山东省潍坊联考2023-2024学年九年级上册数学期末达标检测模拟试题含解析

山东省潍坊联考2023-2024学年九上数学期末达标检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，AB.BC、CD、ZM都是。。的切线，已知AO=2,BC=5,则的值是

4.如图，抛物线>=奴2+桁+。的对称轴为直线x=l,则下列结论中，错误的是（）

A.ac<0B.b1-4ac>0C.2a—b—0D.a—b+c=0

5.如图坐标系中，O(0,0),A(3,3乖)),B(6,0),将AOAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的

点E处，若OE=',则AC：AD的值是（）

C.6：7D.7：8

6.已知函数y=ax?+bx+c（a#））的图象如图，则函数y=ax+b与y=—的图象大致为（）

X

7.在同一直角坐标系中，二次函数＞=依+c的大致图象可能（）

8.如图，抛物线y="2+〃x+c（存0）与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，其中点8的坐标为冃（1,0）,抛物

线的对称轴交X轴于点O,CE//AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①a>0;②b>0；③la+2A+cV0；

@AD+CE=1.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.②④

9.从1,2,3,5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）

1313

A.-B.-C.-D.-

4824

2

10.对于反比例函数y=-，下列说法中不正确的是（）

X

A.点（—2,—1）在它的图象上

B.它的图象在第一、三象限

C.丁随x的增大而减小

D.当x<0时，y随x的增大而减小

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1,则m=.

12.如图，及A/LBC中，NC=90°,BC=15,tanA=亜，则AB=

8

13.一组数据3,2,1,4,x的极差为5,则x为.

14.随即掷一枚均匀的硬币三次次，三次正面朝上的概率是.

15.方程f—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.

16.抛物线y=（x-l）（x-3）的对称轴是直线*=.

17.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a和）的部分图象，其顶点坐标为（1,n）,且与x轴的一个交点在点（3,（））和（4,

0）之间.则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax?+bx+c=n-1有两个不相等的

实数根.其中正确结论的是（只填序号）

18.分解因式：ab'—4ab=.

三、解答题(共66分)

19.(10分)已知锐角△ABC内接于。O,OD丄BC于点D.

(1)若N3AC=60。，。。的半径为4,求BC的长；

(2)请用无刻度直尺画出△△5c的角平分线AM.(不写作法，保留作图痕迹)

20.(6分)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数,=0?+云+¥的图象与犬轴交于伏-1,0),。(3,0)两点，点

A为抛物线的顶点，E为线段AC中点.

(1)求。力的值；

(2)求证：BF±AC；

(3)以抛物线的顶点A为圆心，AP为半径作0A,点E是圆上一动点，点P为比的中点(如图2)；

①当A4CE面积最大时，求心的长度；

②若点M为8P的中点，求点M运动的路径长.

21.(6分)定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”.

(1)如图1,在4x4的正方形网格中，有一个网格册AABC和两个网格四边形ABCD与ABCE,其中是被AC分

割成的“友好四边形”的是；

(2)如图2,将AABC绕点。逆时针旋转得到厶十9。，点B'落在边AC,过点A作A。//A'5'交。T的延长线

于点D,求证：四边形ABCD是“友好四边形”；

(3)如图3,在A45C中，ABwBC,448c=60，AA8C的面积为66，点。是NA3C的平分线上一点，连

接AZ),CD.若四边形ABC。是被BD分割成的“友好四边形”，求8。的长.

图1图2图3

22.(8分)如图所示是某路灯灯架示意图，其中点A表示电灯，A5和8c为灯架，/表示地面，已知A5=2/n,BC=

5.7m,ZABC=110°,8c丄/于点C,求电灯A与地面I的距离.(结果精确到0.1"?.参考数据：sin20°=0.34,cos20°=0.94,

tan20°~0.36)

23.(8分)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即

发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里

每小时的速度前往救援，

(1)求点C到直线45的距离；

(2)求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°20.8,cos53°«0.6)

24.(8分)如图，在AABC中，AB=AC,点D在BC上，BD=DC,过点D作DE丄AC,垂足为E,。。经过A,B,

D三点.

(1)求证：AB是。O的直径；

(2)判断DE与。O的位置关系，并加以证明；

(3)若。O的半径为3,ZBAC=60°,求DE的长.

25.(10分)赵化鑫城某超市购进了一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更多的利润，商场决定提高

销售的价格，经试验发现，若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件；若每月的

销售件数y(件)与价格x(元/件)满足y=kx+b.

(1)求出k与b的值，并指出x的取值范围？

(2)为了使每月获得价格利润1920元，商品价格应定为多少元？

(3)要使每月利润最大，商品价格又应定为多少？最大利润是多少？

26.(10分)“十一”黄金周期间，我市享有“江南八达岭”美誉的江南长城旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出

了如下门票收费标准：

标准一：如果人数不超过20人，门票价格60元/人；

标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人.

(1)若某单位组织23名员工去江南长城旅游区旅游，购买门票共需费用多少元？

(2)若某单位共支付江南长城旅游区门票费用共计1232元,试求该单位这次共有多少名员工去江南长城旅游区旅游？

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题.

【详解】VAB,BC、CD、DA都是。O的切线，

,可以假设切点分别为E、H、G、F,

，AF=AE,BE=BH,CH=CG,DG=DF,

，AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD,

'：AD=2,BC=5,

.,.AB+CD=AD+BC=7,

故选D.

【点睛】

本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型.

2、B

【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程d-x+J机-1=0有实数根，

4

Ab2-4ac=l-4(-tn-\)>0,

4

解得：m<5

故选：B.

【点睛】

此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的

关键.

3、D

【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案.

【详解】VAC=V15,AB=4,ZC=90°

BC=yIAC2-AB2=1

.«BC1

..cosB==—

AB4

故答案选择D.

【点睛】

本题考査的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.

4、C

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物

线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】A、由抛物线的开口向下知与>轴的交点在丁轴的正半轴上，可得c>0,因此ac<0,故本选项正

确，不符合题意；

B、由抛物线与x轴有两个交点，可得从一4在>0,故本选项正确，不符合题意；

C、由对称轴为》=-2=1,得2a=—b,即2a+h=0,故本选项错误，符合题意；

2a

D、由对称轴为x=l及抛物线过(3,()),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(-1,0),所以。-6+。=0,故本选项正

确，不符合题意.

故选C.

【点睛】

本题考査了二次函数图象与系数的关系.会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根

的判别式的熟练运用.

5、B

【分析】过A作AF丄OB于F,如图所示：根据已知条件得到AF=1&,OF=1,OB=6,求得NAOB=60。，推出aAOB

是等边三角形，得到NAOB=NABO=60。，根据折叠的性质得到NCED=NOAB=60。，求得NOCE=NDEB,根据相似

624

三角形的性质得到BE=OB-OE=6=彳，设CE=a,贝!JCA=a,CO=6-a,ED=b,贝！JAD=b,DB=6-b,于是得

到结论.

【详解】过A作AF丄OB于F,如图所示:

VAd,1用，B（6,0）,

，AF=16，OF=LOB=6,

.♦.OF=BF,

.,.AO=AB,

AFr

tanX.AOB-------=J3,

OF

:.ZAOB=60°,

.,.△AOB是等边三角形，

.,.ZAOB=ZABO=60°,

•.♦将AOAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，

.•.ZCED=ZOAB=60°,

VZOCE+ZCOE=ZOCE+60°=ZCED+ZDEB=60°+ZDEB,

.*.ZOCE=ZDEB,

/.△CEO^AEDB,

.OECECO

••茄一访一瓦，

6

TOE—,

5

624

.♦.BE=OB-OE=6--=—，

55

设CE=a,贝!JCA=a,CO=6-a,ED=b,则AD=b,DB=6-b,

66-a_a

则W=g,24~~b，

6-bb5

，6b=10a-5ab①，24a=10b-Sab®,

②-①得：24a-6b=10b-10a,

.«_2

••一9

b3

即AC:AD=2:1.

故选：B.

【点睛】

本题考査了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得厶厶。!!是等边三角形是

解题的关键.

6、C

【分析】直接利用二次函数、一次函数、反比例函数的性质分析得出答案.

【详解】1•二次函数开口向下，

.,.a<0,

•••二次函数对称轴在y轴右侧，

..•a,b异号，

Ab>0,

;抛物线与y轴交在负半轴，

Ac<0,

，y=ax+b图象经过第一、二、四象限，

y=£的图象分布在第二、四象限，

x

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的性质以及图象问题，掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键.

7、C

【分析】先分别根据二次函数和一次函数的图象得出a、c的符号，再根据两个函数的图象与y轴的交点重合，为点(0,0

逐项判断即可.

【详解】A、由二次函数的图象可知，«<0,c>0

由一次函数的图象可知，«>0,c>0

两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意

B、由二次函数的图象可知，«>0,c>0

由一次函数的图象可知，a<0,c>0

两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意

C、由二次函数的图象可知，a<0,c>0

由一次函数的图象可知，a<0,c>Q

两个函数图象得出的a、c的符号一致，且都经过点(0,c),则此项符合题意

D、由二次函数的图象可知，«>0,c<0

由一次函数的图象可知，«>0,c<0

两个函数图象得出的a、c的符号一致，但与y轴的交点不是同一点，则此项不符题意

故选：C.

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键.

8、D

【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；

②根据对称轴在J轴右侧即可判断b的取值范围；

③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；

④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得40=3。，再根据CE〃A&即可得结论.

【详解】①观察图象开口向下，a<0,所以①错误；

②对称轴在y轴右侧，>>0,所以②正确；

③因为抛物线与x轴的一个交点5的坐标为(1,0),对称轴在y轴右侧，

所以当x=2时，j>0,即la+2b+c>0,所以，③错误；

④,抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与x轴交于4,3两点，

：.AD=BD.

'：CE//AB,

二四边形OOEC为矩形，

：.CE=OD,

：.AD+CE=BD+OI)=OB=1,

所以④正确.

综上：②④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的

交点进行计算.

9、C

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】解：画树状图得：

1235

八zr/bzi\

235135125123

•••共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，

•••积为偶数的概率是刍==，

122

故选：C.

【点睛】

本题考査的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

10、C

【解析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k>0时，函数图象在第一、三象限，当x>0或xVO时，y随

x的增大而减小，由此进行判断.

【详解】A、把点(-2,-1)代入反比例函数y=2得-1=』，本选项正确；

X

B、•••k=2>0,...图象在第一、三象限，本选项正确；

C、•.*=2>0,.•.图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；

D、当xVO时，y随x的增大而减小，本选项正确.

故选C.

【点睛】

考查了反比例函数丫=丄(咫0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当kVO时，图象分别位于第二、

x

四象限.②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、1

【解析】试题分析：•••关于x的方程f—3x+m=()的一个根是1,.••l-3xl+m=0,解得，m=L故答案为1.

考点：一元二次方程的解.

12、17

【解析】•••RtZiABC中，NC=90°,.,.tanA=——，

AC

VBC=15,tanA=—,/.AC=8,

8

,,.AB=VBC2+AC2=17,

故答案为17.

13、-1或1

【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值.x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论.

【详解】解：当x是最大值，则x-(1)=5,

所以X=l；

当X是最小值，则4-x=5,

所以X=-1；

故答案为一1或1.

【点睛】

本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同

时注意分类的思想的运用.

1

14、-

8

【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的

情况，再根据概率公式求解即可.

【详解】画树状图得:

.••一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况.

•••出现3次正面朝上的概率是:

O

故答案为：.

O

点评：此题考査了树状图法概率.注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

15、1.

【详解】解：X2-9x+18=0»得xi=3,X2=6,

当等腰三角形的三边是3,3,6时，3+3=6,不符合三角形的三边关系定理，...此时不能组成三角形;

当等腰三角形的三边是3,6,6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=1.

故答案是：1

16、1

【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴；

【详解】解：二•抛物线产(x-l)(x-3)=x1-4x+3=(x--1,

•••该抛物线的对称轴是直线x=l,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

17、

【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间，则当x=-l时，y>0,

于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-3=1,即b=-2a,则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵

2a

坐标为n得到竺上O=n,则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-l有2个

4。

公共点，于是可对④进行判断.

【详解】解：•・•抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=L

，抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.

,当x=・l时，y>0,

即a-b+c>0,所以①正确；

h

•••抛物线的对称轴为直线X=--=1,即b=-2a,

2a

.*.3a+b=3a-2a=a,所以②错误；

•••抛物线的顶点坐标为(1,n),

・・.4""

4a

b2=4ac-4an=4a(c-n),所以③正确；

•.•抛物线与直线y=n有一个公共点，

...抛物线与直线y=n-l有2个公共点，

一元二次方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，所以④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握运算法则.

18、ab(8+2)使一2)

【解析】提取公因式法和公式法因式分解.

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观

察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

atf,-Aab=ab[b1-4^=ab[b+2)(b—2^.

三、解答题(共66分)

19、(1)46;(2)见解析

【分析】(1)连接OB、OC,得到N」BOC=2NA4C,然后根据垂径定理即可求解BC的长；

(2)延长OD交圆于E点，连接AE,根据垂径定理得到NBOE=NCOE,即厶4E=NC4E,AE即为所求.

【详解】(1)连接OB、OC,

/.NBOC=2NB4C=120°

'：OD1.BC

，BD=CD,且ZBQD=60°

VOB=4

/.0D=2,BD=26

.,.BC=4百

故答案为4百；

(2)如图所示，延长0。交。。于点E,

连接AE交BC于点M,AM即为所求

IXh/\I

根据垂径定理得到嬴=&,即NB4£=NC4E,所以AE为N8AC的角平分线.

【点睛】

本题考査了垂径定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，熟练掌握圆部分的定理和相关性质是解决本题的关键.

20、(1)a=--,b=6(2)证明见解析；(3)①26+1或26-1;②乃.

2

【分析】⑴将B(-l,0),C(3,0)代入二次函数的解析式3,=加+-+管即可求解；

(2)证得A6C是等边三角形即可证得结论;

(3)①根据题意，当£4丄AC或E'A丄AC时，E4C或芭厶。面积最大，利用三角形中位线定理可求得P尸的

长，利用勾股定理可求得BE,即可求得答案；

②根据点M的运动轨迹是半径为2的A,则EC的中点P的运动轨迹也是圆，同样，8P的中点M的运动轨迹也是

圆，据此即可求得答案.

【详解】•.•二次函数y=⑪?+法+孚的图象与x轴交于B(-1,O),C(3,O)两点,

i氧L。

3

9。+3〃+垣=0

3

[6

CI-----

解得：]2,

b=\/3

故答案为：a=—9b=y/3;

2

(2)由(1)得：抛物线的解析式为丫=一正/+百x+凍,

23

•.•二次函数y=-弓1+屈+乎的图象与x轴交于B(-1,0),C(3,0)两点,

...抛物线的对称轴为：x=3+(-1)=],

2

.,•顶点A的坐标为：(1，2G),AB=AC,

TAC="3—1)2+(26—0丫=4，

fiC=3-(-l)=4,

AB=AC=BC=4,

:.A8C是等边三角形，

为线段AC中点，

BF^ACy

(3)①•••AC为定值，当£4丄AC时，..E4C面积最大，如图,

:.BF//EA,

•••点尸为线段AC中点，点P为EC的中点，

APF//EA,PF=-EA=\,

2

，F、B三点共线,

在RtBCF中，BC=4,CF=2,

二BF=ylBC2-CF2=V42-22=2y5，

二PB=BF+PF=2&1;

同理，当E厶丄AC时，E厶。面积最大，

同理可求得：PB=BF-PF=2g-l;

故答案为：2百+1或26-1；

②如图，

•点E的运动轨迹是A,半径为E4=2,

二EC的中点P的运动轨迹也是圆，半径为1,

...BP的中点M的运动轨迹也是圆，半径为;，

...点M运动的路径长为：271r=兀.

故答案为：》.

主要考査了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思

想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

21、(1)四边形ABCE；(2)详见解析；(3)BD=2&

【分析】(1)根据三角形相似的判定定理，得AABCYEAC,进而即可得到答案；

(2)由旋转的性质得，ZA'CB'=ZACB,ZCA'B'=ZCAB,结合得NC4B=N£>,进而即可得到

结论；

(3)过点厶作厶〃丄3c于“，得厶〃=正厶8,根据三角形的面积得8CxAB=24,结合AABDs^DBC,

2

即可得到答案.

【详解】(1)由题意得：AB=2,BC=1,AC=s/5,AE=2旧,CE=5,

.ABBCACs/5

••--=--=--=--9

EAACEC5

.,.AABC-AEAC,

...被AC分割成的“友好四边形”的是：四边形A3CE,

故答案是：四边形ABCE；

(2)根据旋转的性质得，ZA'CB'^ZACB,Z.CA'B'=ACAB,

ADHA'B',

:.ZCA'B'=ZD,

...NCAB=ND,

...四边形ABCD是“友好四边形”；

(3)过点A作A〃丄3c于

.,.在R/A4BA7中，AM=ABsin60°^—AB,

2

•••AA8C的面积为，

:.LBCX也AB=65

22

二BCxAB=24,

•..四边形ABC。是被亜分割成的“友好四边形”，且ABwBC,

:.\ABDs\DBC,

.AB_BD

••一,

BDBC

J.BD2=ABxBC=24,

•••BD=276.

【点睛】

本题主要考査相似三角形的判定和性质定理以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质，是解题的关键.

22、电灯A距离地面/的高度为6.4米.

【分析】过A作AO丄/,过8作8E丄AO于E,贝1|OE=8C=5.7机，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过4作AO丄/,过8作5E丄AO于E,则OE=3C=5.7"?,

VZABC=110°,

二ZABE=2Q°,

...NA=70°,

AEAE

Asin20°=—=—=0.34,

AB2

解得：AE=0.68,

：.AD=AE+DE~6.4；

答：电灯A距离地面/的高度为6.4米.

【点睛】

考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，解直角三角形是关键.

23、（1）40海里；（2）°小时.

4

【分析】（1）作CQ丄A3,在RtA4C。中，由NCW=30°知。=丄4。，据此可得答案;

2

CD

（2）根据BC=——--求得8c的长，继而可得答案.

sinZCBD

【详解】解：（1）如图，过点C作CO丄45交48延长线于。.

以德口）巴海警船）

在RtZXAC。中，VZADC=90°,ZCAZ）=30°,AC=80海里,

.•.点C到直线A8距离。）=丄4。=40（海里）.

2

（2）在RtZ\C8。中，VZCDB=90",NCBD=90°-37°=53°，

CD40

：.BC=---------------=-=50（海里）,

sinZCBD0.8

，海警船到达事故船C处所需的时间大约沏5宀。三（小时）.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.

24、（1）证明见解析；（2）DE与。O相切；（3）班

2

【分析】（1）连接AD,根据等腰三角形三线合一性质得到AD丄BC,再根据90。的圆周角所对的弦为直径即可证得

AB是。O的直径；

(2)DE与圆O相切，理由为：连接OD,利用中位线定理得到OD〃AC,利用两直线平行内错角相等得到NODE

为直角，再由OD为半径，即可得证；

(3)由AB=AC,且NBAC=60。，得到DABC为等边三角形，连接BF,DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确

定出DE的长.

【详解】解：(1)证明：连接AD,

VAB=AC,BD=DC,；.AD丄BC,

/.ZADB=90°,，AB为。。的直径；

(2)DE与。O相切，

理由为：连接OD,

VO.D分别为AB、BC的中点，.\OD为aABC的中位线，

...OD〃BC,

VDE±BC,ADEIOD,

；OD为。O的半径，

.••DE与。O相切；

(3)解：连接BF,

VAB=AC,ZBAC=60°,...△AB