位似课件人教版数学九年级下册

位似

——第二十七章相似教学目标01.了解位似图形及其相关概念

重点02.掌握位似图形的性质

重点

04.掌握平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律

重点

03.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小

难点对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似.（相似的符号：∽）之前我们学习了相似图形，大家回忆一下什么叫相似图形？相似图形的性质有哪些？相似图形的性质：1、两个相似图形的对应角相等，对应边成比例2、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

欣赏下列两张图片，你有什么发现？这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图是相似的。在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形、例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的影像缩小在底片上.这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和照片.

下面我们开始研究这类相似的图形观察下列图形，小组讨论回答以下问题：

1.图中有相似多边形吗？2.如果有，这种相似有什么特征？图中每组多边形都是相似多边形，且每组相似多边形对应顶点的连线相交于一点.位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点就叫位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似.位似图形的性质：（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；（2）位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点这个点就是位似中心；（3）位似图形对应边平行（或在同一条直线上）；（4）位似图形的对应角相等，对应边成比例；（5）两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【思考】相似图形一定是位似图形吗？相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定相似【注意】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小.例如，要把四边形ABCD缩小到原来的DABC3.分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A'，B'，C'，D'，使得4.顺次连接点A'，B'，C'，D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．ODABCA'B'C'D'作图步骤：1.在四边形外任选一点O（如图）如图所示，将四边形ABCD缩小为原来的.2.过O点分别作射线OA,OB,OC,OD;【思考】对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取A'，B'

、C'、D'

，使得呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？试着分别画出得到的四边形.ODABCA'B'C'D'ODABC利用位似，可以将一个图形放大或缩小，主要方法有两种：方法一：在图形外取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小；方法二：在图形内取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小.【总结】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心，并找出原图形的关键点；（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；（3）根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.【注意】1.位似中心可以在两个图形内部，两个图形之间，两个图形的同一侧，也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.2.画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比3.一般情况下，画位似图形的结果不唯一.1.如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？【练习】解：AB∥CD，理由如下：∵△OAB和△OCD是位似图形∴△OAB∽△OCD∴∠OBA=∠ODC∴AB∥CD2.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍.【练习】解：连接OA、OB、OC，并分别延长OA、OB、OC，在延长线上分别取A'，B'，C'三点，使OA'=3OA，OB'=3OB，OC'=3OC.顺次连接A'，B'，C'，所得△A'B'C'就是所要求的图形.我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转（中心对称）.类似地，位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示.

在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0).以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化.如图，把AB缩小后A，B的对应为A′(，)，B'(，)；A"(，)，B"(，).2120－2－1－20xy24682468-2-4-6-8-2-4-6-8OABA'B'A〞B〞xy24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-9-10-12ACA'C'A"C"如图所示,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?如图，把△AOC放大后A，O，C的对应点为A'(

8，8

)，O

(

0

，0)，C'(

10，0

)；A"

(

-8，-8

)，O

(

0，0

)，C"

(-10

，0

).一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).【总结】【注意】上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变化中图形上对应点的坐标的变化规律.【例题练习】如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，画出一个三角形使它与△ABO的相似比为3:2.2462－2－4xyABO【分析】画三角形关键是确定它各顶点的坐标.根据前面的归纳可知，点A的对应点A′的坐标为即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.还有其他画法吗？自己试一试.2462－2－4xyABO解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).A′B′

顺次连接点A′，B′，O，所得的△A′B′O就是要画的一个图形.至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，总结它们的坐标变化规律①平移变换：对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度②轴对称变换：以x轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。③旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数。④位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于位似比。尝试总结位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换.在如图所示的图案中，你能找到平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？【分析】：观察的角度不同，答案就不同.如：它可以看作是一排鱼顺时针旋