风险与决策课件

第十一讲风险与决策高中数学选修课程专题研究AB废品率1%废品率5%因为废品率低呀这样我就赚了2000万元我要不要冒这个风险吗？我究竟要买哪一个呢？应该做出什么样的决定？什么是风险呢？

风险所涉及到的事件具有随机性可能发生也可能不发生风险是个量，可以知道它的大小。决策：决策是为了达到预期目的，从所有可供选择的方案中，找到最满意或最优的决策方案的行为。风险：风险是不利事件发生的可能性的大小。第七讲风险与决策知识框架图决策问题与决策分析风险与决策风险型决策方法马尔柯夫链与决策方法风险决策灵敏度分析与效用理论总图分支框架图一决策问题与决策分析决策决策的类型决策问题的基本概念风险型决策方法风险型决策的期望值法决策树方法界差与最优方案的评定分支框架图二分支框架图三风险决策灵敏度分析与效用理论灵敏度分析的意义转折概率效用理论两名著名的数学家对152名学生作试验，让他们想象在美国出现了某种传染病，估计有600人丧生。现在有两个与此传染病作斗争的计划，让他们作出抉择：计划A：可以挽救200人的生命；试验1计划A：可以挽救200人的生命；计划B：有1/3的可能性可以挽救全部人的生命；有2/3的可能性计划失败，600人全部丧生。。试验2：计划C：将导致400人丧生。计划D：有1/3的可能性可以挽救全部人的生命，有2/3的可能性无法挽救这600人的生命。

试验1：试验结果有72%的学生认为应执行计划A试验2：试验结果有78%的学生认为应该执行计划D。计划A：可以挽救200人的生命；计划C：将导致400人丧生。。计划B：有1/3的可能性可以挽救全部人的生命；有2/3的可能性计划失败，600人全部丧生。计划D：有1/3的可能性可以挽救全部人的生命，有2/3的可能性无法挽救这600人的生命。大家留心一看，计划A=计划C，计划B=计划D，决策分析不是代替人们却作决策，而是提供一种思考方法，帮助决策者解释和分析所面临的问题，并且能把复杂的问题分解成几个单独的因素分别进行定性和定量的研究。决策分析是很有必要的

决策问题与决策分析

风险型决策方法

风险决策灵敏度分析与效用理论马尔柯夫链与决策方法

例如：一个考察队早晨出车，要选择是否带雨伞，这里有两种可选择的方案（决策）“带雨伞或不带雨伞，同时也有两种可能的自然状态，即下雨或不下雨，则因雨伞需占用一定装载容积使车队要受到两个单位的损失。而下雨不带雨伞就会受到5个单位的损失。（根据天气预报，下雨的概率为0.4，不下雨的概率为0.6）问车队应作何种选择，使损失最小？

自然状态

下雨P（1）=0.4不下雨P（

2）=0.6带雨伞02不带雨伞50

损失值决策1

这也是一个决策问题。上述的例子中，可以看到一般的决策问题应有以下几个因素。

1、自然状态

2、状态概率

3、策略

5、益损函数与决策模型

4、

损益值和损益函数矩阵1.

自然状态

问题中不受决策者的主观影响的客观情况，称为自然状态或客观条件。简称状态。自然状态不依决策者的意志为转移，故又称为不可控制因素，一般记为。将视作变量称为变量。例如上例中天下雨（1）或不下雨（2）都是各自问题的状态组。

2、

状态概率各自然状态出现的概率，称为状态概率，记Pj=P（j）与自然状态集合{1，2，…

n}相应的状态概率集合可记作：

{P（1），P（2），…P（n）}由状态出现的唯一性可知，必有

可供决策者进行决策的各个行动方案集合称为策略或方案，方案是可控因素，一般记作Ai，（i=1,2,…,m）,若将Ai看作一个变量，则Ai称为决策变量，所有可供选择的方案集合称为决策集：{A1，A2，…Am}。例如上例中的决策集为：{A1=带雨伞，A2=不带雨伞}。

3、策略

4、

损益值和损益函数矩阵

每个行动方案Aj在各自的状态j下的经济收益或损失值称为损益值，一般用Sij表示，将益损值按有的次序构成的矩阵称为损益矩阵M，记作

S21S22…S2nM=…………

Sm1Sm2…SonS11S12…S1n

如效益值取作正数，则损失值就取作负数。在例一中，损益函数矩阵是

0

5205、益损函数与决策模型

决策的目标要能够度量，度量决策目标值的函数称为损益函数S，益损函数显然应是每个方案Ai与j的函数。在决策论中广泛应用的决策模型形式为：

S=F(Ai,j)（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。指的是对未来自然状态在完全确定情况下的决策对未来的自然状态不能确定，但对各种自然状态可能发生的概率为已知的条件下的决策是在未来自然状态不能确定，但对各种自然状态可能发生的概率也无法确定情况下的决策

1、确定型决策

2、风险型决策

3、不确定型决策决策问题的类型。

1、确定型决策

当面临的决策问题具备下述条件，可以作为确定型决策问题来处理（1）存在一个明确的决策目标（2）只存在一个明确的自然状态，或虽然存在多个可能发生的自然状态，但通过调查分析，最后可以确定只有一个状态会发生。（3）存在两个或两个以上的行动方案。（4）每个行动方案在确定的自然状态下的益损值为已知（或可求出）例2.2.1：某市的自行车厂准备新上一种产品，现有三种类型的自行车可选择：载重车A1，轻便车A2、山地车A3；根据以往情况与数据，产品在畅销1，一般2及滞销3下的损益值如表所示：

状态利润方案畅销1

一般2

滞销3

轻重车A1

706015轻便车A2

808025山地车A3

554540解：这本是一个面临三种自然状态和三种行动方案的决策问题，该厂通过对市场进行问卷调查及对该市场经济发展趋势分析，得出结论是：今后五年内，该市场极需要自行车，销路极好，因此问题就从三种自然状态变为了一种自然状态（畅销

1）的确定型问题，见下表

状态利润方案畅销1

载重车A1

70轻便车A2

80山地车A3

55见上表可知，该厂选择新上轻便车产品的方案为最优方案，在未来产品为畅销情况下，年利润为80万元

2.2、风险型决策风险型决策问题需要具备以下几个条件：（1）

有一个决策目标（如收益较大或损失较小）（2）

存在两个或两个以上的行动方案。（3）

存在两个以上的自然状态。（4）决策者通过计算、预测或分析估计等方法，可以确定各种自然状态未来出现的概率。（5）每种行动方案在不同的自然状态下的损益值可以计算出来。2.2.1最优期望值准则1、风险型决策的期望值法2.2.3决策树方法2.2.2损益表方法E（A1）=0.4×0+0.6×2=1.2E（A2）=0.4×5+0.6×0=2

自然状态

下雨P（1）=0.4不下雨P（

2）=0.6带雨伞(A1)02不带雨伞(A2)50

损失值决策1、损益表方法

E（A1

）﹤E（A2）显然，带雨伞是最优的方案2.2.2决策树方法

决策树是一种树状图，决策树法是运用树状图方法来作出决策，它是决策分析最常使用的一种方法。对于较为复杂的决策问题，决策者在作出抉择和行动之前要权衡各种可能发生的情况，还需要到未来发展的各种可能性。这时用决策树方法来表达决策问题中先后各个阶段之间联系，其表达方式清晰明了，形象直观，先后从属关系一目了然，因而得到广泛的应用。决策1带雨伞不带雨伞A2A1下雨（0.4)不下雨（0.6)下雨（0.4)不下雨（0.6)损失值（0）损失值（2）损失值（5）损失值（0）E（A1

）=0.4×0+0.6×2=1.2E（A2）=0.4×5+0.6×0=21.22

E（A1

）﹤E（A2）显然，带雨伞是最优的方案决策者需要在决策结点处进行决策（方案的选择）。从决策结点引出的每一个分枝，都是策略分枝。分枝数反映可能的行动方案数。其上方的数字为该策略的期望损益值，由该结点引出的分枝为状态分枝（概率分枝）即可能出现的状态数它是状态分枝的末梢，它侧旁的数字是相应策略在该状态下的损益值决策树图一般由四种元素组成

（1）决策结点

（2）策略结点（方案结点）（3）结果结点（4）分枝决策问题可分为单阶段决策问题与多阶段决策问题两类，分别举例如下。

1、单阶段决策

例2.2.2某市需建设一个生产某产品的工厂，有两个方案：一是建大厂、二是建小厂。建大厂需投资为300万元；建小厂需投资140万元，两者使用期均为10年。若在10年间产品的销路好，大厂每年可盈利100万元,小厂每年可盈利40万元。若销路差，则小厂每年盈利20万元，大厂则每年亏损20万元。根据对市场的预测，产品销路好的概率为0.7，产品销路差的概率为0.3，试问决策者因该选择何种方案建厂？解：将上述两种方案的年度损益值列于下表建大厂A1建小厂A2销路差2P（2）=0.3

-2020销路好1

P（1）=0.7

10040

状态损益值方案第1步：画决策树，从左到右逐步画出决策1建小厂A2A1产品销路好（0.7)建大厂产品销路差（0.3)产品销路好（0.7)产品销路差（0.3)-204020第2步：计算策略结点的期望损益值：

A1：0.7×100×10+0.3×(－20)×10=640(万元)640－300（建厂投资）=340（万元）

A2：0.7×40×10+0.3×20×10=340(万元)340－140（建厂投资）=200（万元）。

340200100建大厂为最优方案2、多阶段决策

有些较为复杂的决策问题，往往要分为几个阶段，每个阶段都要作出一个抉择，而前一阶段的决策又会影响到下一阶段的决策。这种决策问题称为多阶段决策问题（又称动态决策问题）。例2.2.3

在例2.2.2中再增加一个建厂方案：先建小厂，如果前三年的产品销路好，再扩建大厂，扩建所需投资为200万元。盈亏收益情况仍如表8所示。关于市场的调查结果为：在10年使用期中，产品前3年销路好的概率为0.7，销路差的概率为0.3；如前3年销路好，则后7年销路也好的概率为0.9；如前3年销路差，后3年销路肯定差。若仍以10年为期，问工厂应选择何种方案建厂？解：由题意可知，本决策问题应是一个两阶段决策问题，前3年为一阶段、后7年为第二阶段。在第一阶段中，有两种方案：建大厂与建小厂。对于建小厂方案，若前3年产品销路好，则第二阶段开始还有一个决策选择：扩建还是不扩建。决策1

建大厂建小厂57492投资3003投资140好（0.7)好（0.7)差（0.3)差（0.3)销路好(0.9)销路差(0.1)销路差(1.0)扩建不扩建差(1.0)差(0.1)好(0.9)差(0.1)好(0.9)第一阶段（前3年）第二阶段（后7年）100-20-20100-202020406决策8投资300616-140416140416266281295.2第2步：从右想左计算各策略结点的期望值。结点④：0.9×100×7+0.1×(－20)×7=616(万元)结点⑤：1.0×(－20)×7=－140(万元)结点②：0.7×100×3﹢0.3×(－20)×3+0.7×616+0.3×(－140)=581.2(万元)581－300（建大厂投资）=281（万元）结点⑧：0.9×100×7+0.1×(－20)×7=616（万元）

6161－200（扩建投资）=416（万元）接点⑨：0.9×40×7+0.1×20×7=266(万元)接点⑦：1.0×20×7=140(万元)接点③：0.7×40×3+0.3×40×3+0.7×416+0.3×140=435.2（万元）

435.2－140(建小厂投资)=295.2(万元)

由此可知，第一阶段先建小厂，到第二阶段，根据销路的好坏。在决定扩建为大厂或维修小厂例4某工厂虽已建成投产，但根据统计，产品的销路有好、一般、差三种可能情况发生，其概率分别为0.3，0.5，0.2，可供选择的行动方案则有三个，大批量生产（A1），中批量生产（A2），小批量生产（A3）。其损益值见下表。面对这种情况，决策者应该如何选择行动方案？

差（

1）P（1）=0.3一般（2）P（2）=0.5好（3）

P（3）=0.2A1A2A3302512232012-15012状态概率收益值方案解首先计算不同策略的方案的期望值：

E（A1）=30×0.3+23×0.5+(-15)×0.2=17.5E（A2）=25×0.3+20×0.5+0×0.2=17.5

E（A3）=12×0.3+12×0.5+12×0.2=12

发现E（A1）=E（A2）问题：有两个（或两个以上）的方案都是最优期望值，这时该选取其中的哪一个呢？

2.3界差与最优方案评定

界差:即每个方案的期望值与它的收益值的下（或损失值的上界）之差。1、对于目标为最大收益问题，界差D（Ai）记作D（Ai）=E（Ai）－2、对于目标为最小损失问题，界差D（Ai）记作

D（Ai）=—

E（Ai）取其界差小的那个方案为最优方案，即若E（Ai1）与E（Ai2）相等，而D（Ai1）＜D（Ai2），则取Ai1为最优方案，若界差此时也相等，则认为这两个方案都是最优方案。

接上题，发现E（A1）=E（A2），即A1与A2的期望收益值相等，而且都是最大值。作出它们的界差：D（A1）=E（A1）－=17.5-(-15)=32.5D（A2）=E（A2）－=17.5-0=17.5D（A2）＜D（A1）,故选A2为最优方案。即采用投资方案A2的收益最大。

思考：为什么将界差小的方案作为最优方案？

3.风险决策灵敏度分析和效用理论3.1

灵敏度分析的意义

3.2转折概率

3.3

效用理论3.1灵敏度分析的意义

通常在决策模型中自然状态的概率和损益值往往由估计或预测得到，不可能十分正确，此外实际情况也在不断地变化，现需分析为决策所用的数据可在多大范围内变动，原最优决策方案继续有效。进行这种分析称为灵敏度分析，下面我们通过具体实例来进行说明。

例：假设有外表完全相同的木盒100只，将其分为两组，一组内装有白球，有70盒，另一组内装有黑球，有30盒，现从这100盒中取一盒，请你猜，如这盒内装的是白球，猜对了得500分，猜错了罚200分；如这盒内装的是黑球，猜对了得1000分，猜错了罚150分。试问猜白和猜黑行动方案，哪个是最优方案？白球

0.7黑球

0.3猜白500–200猜黑–1501000自然状态效率值行动方案132白（0.7）

黑（0.3)黑（0.3)白（0.7）

猜白猜黑500–200–150–1000在计算两个行动方案的效益值“猜白”：500×0.7＋(－200)×0.3=290“猜黑”：（－150）×0.7+0.3×1000=195通过比较，可知“猜白”方案为最优方案。

白球出现的

0.8×（－150）＋0.2×1000=80

0.8×500＋0.2×(－200)=195“猜白”：“猜黑”：通过比较，可知“猜白”方案仍最优方案。白球的概率从0.7变到0.6

0.6×500＋0.4×(－200)=220

“猜白”：“猜黑”：

0.6×(－150)＋0.4×1000=310现在的最优方案是“猜黑”

可见由于各自然状态发生的概率的变化可引起最优方案的变化。那么转折点如何确定？概率从0.7变到0.8

3.2转折概率

设P为出现白球的概率，（1－P）为出现黑球的概率。当这两个方案的期望值相等时，即

P×500+（1－P）×（－200）=P×（－150）+（1－P）×1000

求得P=0.65，称它为转折概率。即当P＞0.65，猜白是最优方案；当P＜0.65，猜黑是最优方案。例2一个资产为200万元的企业，决策是否参加火灾保险。保险费为资产金额的0.25%。发生火灾的可能性是0.1%。问该企业是否应该参加保险？0.25%×200万元=0.50万元0.1%×200万元=0.20万元3.3效用理论参加保险根据最优期望准则这是个不合理的决策不参加保险结论：当状态的概率之间的差异非常大的时候就不能使用期望值来代替一次的结果。这才是我们通常作出的选择1奖金500元2抽奖概率（20%）奖金3000元偏于保守冒险精神经济宽裕经济学家和社会学家就提出了效用概念，对于不同的人，同一种方案的“效用”不一样的。小结以上的例子说明：（1）相同的期望效益值（以货币值为量度）的不同随机事件之间其风险可能存在着很大的差异。即说明货币量的期望值不能完全反映随机事件的风险程度。（2）同一随机事件对不同的决策者的吸引力可能完全]不同，因此可能采取完全不同的决策。这与决策者个人的气质、冒险精神、经济状况、经验等等主观因素有很大关系。（3）即使是同一个人，在不同情况下对同一事件也会采取不同的态度。第4节马尔柯夫链与决策方法4.1、马尔柯夫链4.2、转移概率和转移概率矩阵4.3、状态概率向量

4.1马尔柯夫链

每一时期状态参数的概率分布只与这一时期的前一个时期实际所处的状态有关，而与更早时期的状态无关，这就是所谓马尔柯夫链。例如，在库存问题中，某种商品本月末的库存量只与该商品的本月销售和月末的库存量有关，而与以前月份的情况没有直接关系。所以，库存量的变化是一个马尔柯夫链。例1某商店有A、B、C三种品牌号的牛奶，从100名顾客购买情况的统计资料分析，前次购买A品牌号牛奶的顾客中仍有20名购买A品牌号牛奶，而有50名转向购买B品牌号牛奶，有30名转而购买C品牌号牛奶；在前次购买B品牌号牛奶的顾客中有20名转向购买A品牌号牛奶，有70名仍然购买B品牌号牛奶，有10名转而购买C品牌号牛奶；在前次购买C品牌号牛奶的顾客中各有30名转向购买A品牌号和B品牌号牛奶，只有40名仍购买C品牌号牛奶。试问:①假定一位顾客在第一天购买品牌号为A的牛奶，那么，他在第三天购买品牌号为B的概率是多少？②如果一位顾客在第一天购买B品牌号的牛奶，那么，他在第三天购买A品牌号牛奶的概率是多少？顾客数目本次购买的牌号ABC前次购买的牌号A205030B207010C303040AACBACABABCCB0.20.50.30.20.50.30.20.70.10.30.30.4第一天购买A品牌号牛奶的顾客，第三天买B品牌号牛奶的概率？0.2×0.5+0.5×0.7+0.3×0.3=0.54此马尔柯夫链的一步转移概率矩阵为求第三天的购买情况，实际上就是求此马尔柯夫链的二步转移概率矩阵

1）由上述计算结果知，第一天购买A品牌号牛奶的顾客，第三天购买B品牌牛奶的概率为0.54。

2）而第一天购买B品牌号牛奶的顾客，第三天购买A品牌号牛奶的概率为0.21。4.3、状态概率向量我们若用Si(n)表示在第n个时期处于状态Ni的概率，则称向量s(n)=(S1(n),S2(n),…,Sn(n))

为第n个时期的状态概率向量显然，状态概率向量具有以下性质1）Si（n）≥0（i=1,2,…n）2）第0个时期的状态概率S1(o)，S2(o)，…，Sn(o)等称为初始状态概率，相应的向量S(o)称为初始状态概率向量。例如:其销售状况经市场调查发现当本月处于畅销状态时，下月仍处于畅销的概率为0.6，记而由畅销转为平销，下月仍处于平销的概率，，当本月处于平销，下月仍处于平销的概率