分段低次插值

1关于分段低次插值2例：考虑函数，它在上的各阶导数均存在.所构造的拉格朗日插值多项式为

取上的个等距节点令则第2页,共39页，2024年2月25日，星期天3

表2-5列出了时的的计算结果及在上的误差图2-5问题：从表和图中的结果你发现了什么？第3页,共39页，2024年2月25日，星期天4

从图上看到，在附近,与偏离很远，这说明用高次插值多项式近似效果并不好.解决办法：不用高次插值，改用分段低次插值.

表中，随的增加，的绝对值几乎成倍增加.

这说明当时在上是不收敛的.问题：如何克服龙格现象呢？上述现象称为龙格现象。Runge证明了，存在一个常数，使得当时，而当时发散.第4页,共39页，2024年2月25日，星期天5下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：第5页,共39页，2024年2月25日，星期天6附：Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,‘r’,x,y,‘k:’,x,y1,‘r’)gtext(‘Lagr.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Lagrange’)第6页,共39页，2024年2月25日，星期天7附：Lagrange插值子程序lagr1:functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end第7页,共39页，2024年2月25日，星期天82.5.2

分段线性插值

由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.

分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.第8页,共39页，2024年2月25日，星期天9

设已知节点上的函数值记求一折线函数,

满足：

在每个小区间上是线性函数.则称为分段线性插值函数.

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近一、分段线性插值第9页,共39页，2024年2月25日，星期天10

由定义可知在每个小区间上可表示为(5.1)

若用插值基函数表示，则在整个区间上为(5.2)其中基函数满足条件其形式是(5.3)第10页,共39页，2024年2月25日，星期天11

利用线性插值余项公式,得到分段线性插值的误差估计则(5.4)其中第11页,共39页，2024年2月25日，星期天12第12页,共39页，2024年2月25日，星期天13下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：第13页,共39页，2024年2月25日，星期天14附：分段线性插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Piece.–linear.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘PiecewiseLinear’)注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.第14页,共39页，2024年2月25日，星期天152.5.3

分段三次埃尔米特插值

分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值

在每个小区间上是三次多项式.插值函数，

这样就可构造一个导数连续的分段满足条件设则当时，在上一致收敛于.定理3第15页,共39页，2024年2月25日，星期天162.6

三次样条插值问题：1.为什么引进分段低次插值？2.分段线性和分段二次插值有何特点？3.分段Hermite插值有何特点？4.是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次插值函数呢？第16页,共39页，2024年2月25日，星期天17

2.6.1

三次样条函数上是三次多项式，其中是给定节点，

若函数且在每个小区间则称是节点上的三次样条函数.

若在节点上给定函数值（6.1）则称为三次样条插值函数.定义4并成立第17页,共39页，2024年2月25日，星期天18

由于在每个小区间上有4个待定系数，共有个小区间，所以共有个待定参数.

由于在上二阶导数连续，所以在节点处应满足连续性条件这些共有个条件，再加上本身还要满足的个插值条件，共有个条件，还需要2个才能确定.（6.2）第18页,共39页，2024年2月25日，星期天19

通常可在区间端点上各加一个条件1.已知两端的一阶导数值，即（6.3）（6.5）称为自然边界条件.2.已知两端的二阶导数，即其特殊情况为（6.4）（6.5）’常见的边界条件有以下3种：（称为边界条件），第19页,共39页，2024年2月25日，星期天20此时插值条件（6.1）中.

这样确定的样条函数称为周期样条函数.

这时边界条件应满足（6.6）3.当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.第20页,共39页，2024年2月25日，星期天21

2.6.2

样条插值函数的建立

下面利用的二阶导数值表示.

由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，（6.7）对积分两次并利用及，可表示为可定出积分常数，于是得三次样条表达式第21页,共39页，2024年2月25日，星期天22这里是未知的.（6.8）第22页,共39页，2024年2月25日，星期天23

为了确定,对求导得（6.9）同理可得：第23页,共39页，2024年2月25日，星期天24（6.11）对第一种边界条件（6.3），可导出两个方程（6.12）利用可得（6.10）其中

第24页,共39页，2024年2月25日，星期天25如果令

（6.13）那么（6.10）及（6.12）可写成矩阵形式

第25页,共39页，2024年2月25日，星期天26

对第二种边界条件（6.4），直接得端点方程（6.14）如果令,也可以写成（6.13）的矩阵形式.则（6.10）和（6.14）第26页,共39页，2024年2月25日，星期天27

对于第三种边界条件（6.5），可得其中

（6.15）（6.10）和（6.15）可以写成矩阵形式第27页,共39页，2024年2月25日，星期天28（6.16）

（6.13）和（6.16）是关于的三对角方程组，在力学上解释为细梁在截面处的弯矩，称为的矩，

（6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解,求解方法可见5.3节追赶法，将解得结果代入（6.8）的表达式即可.方程组（6.13）和（6.16）称为三弯矩方程.第28页,共39页，2024年2月25日，星期天29

设为定义在上的函数，在节点试求三次样条函数，使它满足边界条件

例7上的值如下：第29页,共39页，2024年2月25日，星期天30由此得矩阵形式的方程组（6.13）为

解由（6.11）及（6.12）第30页,共39页，2024年2月25日，星期天31求解得第31页,共39页，2024年2月25日，星期天32代入（6.8）得曲线见图2-6图2-6第32页,共39页，2024年2月25日，星期天33

给定函数节点用三次样条插值求

取直接上机计算可求出在表2-6所列各点的值.例8第33页,共39页，2024年2月25日，星期天34第34页,共39页，2024年2月25日，星期天35下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：第35页,共39页，2024年2月25日，星期天36附：样条插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x,’spline’);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Spline’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Spline’)注：interp1(x0,y0,x,’spline’)为Matla