专题08 分式方程（教师版）

知识点01：解分式方程【高频考点精讲】1．解分式方程的步骤（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。（4）合并同类项。（5）系数化为1。（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。2．换元法解分式方程（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。（2）常见类型①直接换元。例如，设。②配方换元。例如，原方程配方，得，设。③倒数换元。例如，设。④变形换元。例如，可变形为，设。知识点02：由实际问题抽象出分式方程【高频考点精讲】1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.56一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•哈尔滨）方程＝的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故选：C．2．（2分）（2023•德州）某次列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为 B．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为 C．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为 D．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为解：①∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，∴提速前这次列车的平均速度为（x﹣v）千米/小时．根据题意得：＝；②∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，∴提速后这次列车的平均速度为（y+v）千米/小时．根据题意得：＝．故选：B．3．（2分）（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故选：B．4．（2分）（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：∵每辆大货车的货运量是x吨，∴每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，依题意得：＝．故选：B．5．（2分）（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1解：+1＝，两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，系数化为1得：x＝，∵原分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1解得：m≤1且m≠﹣1，故选：A．6．（2分）（2023•广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，∴走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时．根据题意得：﹣＝．故选：A．7．（2分）（2023•东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4 C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4解：由题意得：﹣＝0.4．故选：A．8．（2分）（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．解：∵乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.2x米/分，由题意得：，故选：D．9．（2分）（2023•辽宁）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（）A．+1＝ B．﹣1＝ C．＝ D．＝解：设慢车的速度为xkm/h，根据题意可列方程为：﹣1＝．故选：B．10．（2分）（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为＝2×．解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，∴乙种劳动工具单价为（x+4）元．根据题意得：＝2×．故答案为：＝2×．12．（2分）（2023•苏州）分式方程的解为x＝﹣3．解：方程两边乘3x，得，3（x+1）＝2x，解得，x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，3x≠0，所以，原分式方程的解为：x＝﹣3．故答案为：﹣3．13．（2分）（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是x＝4．解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，∴x﹣4＝0，∴x＝4，故答案为：x＝4．14．（2分）（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度vkm/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为60km/h．解：根据题意得：＝+0.5，解得v＝60，经检验，v＝60是原方程的解，∴原计划的速度v为60km/h；故答案为：60．15．（2分）（2023•建华区三模）若关于x的分式方程﹣1＝有正数解，求m的取值范围m＜﹣且m≠﹣．解：分式方程两边同时乘以x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），整理，得（2m+1）x＝﹣6，解得x＝﹣，∵方程有正数解，∴＜0，解得m＜﹣，∵x≠0，x≠3，∴≠3，则m≠﹣，∴m的取值范围是m＜﹣且m≠﹣，故答案为：m＜﹣且m≠﹣．16．（2分）（2023•南海区模拟）分式方程的解是x＝．解：去分母得：x+2﹣1＝6﹣2x，解得：x＝，检验：把x＝代入得：x﹣3≠0，∴分式方程的解为x＝．故答案为：x＝．17．（2分）（2023•高新区模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是a≥﹣2且a≠1．解：，去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．去括号，得x＝a﹣2x+2．移项，得x+2x＝a+2．合并同类项，得3x＝a+2．x的系数化为1，得x＝．∵关于x的分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1．∴a≥﹣2且a≠1．故答案为：a≥﹣2且a≠1．18．（2分）（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣5且m≠﹣3．解：，去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，系数化为1得：x＝5+m，∵x﹣2≠0，∴x≠2，即5+m≠2，∴m≠﹣3，∵解为非负数，∴x＝5+m≥0，∴m≥﹣5，∴m≥﹣5且m≠﹣3．故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．19．（2分）（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为13．解：解不等式组，得：，∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案为：13．20．（2分）（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为35．解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≥a﹣5，∵关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，∴a﹣5≤2，∴a≤7，，去分母得：5y﹣a＝﹣2（y﹣2）+3y+1，5y﹣a＝﹣2y+4+3y+1，∴y＝≥0，∴a≥﹣5，∴﹣5≤a≤7，∵y≠2，∴≠2，∴a≠3，∵关于y的分式方程的解为非负整数，∴5+a＝0或5+a＝4或5+a＝8或5+a＝12，∴a＝﹣5或﹣1或7，∴所有满足条件的整数a的值之积为：﹣1×（﹣5）×7＝35．故答案为：35．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•镇江）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式组：．解：（1）方程两边同时乘以（x+3），得2x+1＝1+x+3，解得x＝3，检验：当x＝3时，x+3≠0，∴x＝3是原方程的解；（2），解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥1，∴原不等式组的解集是1≤x＜2．22．（6分）（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？解：（1）根据题意得：＝，解得：x＝600，经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．答：x的值为600；（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，解得：m≥6，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），即w＝1400m+48400，∵1400＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．23．（8分）（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．24．（8分）（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整数a最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个．25．（8分）（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，根据题意得：，解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．26．（8分）（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，由题意得：＝×2，解得：a＝10，经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，a﹣1＝9，答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①由题意得：，解得：120≤x≤210，∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，∵3＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+