2024年中考数学总复习第三章《函数》第五节：二次函数的实际应用（附答案解析）

2024年中考数学总复习第三章《函数》第五节：二次函数的

实际应用

★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点

1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；

2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x—h)2+k的形式，并能由此得到

二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题.

★中考预测★------------统计考题频次，把握中考方向

二次函数是非常重要的函数，年年都会考查，总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会

考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要

是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。

★聚焦考点★------------直击中考考点，落实核心素养

考点讲解

二次函数的实在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题

的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建

际应用

立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函

数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题.考

察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题：拱桥问题等

二次函数与几此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动

何图形点函数图象的变化情况.分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动

,在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数

表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化.

★方法导引★------------总结思想方法，提升解题效率

1.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

2.构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

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的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

3.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01二次函数的实际应用

1.（2022•南召县模拟）如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩

形的休闲书吧PMBN,其中点P在AC上，点NM分别在BC,AB上，记PM=x,PN=y,图

中阴影部分的面积为S,若NP在一定范围内变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别

是（）

A.反比例函数关系，一次函数关系

B.二次函数关系，一次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

1）.一次函数关系，二次函数关系

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】设AB=m（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到AM=PM,根据矩形的性

质得到PN=BM,得到y=-x+m,根据三角形和矩形的面积得到结论.

【解答】解：设AB=m（m为常数），

在AAMP中，ZA=45",AMXPM,

...△AMP为等腰直角三角形，

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•.•四边形PMBN是矩形,

；.PN=BM,

x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m,

即y=-x+m,

•'.y与x成一次函数关系,

,/S=SAABC-S«S®PMBN=—m'-xy=』n/-x(-x+m)=x'-mx+L/，

222

与x成二次函数关系.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的应用.一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形

的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键.

2.(2022•杏花岭区校级模拟)太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体

师生的积极性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅

球比赛中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出

手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，

如图②，以水平面为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，则他掷

铅球的运动路线的函数表达式为()

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】根据题意设出抛物线解析式为y=a(x-3)2+2.5,再把点B坐标代入解析式求

出a即可.

【解答】解：根据题意，得B(0,1.6),C(3,2.5)

设抛物线解析式为y=a(x-3)2+2.5,

将B点代入解析式得:9a+2.5=1.6,

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解得a=-A,

10

小杰掷铅球的运动路线的解析式为y=-（x-3）2+2.5=-

101055

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

3.（2022•荷塘区校级模拟）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是

开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶

段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某

次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖

帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模

型：如图所示，该球员的投篮出手点为P,篮框中心点为Q,他可以选择让篮球在运行途

中经过A,B,C,D四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”

的可能性最大的线路是（）

A.P-A-QB.P-B-QC.P-C-QD.P-D-Q

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】分类讨论投篮线路经过A,B,C,D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解.

【解答】解：B,D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点

上升阶段的水平距离长；

A,B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到

与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；

同理可知C点路线优于A点路线，

综上：P-B-Q是被“盖帽”的可能性最大的线路.

故选：B.

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【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论

求解.

4.（2022•镇江一模）如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径,

若小径的宽不超过1m,则花圃中的阴影部分的面积有（）

卜-----20------------a

A.最小值247B.最小值266C,最大值247D.最大值266

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用.

【分析】设十字型小径的宽为xm,根据平移的性质可得，花圃中的阴影部分可看作是长

为（20-x）m,宽为（14-x）m的矩形，然后进行计算即可解答.

【解答】解：设十字型小径的宽为xm,

由题意得：

花圃中的阴影部分的面积y=（20-x）（14-x）

=x2-34x+280,

=（x-17）2-9,

•.•OVxWl,

.•.当x=l时，y有最小值，

止匕时y=（1-17）2-9=247.

故选：A.

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握平移的性质是解题的关

键.

5.（2022•徐州一模）北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m.运动员起跳后的

飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距

离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax、bx+c（aWO）.如图记录了某运动员起跳后

的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高

点时，水平距离为（）

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.y/m

93.9---------r

90.0；

82.2---------r

o2040~x/m

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力.

【分析】将点(0,90.0)、(20,93.9)、(40,82.2)分别代入函数解析式，求得系

数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案.

【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)经过点(0,90.0)、(20,93.9)、

(40,82.2),

'c=90.0

则，400a+20b+c=93.9，

1600a+40b+c=82.2

'a=-0.0195

解得：＜b=0.585.

c=90

所以x=--=0.585=15(m).

2a2X(-0.0195)

故选：B.

【点评】此题考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法

求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行

到最高点时，水平距离.

6.(2022•甘肃武威)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小

球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度〃(单位：m)与飞行时

间f(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时

间，=_______s.

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【答案】2

【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案.

【详解】解:Vh=-5t2+20t=-5(t-2),+20,且-5<0,

.•.当t=2时，h取最大值20,故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式.

7.(2022•湖北黄冈)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小

区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉.市场调查发现：甲种

花卉种植费用y(元/n?)与种植面积x(m?)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用

为15元/nA

(1)当xWlOO时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

⑵当甲种花卉种植面积不少于30m2,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍

时.

①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？

②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值

范围.

y=30(0<x<40)

【答案】(1)>1:

y=--x+40(z40<x<100)A

(2)①甲种花卉种植90m2,乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元；

②x440或6O〈x这360.

【分析】(1)根据函数图像分两种情况，xW40时y为常数，40WxW100时y为一次函数，

设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；

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(2)①设甲种花卉种植面积为机，则乙种花卉种植面积为360-加，根据乙的面积不低于甲

的3倍可求出30WmW90,利用总费用等于两种花卉费用之和，将m分不同范围进行讨论列

出总费用代数式，根据m的范围解出最小值进行比较即可；

②将x按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可.

(1)

由图像可知，当甲种花卉种植面积xW40m2时，费用y保持不变，为30(元/m?),

所以此区间的函数关系式为：y=30(0<x<40),

当甲种花卉种植面积40WxW100m2时，函数图像为直线，

设函数关系式为：y=^+b(40WxW100),

,当x=40时，y=30,当x=100时，y=15,代入函数关系式得：

/30=404+6

[\5=l00k+b'

解得：k=~,b=40,

4

y=-；x+40(40WxW100)

.♦.当xWlOO时，y与x的函数关系式应为：

>'=30(0<x<40)

：

y=-lx+40(40<x<100)

(2)①设甲种花卉种植面积为加根Z30),则乙种花卉种植面积为360-机，

：乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，

/.360-m三3机,

解得：，"W90,

的范围为：30WmW90

当30WAWW40时，卬=306+15(360-㈤=15m+54(X),

此时当m最小时，w最小，

即当111=30时，w有最小值15x30+5400=5850(元)，

当40VMW90时,w=w(-—w+40)+15(360-/7?)=-—(/«-50)2+6025,

44

此时当m=90时，离对称轴m=50最远，w最小，

即当m=90时，w有最小值一:(90-50)2+6025=5625(元)

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V5625<5850,

.•.当m=90时种植的总费用w最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为360-〃尸270,

故甲种花卉种植90m2,乙种花卉种植270mz时，种植的总费用w最少，最少为5625元.

②由以上解析可知：

(1)当x<40时，总费用=15x+54(X)W15x4O+54CO=60OO(:元)，

(2)当40cxW1OO时，总费用=」(X-50)2+6025,

4

令」(x-50)2+6025W60(X),

4

解得：xW40或x,60,

又。40<xW100,

60WxW100

(3)当l(X)<x近360时，总费用=360x15=5400(元),

综上，在x440、604*与100和100<*忘360时种植总费用不会超过6000元，

所以甲种花卉种植面积x的取值范围为：XM40或60WxW360.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，

仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法.

8.(2022•浙江台州)如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带

浇水.喷水口//离地竖直高度为〃(单位：m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边

缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,

其水平宽度OE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,

上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m,灌溉车到I的距离OD

为d(单位：m).

图1

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图2

(1)若人=1.5,跖=0.5m；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程0C；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)若E尸=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值.

【答案】⑴①6m；②(2,0)；③2&d£2也-1

⑵建

32

【分析】(1)①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；

②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边

缘抛物线0344,计算即可；

(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点。，尸恰好分别在两条抛物线

上，设出D、F坐标计算即可.

(1)

(1)①如图1,由题意得42,2)是上边缘抛物线的顶点，

设y=a(x-2)2+2.

又：抛物线经过点(0,1.5),

1.5=467+2,

a=--.

8

上边缘抛物线的函数解析式为y=-：(x-2尸+2.

8

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当y=0时，一，(X-2)2+2=0,

8

玉=6,x2=-2(舍去).

图1

②•.•对称轴为直线x=2,

点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5).

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，

即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0).

③如图2,先看上边缘抛物线，

,.1E尸=0.5,

...点1的纵坐标为0.5.

抛物线恰好经过点F时，

--(X-2)2+2=0.5.

8

解得x=2±2百>

x>0,

x=2+26.

当x>0时，)'随着x的增大而减小，

...当24x46时，要使”0.5,

则X42+26

..•当0Mx<2时，y随X的增大而增大，且x=o时，y=1.5>0.5,

.•.当04x46时，要使yN0.5,则04x42+26.

；DE=3,灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，

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:.d的最大值为(2+2^3)-3=273-1.

再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是084”,

的最小值为2.

综上所述，d的取值范围是24d42百-1.

⑵八的最小值为菰'.

由题意得A(2,〃+0.5)是上边缘抛物线的顶点，

设上边缘抛物线解析式为产«(x-2)2+h+0.5.

•.•上边缘抛物线过出水口(0,h)

/.y=4a+h+0.5=h

解得

o

.•.上边缘抛物线解析式为y=-：(x-2)2+/?+0.5

8

:对称轴为直线x=2,

点(0,0的对称点的坐标为(4,力).

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，

二下边缘抛物线解析式为y=-+2)2+6+0.5.

o

当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点尸恰好分别在两条抛物线上,

VDE=3

・♦.设点D(m,0),E(m+3,0),F^/H+3,—^(/n+3-2)2+〃+0.5),

YD在下边缘抛物线上，

——(/77+2)~+/?+0.5=0

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VEF=1

-；（/M+3-2）2+〃+0.5=1

：.--（m+3-2）2+h+0.5——-（/n+2）2+/z+0.5=1,

8L8_

解得=2.5,

代入一［（m+2）2+/i+0.5=0,得力=竺.

832

所以/^的最小值为竺.

32

【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的

数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键.

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.（2022•东城区校级模拟）某市煤气公司要在地下修建一个容积为10,立方米的圆柱形煤

气储存室.记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h,r在一定

范围内变化时，S随h,r的变化而变化，则S与h,S与r满足的函数关系分别是（）

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

【考点】二次函数的应用.

【专题】函数及其图象；应用意识.

【分析】根据圆的面积公式及圆柱体的体积公式可得答案.

【解答】解：根据题意得：

S=1°一,S=itr2,

h

，S与h是反比例关系，S与r是二次函数关系，

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数、二次函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变

量之间的函数关系式，然后再根据题意进行解答.

2.（2022•金乡县二模）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成.已

知墙长为15m,若平行于墙的一边长不小于8m,则这个苗圃园面积的最大值和最小值分

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别为()

k15米[

，//////"

芭■圃园

A.48m=37.5m：B.50m',32nr

C.50mI37.5m2D.48m2,32m2

【考点】二次函数的应用；矩形的性质.

【专题】应用题；数形结合；二次函数的应用；应用意识.

【分析】设平行于墙的一边长为xm,苗圃园面积为Sm2,则根据长方形的面积公式写出

面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，

得出答案即可.

【解答】解：设平行于墙的一边长为xm,苗圃园面积为Sn>2,则

S=xxA(20-x)

2

=-A(x2-20x)

2

=-A(x-10)2+50(8WXW15)

2

：-A<o

2

有最大值，x=10>8时，Sa大=50

•.•墙长为15m

・••当x=15时，S最小

S最小=15X』X(20-15)=37.5

2

这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m:37.5m2.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地根据实际问题列出函数关系

式，并明确二次函数的性质，是解题的关键.

3.(2022•西山区二模)根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临

时隔离区进行留观.某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙(墙

长5米)，其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口(不需材料)，

共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为()平方米.

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A.至B.25C.D.15

28

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】设这个隔离区垂直于墙的一边长是X米，则平行于墙的一边是（11-2x）米，

面积S=-2x、llx,再利用二次函数的性质解答即可.

【解答】解：设这个隔离区垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是（11-2x）

米，

.,.面积S=x（11-2x）=-2X2+11X,

•.•墙长5米，

-2xW5,

解得3Wx<5.5,

•••-2<0,对称轴x=-且=-11=11,在对称轴的右侧，S随x的增大而减小，

2a-44

.•.当x=3时，S最大为-2X9+11X3=15（平方米），

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的

意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程及二次函数表达式.

4.（2022•碑林区校级模拟）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m,

涵洞顶点0与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）

A.0.4mB.0.6mC.0.8mD.Im

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y=ax2.根据AB=1.6,涵洞顶

点0到水面的距离为2.4m,那么A点坐标应该是（-0.8,-2）,利用待定系数法即可

求解析式，再把y=-0.5代人进而得出答案.

【解答】解：建立如图所示的坐标系，

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A点坐标应该是(-0.8,-2),

那么-2=0.8X0.8Xa,

即a=-至，

8

当y=-0.5时,-0.5=-至X〉,

8

解得x=±0.4,

,水面的宽度为0.8m.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题中的信息得出函数经过的点的坐

标是解题的关键.

5.(2022•武功县模拟)在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地

面的高度丫(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，点B为落地点，且0A=lm,

0B=4m,羽毛球到达的最高点到y轴的距离为国『那么羽毛球到达最高点时离地面的

2

【专题】待定系数法；二次函数的应用；应用意识.

【分析】由已知得A(0,1),B(4,0),抛物线对称轴为直线x=3,用待定系数法

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得抛物线解析式为y=-lx2+lx+l；令x=2•得羽毛球到达最高点时离地面的高度为空

44216

m.

【解答】解：由已知得：A(0,1),B(4,0),抛物线对称轴为直线x=3,

2

设抛物线解析式为y=ax?+bx+c,

"c=l

.16a+4b+c=0

••I>

b3

云节

，1

a=-7

解得\工，

b-4

c=l

.•.抛物线解析式为y=-工x、3x+l；

44

令*=旦得丫=-工*(3)2+3X3+I=至，

2424216

...羽毛球到达最高点时离地面的高度为案!!!，

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出抛物线

的解析式.

6.(2022•建湖县一模)如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子

滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖

直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(aWO).如

图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A(xi,yl、B(x2,y2),C(x3,

%),根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水

平距离x满足()

第17页共83页

X

A.x<xiB.xi<x<x2C.x=X2D.x2<x<X3

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力.

【分析】解法一：将点A(0,2)、B(2,1)、C(4,4)分别代入函数解析式，求得系

数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案.

解法二：根据图象可以直接解答.

【解答】解：解法一：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a¥0)经过点A(0,2)、B

(2,1)、C(4,4),

'c=2

则,4a+2b+c=l，

16a+4b+c=4

fJ_

a~2

m：3,

c=2

3

.•.此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离X满足X,<X<X2.

解法二：从图象上看，抛物线开口向上，有最低点，x的值越离对称轴越近，函数y的值

就越小，若对称轴是直线x=xz时，A、C两点应该要一样高(即y值相等)，但是很明

显A点比C点低，说明A点离对称轴更近，所以对称轴在A、B之间，即xi〈x<X2.

故选：B.

【点评】此题考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法

第18页共83页

求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知此原子滑车运行到最

低点时，所对应的水平距离.

7.（2022•四川广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2

本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282

元.

（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文

学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低

1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其

中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此优惠，社区至少要准备多少购书款？

【答案】（D科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元.

（2）社区至少要准备2700元购书款.

【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列

出方程组进行求解；

（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有本，由

（1）及题意可分当30〈机＜40时，当40VM＜50时及当50＜机＜60时，进而问题可分类求

解即可.

（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：

2x+3y=154x=38

,解得:

4x+5y=282y=26

答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元.

（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本,

由（1）可得：

①当30«，"<40时，则有：卬=38〃?+26。00-加）=12〃7+2600,

V12＞0,

...当m=30时，w有最小值，即为坟=360+2600=2960；

②当40WwW50时，则有：卬=（38—，〃+40），〃+26（100—，"）=—+52帆+2600,

V-K0,对称轴为直线加=26,

...当40W〃?450时，w随m的增大而减小，

第19页共83页

，当m=50时，w有最小值，即为卬=-5()2+52x50+2600=2700;

③当50<〃叱60时，此时科技类图书的单价为78-50=28(元)，则有

w=28"?+26(100-/?/)=2m+2600,

V2>0,

.•.当m=51时,w有最小值,即为卬=102+2600=2702；

综上所述：社区至少要准备2700元的购书款.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是

找准等量关系，注意分类讨论.

8.(2022•浙江宁波)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的

种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2Wx«8,且x为整数)

构成一种函数关系.每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每

平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

【答案】⑴y=-0.5x+5(2X8,且x为整数)

(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克

【分析】(1)由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解

析式；

(2)设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数X单株产量即可列函数关

系式，由二次函数性质可得答案.

(1)解：••••.•每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，

Ay=4-0.5(x-2)=-0.5x+5(2<x<8,且x为整数)；

(2)解：设每平方米小番茄产量为W千克，

w=x(-0.5x+5)=-0.5/+5x=-0.5(x-5)2+12.5.

.,.当x=5时,w有最大值12.5千克.

答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

9.(2022•江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后

飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分

第20页共83页

所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离

分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度。4为66m,基准点K到起跳台

的水平距离为75m,高度为/zrn(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水

平距离x(m)之间的函数关系为y=加+6+c(aH0).

19

(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时“=-而,6=5,求基准点K的高度h；

②若。=-5时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；

(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超

过K点，并说明理由.

【答案】(1)66

9

⑵①基准点K的高度h为21m；②b>历；

(3)他的落地点能超过K点，理由见解析.

【分析】(1)根据起跳台的高度0A为66m,即可得c=66；

1010

(2)①由a=，b=正，知丫=-^x2+—x+66,根据基准点K到起跳台的水平距离

为75m,即得基准点K的高度h为21m；

②运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21,故-'X75?+75b+66>21,即可解得

答案：

(3)运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,即是抛物线的顶点为(25,

2

76)，设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76,可得抛物线解析式为y=——(x-25)。76,

125

当x=75时，y=36,从而可知他的落地点能超过K点.

(1)解：..•起跳台的高度0A为66m,

第21页共83页

AA(0,66),

把A(0,66)代入y=ax?+bx+c得:

c=66,

故答案为：66；

19

(2)解：@Va=--,b=—,

._12,9

・・y=---x+—x+66,

5010

・・,基准点K到起跳台的水平距离为75m,

129

・・・y=——X752+—X75+66=21,

5010

・・・基准点K的高度h为21m；

@Va=:"-，

50

y=——x2+bx+66,

50

•・•运动员落地点要超过K点，

・••当x=75时，y>21,

即--X752+75b+66>21,

50

9

解得bA5,

9

故答案为：b>—；

(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：

•.•运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,

...抛物线的顶点为(25,76),

设抛物线解析式为y=a(x-25)、76,

把(0,66)代入得：

66=a(0-25)2+76,

解得a=-11r

2

・・・抛物线解析式为y=-—(x-25)2+76,

2

当x=75时，y=-------X(75-25)2+76=36,

V36>21,

第22页共83页

，他的落地点能超过K点.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为

数学问题.

10.(2022•山东潍坊)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种

植基地调研.小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号山

和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如

下图.

近5年②号田年产量

吨

4-

..(5,3.5)

3-.(4.3.4)

.(33.1)

(2-2.6)

2-.

(1-1-9)

1-

x7年度

小亮认为，可以从y=kx+b(k>0),y="(m>0),y="0.Ix'+ax+c中选择适当的函数模型，模

x

拟①号田和②号田的年产量变化趋势.

(1)小莹认为不能选y='(〃?>0).你认同吗？请说明理由；

X

(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋

势，并求出函数表达式；

(3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田单年产里在哪一年最大？最大是

多少？

【答案】(D认同，理由见解析

(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+l(k>0)；②号田的函数关系式为y=-0.lx2+x+l；

(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨.

【分析】(1)根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；

(2)利用待定系数法求解即可；

(3)设总年产量为w,依题意得亚=旬.1X2+X+1+0.5X+1,利用二次函数的性质即可求解.

(1)解：认同，理由如下：

第23页共83页

观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；

观察②号田的年产量变化：经过点(1,1.9),(2,2.6),(3,3.1),

VIXI.9=1.9,2X2.6=5.2,1.9W5.2,

不是反比例函数关系，

小莹认为不能选y=—(加>0)是正确的；

x

⑵解：由(1)知①号田符合y=kx+b(k>0),

k+h=1.5

由题意得

2k+b=2

2=0.5

解得:

b=\

，①号田的函数关系式为y=0.5x+l(k>0)；

检验，当x=4时,y=2+1=3,符合题意;

②号田符合lx2+ax+c,

-0.1+〃+c=1.9

由题意得

—0.4+2。+c=2.6

解得：।，

工②号田的函数关系式为y=-0.lx2+x+l；

检验，当x=4时,y=-1.6+4+l=3.4,符合题意；

⑶解：设总年产量为明

依题意得:w=-0.lx2+x+l+0.5x+l=-0.lx2+l.5x+2

=-0.l(x-15x+---)+2

44

=-0.1(x-7.5)2+7.625,

V-0.KO,/.当x=7.5时,函数有最大值，

.•.在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨.

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质,

反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点02二次函数与几何图形

第24页共83页

1.（2022•赣州模拟）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1,然后

把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2,若弦图的大正方形的边长为

6,中间的小正方形面积为S,请探究S与x之间是什么函数关系（）

图1图2

A.一次函数B.二次函数C.反比例函数D.其它函数

【考点】二次函数的应用；全等图形；勾股定理的证明.

【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识.

【分