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2024年3月南山中学2024年春季2022级2024年3月命题人:梁泽建审题人:文媛张韬第Ⅰ卷单项选择题(本大题共8题,每小题5分,共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)1.已知等差数列中,,,则=()A. B. C. D.2.已知等比数列,则数列的前10项和为()A.55 B.110 C.511 D.10233.某银行为客户定制了A,B,C,D,E共5个理财产品,并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查,得出如下的统计图:用该样本估计总体,以下四个说法错误的是()A.44~56周岁人群理财人数最多B.18~30周岁人群理财总费用最少C.B理财产品更受理财人青睐D.年龄越大的年龄段的人均理财费用越高4.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环图,这就是数学史上著名的“冰霓猜想”(又称“角谷猜想”等).已知数列满足:,,则()A.1 B.2 C.3 D.45.我国古代数学论著中有如下叙述:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯二百五十四.”意思如下:一座7层塔共挂了254盏灯,且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍.下列结论不正确的是()A.底层塔共挂了128盏灯B.顶层塔共挂了2盏灯C.最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200D.最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍6.任意抛掷一次骰子,朝上面的点数记为X,则,定义事件:,,,则()A. B.C. D.B,C相互独立7.已知数列满足,则()A. B. C. D.8.已知各项都不为零的无穷数列满足:,若为数列中的最小项,则的取值范围是()二、多项选择题(每小题5分,共4小题,共20分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知为等差数列,满足为等比数列,满足,则下列说法正确的是()A.数列的首项为4 B.C. D.数列的公比为10.已知一组数据:3,3,4,4,4,x,5,5,6,6的平均数为5,则()A.B.这组数据的众数和中位数均为4C.这组数据的方差为3.8D.若将这组数据每一个都加上0.3,则所有新数据的方差不变11.设是等差数列的前项和,若,且,则下列选项中正确的是()A. B.为的最大值C.存在正整数,使得 D.不存在正整数,使得12.某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平,开展罚点球积分游戏,开始记0分,罚点球一次,罚进记2分,罚不进记1分.已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为,罚不进的概率为,每次罚球相互独立.若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是()A.B.C.D.积分为2分时的概率最大第Ⅱ卷三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在答题卡中的横线上.)13.裴波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第8项为.14.如图所示,电路原件,,正常工作的概率分别为,,,则电路能正常工作的概率为.已知数列满足(n∈N*),且,则.16.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16从第二项起,每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列,其前六项分别为1,3,6,10,15,21,则的最小值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(满分10分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者,某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值;(2)求样本成绩的第75百分位数;(3)现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人,求从这6人中随机选取2人,且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.18.(满分12分)已知等比数列的首项,公比,数列满足.(1)证明:数列为等差数列;(2)设数列前项和为,求使的所有正整数的值的和.19.(满分12分)某校举办了“强国有我,挑战答题”的知识竞赛活动,已知甲、乙两队参加,每队3人,每人回答且仅回答一个问题,答对者为本队赢得1分,答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为,,,乙队中每人答对的概率均为,且各人回答问题正确与否互不影响.(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率;(2)求活动结束后,甲、乙两队共得4分的概率.20.(满分12分)已知等差数列的前项和为,,其中、、成等比数列.等比数列的前项和为,且().(1)求数列、的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.21.(满分12分)已知数列,若,且.(1)证明数列是等比数列,并求出的通项公式;(2)若,且数
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