sina+cosa的值.

20.（12分）求证：sin3«sin3a+cos3acos3a=cos32a

21.（12分）已知函数«r）=2小sinxcosx+2cos2x-l（x^R）.

（1）求函数兀v）的最小正周期及在区间［o,T上的最大值和最小值;

⑵若危0）=,,,求cos2刈的值.

22.（12分）已知函数兀v）="in（5+9）（o＞0,一身用的图象关于直线尸鼻对称，且图象

上相邻两个最高点的距离为兀

（1）求8和g的值；

（2）若/（3=乎6＜。＜专），求cos（a+芝）的值.

参考答案

一、单项选择题

1.【答案】B

【解析】：sina=；,，cos2a=1-2sin2a=1—2x(g，=/故选B.

2.【答案】A

[解析]sin400sin50°-cos40°cos50°=-cos(40°+50°)=0.故选A.

3.【答案】D

【解析】由角a终边上一点M的坐标为(1,小),得sina=2»cos故s^n2a=2sina•

s

cosa=29故选D.

4.【答案】D

,A

【解析】：coscos(^—a)=j旦0＜丑＜。＜兀,.•・一兀〈4—a＜0,・'・

sin(^?—a)=­A/1—3=-3»/cos^=cos[(/)—a)+a]=cosQ?-a)cos«—sin(^—a)sina=g

故选D.

5.【答案】D

6.【答案】B

【解析】因为段）=（1+小黑5）cosx=cosx+小sinx=2sin（x+2）,0夕号所以当x=即寸，

;(x)取得最大值2.故选B.

7.【答案】A

,„-,3i?-cos2a+2sin2a1+4tana64M、小，

【rz解+析r】tana^,则rhcos2a+2sin2a=8s2a+sin2a=]+tan2q=行.故选

8.【答案】B

【解析】因为危尸sin2x+小cos2x=2sin(2x+1),将其图象向左平移鼻个单位长度，得到

兀、兀7E冗717r

g(x)=2sin［2(x+］J+w=-2sin2x,由一/+2EW2烂］+2E(kWZ),得一疝+也勺匕1+

7TTT

E/WZ),所以g(x)的单调递减区间是［E—牙E+^(kGZ),故选B.

二、多项选择题

9.【答案】ABC

【解析】由cos28+cos6=0得2cos2@—1+cos6=0,所以cos9=­1或］.当cos(9=-1时，

有sin9=0；当8$。=当时，有sin。=±^.于是sin2J+sin9=sin6(2cos。+1)=0或小或

一小.故选ABC.

10.【答案】CD

3

2-时

【解析】因为cosct=—7，所以sina=±\j1-cosa=±|,所以tan当tan-4

13苗

1-tana--时I—tana

tan7stla-4=7.故选CD.

1+tana1+tana

11.【答案】AB

…一c2sin36°cos36°cos7202sin72°cos72°sin14401

【解析】对于Acos36cos72=痂/=4sin36。=高函=不

c.兀n.it

2sincossin

兀.5兀.71n_12i2_6_l

对于B,sin五smy^=siny2cos==

n=2~2^A-

“50。+乎sin50。疝80。sin80。

_cos50°+V3sin50°

对于

c,原式=sin50°cos50°111%

^x2sin50°cos50°^sin100°4sin80°

对于D,东0$215。=—；(2cos215。-1)=-geos30。=-g故选AB.

12.【答案】BCD

【解析】V/(x)=^sin2x+~~~^(sjn2x—cos2x)+g=芈sin(2x—^+^..••危)max=^

+1=^2"1,最小正周期7=券=兀当x=一1时，sin(2x—：)=—1,・・.x=一鼻为对称轴.当

闻0,彳)时,2x—狂(谭习，.・・危)在(0,上单调递增,综上有BCD正确,A不正确.故

选BCD.

三、填空题

13.【答案】一卷

【解析】cos(135°-a)=cos[180°-(45°+cc)]=-cos(45°+a)=~.

14.【答案】

【解析】因为3sinR—gcosx=25（坐sin

X1]COSX

又°£（一兀，71）,所以夕=一,

15.【答案】-2

,cI兀71「兀77f

【解析】/(冗)=1+cos2x+小sin2x+a=2sin+a+l-・h£0>y,.2+胪仁，y.

6

.•.sin(2x+骷[V，1,・\/(X)min=2x(-1)+。+1=4..二。=-2,

16.【答案】一喑

【解析】兀住71住+

Vsinf^+«jsinlsin+a)cos=y即

A~a=6,、4=6,cos2a=

3-

又与兀2y[2.sin4a

1£，2a£(兀,2兀),；・sin2a=--cos22ct=

3'**l+cos2a

1

X

2sin2sccs2〃34^2

,1+cos2a15,

1+2

四、解答题

2n

17.【解析】解:~9.

所以小sin(3x引—acos(3x符)+a=3,

33

-4-3

2+■22za=3,解得。=1.

(2)由(1)可得/(x)=3sin3x—cos3x+1

=2sin(3x一季)+I,

则危）的最小正周期为r=y.

71兀7T

令2也一声31一济2E+爹，keZ,

解得+争kGZ,

18.【解析】解：(1)由sin#O得/E伏WZ),

故7U)的定义域为“GR|/E,k&Z}.

、，sinx—cosxsinlx

因为大x尸----------------

=2cosx(sinx—cosx)

=sin2x-cos2x—1

所以於)的最小正周期7=空=兀

(2)函数产sinx的单调递减区间为2也+壬2E+半

(jtez).

由2攵兀+^321—翁2也+冷，洋kit(kGZ),

3元77r

得也+至3烂%兀+至(左£2),

所以大X)的单调递减区间为[E+工，E+,](&eZ).

19•【解析】解：(1)根据题意可知，A=2,土盍一(

解得

.,.T=—CD=n,3=2.

又/(,)=0,・・・sin(盍x2+8)=0,而

・；/W=2sin(2x-5)

(2)由/(。+盍)=/可得，2sin2a=1,即sin2Q=需

Ya为第三象限的角，

Asina+cosa=—yl1+sin2a=

20•【解析】证明：左边=sin2(xsinasin3a+cos2acosacos3。

1—cos2a,1+cos2a

=------2-----sinasin3a+------------cosacos3a

=T(sinasin3a+cosacos3a)+；cos2a(—sinasin3a+cosacos3a)

=/cos(Q—3a)+]cos2ctcos(3a+a)

=；cos2a+；cos2acos4a

=^cos2a(l+cos4a)

=；cos2a-2cos22a=cos32a=/&ii.

21.【解析】解：(1次t)=巾sin2x+cos2x=2sin(2_r+5),

所以T=TIJ

又xW0,：,所以2x+*I，y,

由函数图象知於)6[—1,2],即最大值为2,最小值为一1.

(2)由题意sin(2xo+W，

而兀71u-,无尸27r7n

4-2，所CCl以垢+不^-'y

3-

4V3

21•【解析】解：（1）因为式x）的图象上相邻两个最高点的距离为兀,

所以危）的最小正周期7=无，从而。=率=2.

又因为於）的图象关于直线x=翔称,

jrTT

所以2q+s=E+2，kGZ,

由一芸9写得％=0,

兀2兀冗

所rr以（p=]—在=-%.

（2）由⑴得/像=小sin（2.g*）=,，

所以sin（a-^）=；.

»7C2兀/口兀兀

由4<。<亍得0<a—^<2,

所以cos（a*）=31_sin2（a_（川1―护牛

=sina=sin["+*sin兀7t1,返>

因此X+X

66=4242

V3+V15

=8

第3章综合测试

（时间：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=（巾2—〃?-6）+（,"+2"1—8）i（i为虚数单位），若z<6,则实数《?=（）

A.2B.2或一4C.4D.-2或4

2.设（l+i）x=l+yi,其中x,y是实数，则x+y的值为（）

A.1B.y[2C.小D.2

3.已知i为虚数单位，若复数（l+ai）（2+i）是纯虚数，则实数。等于（）

A.一：B，2C.-2D.2

4.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是l+2i,-2+i,0,那

么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）

A.3+iB.3-IC.l-3iD.-l+3i

5.设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为（x,y）,则（）

A.（x+l）2+/=lB.（x-l）2+/=l

C.1+&-1）2=1D.『+（）'+1）2=1

6.已知复数Z满足泊2。2。=1+[2。19（其中1为虚数单位），则复数z的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

7.已知复数z=-^+坐L贝！1z+|z|=（）

A.亭B.—"iC.1+fiD.|-^i

8.欧拉公式ett=cosx+isinx（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了

三角函数和指数函数的关系.当时，泗+1=0.根据欧拉公式可知，e,i对应的点在复平

面内位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知ZI与Z2是共扼虚数，以下四个命题一定正确的是（）

A.Z?<|Z2pB.Z]Z2=|Z]Z2|C.Z]+Z20RD.^GR

10.已知i为虚数单位，复数2=詈,则下列结论正确的是()

A.z的共规复数为:冶I74B.z8的虚部为最

C.怙|=隼D.Z在复平面内对应的点在第一象限

z+1

11.设复数Z满足­=i,则下列说法错误的是()

A.z为纯虚数B.z的虚部为一

C.在复平面内，z对应的点位于第二象限D.|才=乎

12.已知集合n={〃力zn=i",nEN},其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是

()

1—i1+i

A.(1—i)(l+i)B.yTprC.D.(1—i)92

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z=(^2-2)+(/n-l)i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为.

14.若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=.

15.在平行四边形0ABe中，各顶点对应的复数分别为zo=0,ZA=2+3i,zB^-2a

+3i,

zc=-b+ai,则实数a—b的值为.

16.复数zi=l—2i,|Z2|=3,则|Z2—Z]]的最大值是,最小值是・

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)已知z,3为复数，(l+3i)z为实数，。=养：且|。1=5啦，

求CD.

18.(本小题满分12分)己知复数z满足|3+4i|+z=l+3i.

⑴求z；

(1+i)2(3+4i)

(2)求,的值.

z

19.体小题满分12分)已知复数z=(l+i)2+含，其中i为虚数单位.

(1)求复数Z及忆I；

(2)若z2+〃z+b=2+3i,求实数4,〃的值.

20.(本小题满分12分).已知复数z满足|z尸也，zz的虚部是2.

⑴求复数z；

(2)设z,z2,Z—z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求AABC的面积.

21.(本小题满分12分)已知复数zi=a+i,Z2=l—i,aGR.

(1)当。=1时，求z「z2的值：

(2)若ZLZ2是纯虚数,求a的值;

(3)若乡在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围.

Z2

22.(本小题满分12分)已知复数z满足团=啦,z2的虚部为2,z在复平面内对应的点

位于第一象限.

⑴求z；

(2)若z,z2,Z-Z2在复平面内对应的点分别为4,B,C,求cos/ABC.

第3章综合测试

答案解析

一、单项选择题：

1.【答案】A