2020-2021学年安徽省马鞍山市高三(上)期末数学试卷(理科)(一模)

第1页（共1页）2020-2021学年安徽省马鞍山市高三（上）期末数学试卷（理科）（一模）一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，则A． B． C． D．2．（5分）复数为纯虚数，则实数A． B． C． D．23．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A．16 B．25 C．36 D．494．（5分）为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），已知所得样本数据都在区间[10，110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为（）A．60 B．65 C．66.25 D．72.255．（5分）设，是不同的直线，，是不同的平面，则A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则6．（5分）在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到、、、四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到班，丁不分配到班，则分配方案的种数为A．12 B．14 C．16 D．247．（5分）已知函数，的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则A． B． C． D．8．（5分）已知，，，则A． B． C． D．9．（5分）已知点为抛物线准线上一点，点为焦点，为坐标原点，在抛物线上，且，则的最小值为A．16 B． C． D．10．（5分）已知函数，则方程的解的个数为A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为A．7 B．8 C．13 D．1412．（5分）已知函数，则不等式的解集是A．， B．， C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，则．14．（5分）在平面直角坐标系中，点，是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线右支交于，两点，且，则的面积为．16．（5分）已知正方形的边长为4，是的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知的内角，，的对边分别是，，，满足．（1）若，，求的面积；（2）求的值．18．（12分）智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40城市60总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆，右焦点为，短轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，线段中点为，且为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当，证明：．参考数据：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到直线距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年安徽省马鞍山市高三（上）期末数学试卷（理科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，则A． B． C． D．【解答】解：集合，，．故选：．2．（5分）复数为纯虚数，则实数A． B． C． D．2【解答】解：，复数为纯虚数，，且，解得．故选：．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A．16 B．25 C．36 D．49【解答】解：，，第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出值为25，故选：．4．（5分）为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），已知所得样本数据都在区间[10，110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为（）A．60 B．65 C．66.25 D．72.25【解答】解：由频率分布直方图得：[10，60）的频率为（0.004+0.012）×25＝0.4，[60，85）的频率为0.016×25＝0.4，∴该样本数据的中位数的估计值为：60+＝66.25．故选：C．5．（5分）设，是不同的直线，，是不同的平面，则A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【解答】解：由，是不同的直线，，是不同的平面，知：在中，若，，则与平行或异面，故错误；在中，若，，，则与相交但不一定垂直，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由面面垂直的判定理得，故正确．故选：．6．（5分）在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到、、、四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到班，丁不分配到班，则分配方案的种数为A．12 B．14 C．16 D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲分配到班，剩下三人全排列即可，有种情况，②若甲不分配到班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法，此时有种分配方法，则一共有种不同的分配方法，故选：．7．（5分）已知函数，的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则A． B． C． D．【解答】解：函数，的最小正周期为，则，解得．将的图象向右平移个单位长度后，得到，由于所得图象对应的函数为偶函数，故，整理得，当时，．故选：．8．（5分）已知，，，则A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．9．（5分）已知点为抛物线准线上一点，点为焦点，为坐标原点，在抛物线上，且，则的最小值为A．16 B． C． D．【解答】解：由抛物线的方程可得：，准线方程为：，设点的坐标为，则由，所以，代入抛物线方程可得：，不妨设，原点关于准线的对称点为，则，当，，三点共线时，最小，最小值为，故选：．10．（5分）已知函数，则方程的解的个数为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：函数，由，当，即，解得，当时，则有，解得，即，或，由，可得，此方程只有一个根，又时，，故仅在时有一个根，在时有两个根，在时有一个根，综上，方程有五个根，故选：．11．（5分）在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为A．7 B．8 C．13 D．14【解答】解：因为等差数列的前项和有最小值，则，又，所以，，所以，又，，所以当时，的最大值为13．故选：．12．（5分）已知函数，则不等式的解集是A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，则，即是关于对称，由得，，，为减函数，且当时，‘当时，‘，即当时，‘取得极大值（1），即恒成立，则在上是减函数，则不等式，等价为，即，即不等式的解集为，，故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，则．【解答】解：根据题意，向量，，则，则，故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系中，点，是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为．【解答】解：因为点，是单位圆上第一象限内的点，，所以是第一象限角，且，，因为，所以为第二象限角，所以，故．故答案为：．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线右支交于，两点，且，则的面积为．【解答】解：由题意知，，设，由双曲线的定义知，，，在△中，由余弦定理知，，化简得，，解得或（舍负），，，，即，，的面积为．故答案为：．16．（5分）已知正方形的边长为4，是的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为．【解答】解：以为坐标原点，，为轴，轴建立空间直角坐标系，则，2，，，0，，，，，由折叠性质可得，，，，，则有，解得，，，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，，，则有，解得，，，，所以三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知的内角，，的对边分别是，，，满足．（1）若，，求的面积；（2）求的值．【解答】解：（1）因为满足，由正弦定理，，即，若，由余弦定理，得，所以，由于，所以，所以．（2）由，所以．18．（12分）智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40城市60总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）列联表，经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160（2分）．（4分）所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6分）（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分），，．所以的分布列为：012（10分）的数学期望．（12分）19．（12分）如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：因为，点为的中点，所以，又，所以是等边三角形，所以，所以，所以，．又，得，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：以为坐标原点，为轴，在平面内过点垂直于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系．则，0，，，0，，，，，，0，，所以，，0，，，，设，，为平面的法向量，由，令，得，，．而平面的一个法向量，1，，．设二面角的平面角为，则二面角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆，右焦点为，短轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，线段中点为，且为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．【解答】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：（2）因为直线过点，若轴，则、是的短轴端点，显然不满足条件，所以设直线方程为：，设，，，，，则有，，先把的方程化为，再联立方程得，，由，和中点坐标公式得，，所以，所以，解得，，，所以方程为：、和．故答案为：（1）椭圆的方程为：，（2）直线方程为：、和．21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当，证明：．参考数据：．【解答】（1）解：函数的定义域为，，①当时，，则在上单调递增；②当时，由，解得，当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，单调递减，