北京市和平街一中学2023-2024学年数学九年级上册期末监测模拟试题含解析

北京市和平街一中学2023-2024学年数学九上期末监测模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.若抛物线y=（x-m）2+（m+l）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）

A.m>lB.m>0C.m>—1D.—l<m<O

2.一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中2个红球，6个白球.从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球

是白球的概率为（）

31I1

A.—B.-C.一D.-

4348

BM4

3.如图，在RtZ∖A8C中，NAcB=90。，AC=6,BC=S,点M是45上的一点，点N是CB上的一点，——=-,

CN3

当NCAN与aCM8中的一个角相等时，则8M的值为（)

QQ

A.3或4B.-或4C.-或6D.4或6

33

4.若点（xι,yι）,（X2,y2）都是反比例函数y=9图象上的点，并且yι<0Vy2,则下列结论中正确的是（）

X

A.xι>×2B.X1<X2C.y随X的增大而减小D.两点有可能在同一象限

5.如图，CD是。。的直径，已知Nl=30°,则N2等于（）

A.30oB.45oC.60oD.70°

6.若二次函数y=aχ2+bx+c的X与y的部分对应值如下表，则当x=l时，y的值为（）

X-7-6-5-4-3-2

y-27-13-3353

A.5B.-3C.-13D.-27

k

7.如图，若点P在反比例函数y=-（k≠0）的图象上，过点P作PMJ_x轴于点M,PNJ_y轴于点N,若矩形PMON

X

的面积为6,则k的值是（）

A.-3B.3C.-6D.6

8.如图，在平直角坐标系中，过X轴正半轴上任意一点P作），轴的平行线，分别交函数y=［（χ>O）∖）=-B（x>O）

的图象于点A、点8.若C是）'轴上任意一点，则ΔABC的面积为（）

A.^AFDB.4FEDC.AAEDD.不能确定

10.若关于X的一元二次方程/+6χ+Z=O有两个相等的实数根，则后的值为（）

A.10B.9C.8D.6

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，AB是。的直径，PB是）0的切线，PA交。于点C,Λ4=4cm,PB=3cm,则BC=

r2丫2ι212

12.如果记/(X)=上z，/(I)表示当χ=ι时—工的值，即/⑴=_J=_L；/(2)表示当％=2时一二的值,

1+Xɪ^4~Xɪ+12ɪ-∣-X

224表示当X=；时,

即/⑵F=丁那么

/(1)÷∕(2)÷∕(1)÷∕(3)÷∕[1]÷÷∕(2020)+∕⅛j=------------------

13.已知二次函数N=G+"+c("*0)的图象如图所示，并且关于X的一元二次方：以2+法+°一加=0有两个不相

等的实数根，下列结论：①尸—4αc<0;②。一8+。<0；③而c>0；④〃z≥-2,其中正确的有

14.如图，在平面直角坐标系中，菱形"4BC的面积为12,点3在y轴上，点C在反比例函数尸人的图象上，则M

X

15.菱形ABCD的周长为20,且有一个内角为120。，则它的较短的对角线长为.

16.如图，在RtAABC中，ZBAC=90o,且BA=6,AC=8,点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM_LAB

于点M,DNLAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.

A

.v.

B

17.如图,AB是。O的直径,AC是。O的切线,A为切点,连接BC交。O于点D,若NC=50。,则NAOD=

18.从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t-5t2（0≤t≤6）,

则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是米.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，已知二次函数y=χ2+0c+3的图象经过点P（-2,3）.

（1）求。的值和图象的顶点坐标。

（2）点QwM在该二次函数图象上.

①当加=2时，求〃的值；

②若Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出〃的取值范围.

20.（6分）万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3

件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元.

（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？

（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展

销会.外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行

降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了0%,该经销商购进甲的数量比原计划增加了2α%,乙的出厂单价没有改变,

该经销商购进乙的数量比原计划减少了妾％,结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求"的值

(α>0).

21.（6分）如图1.在平面直角坐标系Xoy中，抛物线C与=0√+bχ+c与X轴相交于A,5两点，顶点为

D（0,4）MB=4√2,设点厂（仪0）是X轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点f旋转180。，得到新的抛物线C'.

（1）求抛物线C的函数表达式：

（2）若抛物线。与抛物线C在）'轴的右侧有两个不同的公共点，求加的取值范围.

（3）如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线。上的对应点P,设M是

C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出加的值；若不能，请说明理由.

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=χ2+bx+c的图象与X轴交于A、B两点，B点的坐标为（3,0）,与

y轴交于点C（0,-3）,点P是直线BC下方抛物线上的任意一点。

⑴求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式。

（2）连接PO,PC,并将APOC沿y轴对折，得到四边形PoP如果四边形PoPC为菱形，求点P的坐标。

23.（8分）如图，已知AABC中，ZACB=90o,AC=4,8C=3,点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN,

将AAMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A'.

图⑴图⑵图(3)

(1)如图1,若点A'恰好落在边AB上，KAN=-AC,求AM的长;

2

(2)如图2,若点4'恰好落在边BC上，且4'N//AC.

①试判断四边形AMA'N的形状并说明理由;

②求AM、MN的长;

(3)如图3,设线段NM、BC的延长线交于点尸，当现=3且处=9时，求Cp的长.

AB5AC7

24.(8分)已知：在RtA4BC'中，ZBAC=90o,AB=AC,点。为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点(不与

点C,点。重合)，连接AM,将线段绕点M顺时针旋转90。，得到线段ME,连接EC.

(1)如图1,若点M在线段BQ上.

①依据题意补全图1;

②求NMCE的度数.

(2)如图2,若点M在线段。上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关

系.

25.(10分)矩形ABCD中，AB=2,AD=3,O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作。O,过点B作。O

的切线BF,F为切点.

（1）如图1,当。O经过点C时，求。O截边BC所得弦MC的长度；

（2）如图2,切线BF与边AD相交于点E,当FE=FO时，求r的值;

（3）如图3,当。O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H,⅛∆BCH,四边形HFoD、四边形FOAB的面

S,+S-,

积分别为Si、S2、S3,求一⅛一的值.

26.（10分）如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角

是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角NFAE=30。，求大树的高

度（结果保留根号）.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【分析】利用y=aχ2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大

于0列出不等式组.

【详解】顶点坐标（m,m+D在第一象限，则有

m>0

加+1〉。解得：m>°，

故选B.

考点：二次函数的性质.

2、A

【解析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率.

【详解】解：因为一共有8个球，白球有6个，

所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为9=3，

84

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

3、D

【分析】分两种情形：当NeW=NB时，NCANSNCBA,设。V=3Z,BM=4k,可得g=*，解出上值即可;

ACCD

当NCW=NMeH时，过点Λ/作""_LC3,可得AC4NSMAC,得出M"=∕A,BHWk,则。”=8-磬，

证明ΔAOVSACHW,得出方程求解即可.

【详解】解：在RtZVlSC中，NACS=90。，AC=I,BC=8,

：.ZCMB>ZCAB>ZCAN,AB=IO,

:.ZCAN≠ZCAB9

没CN=3k,BM=4k,

①当NeW=ZB时，可得ACWSACBA,

.CNAC

―^C~~CB9

3k6

..—=-,

68

..k,——3,

2

：.BM=6.

②当NeAN=NΛ∕C3时，如图2中，过点M作MHJLCB,可得ABMHSMAC,

4k_MH_BH

K)

.∖MH=-k9BH=-k9

.∙.CW=8-y⅛,

ZMCB=ΛCAN9ZCHM=ZACN=90°9

:2CNS^CHM,

.CNMH

-AC^C7∕,

.,.k=∖ι

.∙.BM=4.

综上所述，80=4或1.

故选：D.

【点睛】

本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三

角形解决问题.

4、B

【解析】根据函数的解析式得出反比例函数>=-勺的图象在第二、四象限，求出点（I,Ji）在第四象限的图象上，

X

点（处，yι）在第二象限的图象上，再逐个判断即可.

【详解】反比例函数y=—9的图象在第二、四象限.

X

∙.∙W<O<%,.∙.点（xι,以）在第四象限的图象上，点（X】，ʃɪ）在第二象限的图象上，.∙.xι>0>xι.

A.xι>xι,故本选项正确；

B.Xι<Xι,故本选项错误；

C.在每一个象限内，y随X的增大而增大，故本选项错误；

D.点（不，Ji）在第四象限的图象上，点（xι,W）在第二象限的图象上，故本选项错误.

故选A.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，能熟记反比例函数的性质是解答此题的关键.

5、C

【解析】试题分析：如图，连接AD.；CD是。O的直径，.∙.NCAD=90。（直径所对的圆周角是90。）；

oo

在RtAABC中，ZCAD=90,Nl=30。，ΛZDAB=60i又TNDAB=N2（同弧所对的圆周角相等），

ΛN2=60°

考点：圆周角定理

6、D

【分析】由表可知，抛物线的对称轴为X=-3,顶点为(-3,5),再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把χ=l

代入即可求得y的值.

【详解】设二次函数的解析式为y=a(x-h>+k,

当X=Y或—2时，y=3,由抛物线的对称性可知h=—3,k=5,

.,.y=a(x+3)2+5»

把(-2,3)代入得，a=-2,

二次函数的解析式为y=-2(x+3)2+5,

当x=l时，y=-27.

故选D.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为X=-3,顶点为

(-3,5),是本题的关键.

7、C

k

【解析】设PN=a,PM=b,则ab=6,点在第二象限，.'.P(-a,b),代入y=—中，得k=-ab=-6,故选C.

X

8、C

【分析】连接04、OB,利用A的几何意义即得答案.

一3.

【详解】解：连接。4、OB9如图，因为AbJ轴，贝轴，S^oap=~,S即OP=3,SMBC=SNOB，所以

39

s^ABC=]+3=∕∙

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数A的几何意义，属于常考题型，熟知我的几何意义是关键.

9、A

【分析】根据题意直接利用三角形三边长度，得出其比值，进而分析即可求出相似三角形.

【详解】解：∙.∙AF=4,DF=4√2,AD=4√5,AB=2,BC=2√2»AC=2√5.

.AFDFAD

••一——乙,

ABABAC

AFDs△ABC.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定以及勾股定理，由勾股定理得出三角形各边长是解题的关键.

10、B

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式a=b2-4ac=0,建立关于k的等式，求出k.

【详解】解：Y方程有两个相等的实数根，

△=b2-4ac=62-4×l×k=36-4k=0,

解得：k=l.

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的情况与判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞（）时，方程有两个不

相等的实数根；（2）△=（）时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜（）时，方程没有实数根.

二、填空题（每小题3分,共24分）

ικ也

4

【分析】因心是。的切线，利用勾股定理即可得到AB的值，AB是。的直径，则AABC是直角三角形，可证

得^ABCS∕SAPB,利用相似的性质即可得出BC的结果.

【详解】解：•・•依是O的切线

：,ZABP=90o

•：PA=Acm,PB=3cm

ΛAB2+BP2=AP2

ΛAB=√7

∙.∙AB是。的直径

二ZACB=90o

在aABC和aAPB中

NBAP=NBAP

ZACB=ZABP

Λ∆ABC<^∆APB

.BCAB

''~BP~~AP

.BC√7

••----=----

34

：.BC=近

4

故答案为：逆

4

【点睛】

本题主要考查的是圆的性质以及相似三角形的性质和判定，掌握以上几点是解此题的关键.

4039

12、

2

【分析】观察前几个数,“2)+/出=1,”3)+吗)=1,,依此规律即可求解.

•・•〃2)+佃=1,

"（2。2。）+/（贵）

=1,

I2

∙,∙∕(1)=ʌɪ

v,1+122

"(2)+V()+/圉+/()+佃+2(W(4039

)++2019个I=

,UO2θJ22

4039

故答案为:

2

【点睛】

此题考查了分式的加减运算法则.解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律.

13、③

【分析】①利用△=〃-4αc可以用来判定二次函数与X轴交点个数，即可得出答案；②根据图中当X=T时>的

值得正负即可判断；③由函数开口方向可判断”的正负，根据对称轴可判断b的正负，再根据函数与y轴交点可得出

C的正负，即可得出答案；

④根据方程αr2+Z>x+c-m=0∏T以看做函数y=ɑ?+bx+c-/〃，就相当于函数y=ɑf+云+c（gθ）向下平移m

个单位长度，且与X有两个交点，即可得出答案.

【详解】解：①•；函数与X轴有两个交点，

.∙.A=4αc>0,所以①错误;

②T当X=-I时，y=α"+j由图可知当X=T,y>0,

：.a-b+c>0,所以②错误；

③：函数开口向上，

∙∙Q>0,

b

*•*对称轴X=----->0,α>0,

2a

Λft<0,

∙.∙函数与y轴交于负半轴，

.∙.c<0,

：.abc>0,所以③正确；

④方程OX2+bx+c-帆=O可以看做函数y=0χ2+反+C-相当y=0时也就是与X轴交点，

•••方程有两个不相等的实数根，

二函数y=ox?+Zzx+c-根与X轴有两个交点

••・函数y=ox?+云+c-就相当于函数），=加+法+c（α*0）向下平移，"个单位长度

...由图可知当函数），="2+bx+c（αX。）向上平移大于2个单位长度时，交点不足2个，

所以④错误.

正确答案为:③

【点睛】

本题考查了二次函数与系数以b、C的关系：△=〃-4ac可以用来判定二次函数与X轴交点的个数，当/>0时，

函数与X轴有2个交点；当A=O时，函数与X轴有1个交点；当/<0时，函数与X轴没有交点.；二次函数系数中“

决定开口方向，当a>0时，开口向上，当α<0时，开口向下；。、人共同决定对称轴的位置，可以根据“左同右异”

来判断；C决定函数与y轴交点.

14、-6

【解析】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点

∣b2k2K

C的坐标为（苍一c）,则点A的坐标为（一/一）,点B的坐标为（0,一）,因此AC=-2x,OB=p,根据菱形的面积等于对角线

XXXX

乘积的一半得：

1,2k

S菱形OABC=2X（-2x）×-=12,解得k=-6.

15、1

【分析】根据菱形的性质可得菱形的边长为1,然后根据内角度数进而求出较短对角线的长.

A

如图所示：菱形ABCD的周长为20,

ΛAB=20÷4=l,

又ZABC=120°,四边形ABCD是菱形，

.∙.ZA=60°,AB=AD,

•••A4SD是等边三角形，

.∙.BD=AB=I.

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及等边三角形，关键是熟练掌握菱形的性质.

24

16、—

5

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD,根据垂线段最短和三角形面积即可

解决问题.

【详解】解：VZBAC=90°,且BA=6,AC=8,

:∙BC=√BA2+AC2no，

∙.∙DMJLAB,DN±AC,

.∙.NDMA=NDNA=NBAC=90°,

二四边形DMAN是矩形，

ΛMN=AD,

二当AD1.BC时，AD的值最小，

此时，AABC的面积=LABXAC=LBCxAD,

22

ABAC24

..AD=------------=—,

BC5

.∙.MN的最小值为彳；

24

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

17、80°

【详解】解：∙.∙AC是。O的切线，

ΛAB±AC,

VZC=50o,

ΛZB=90o-ZC=40o,

VOA=OB1

.∙.NODB=NB=40°,

ΛZAOD=80o.

故答案为80°.

18、1

【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长.

【详解】解：∙.∙h=30t-5t2=-5(t-3)2+45(0≤t≤6),

.∙.当t=3时，h取得最大值，此时h=45,

二小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45+∣45-(30×4-5×42)]=1(米)，

故答案为1.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长.

三、解答题(共66分)

19、(1)(-1,2)；(2)①11；(2)2≤Π<11.

【解析】(1)把点P(-2,3)代入y=χ2+ax+3中，即可求出a；

(2)①把m=2代入解析式即可求n的值；

②由点Q到y轴的距离小于2,可得-2VmV2,在此范围内求n即可.

【详解】⑴解：把P(-2,3)代入y=χ2+αr+3,得3=(-2)2-2α+3,

解得Q=2.

∙*y=x~+2x+3=(x+l)+2,

∙∙.顶点坐标为(一1,2).

(2)①当m=2时，n=ll,

②点Q到y轴的距离小于2,

Λ∣m∣<2,

Λ-2<m<2,

Λ2≤n<ll.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键.

20、(1)甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元；(2)。的值为15.

【分析】(1)设甲、乙商品的出厂单价分别是X、N元，根据价格关系和总价相同建立方程组求解即可；

(2)分别表示出实际购进数量和实际单价，利用单价X数量=总价，表示出甲乙的总价，再根据实际总货款与原计划

相等建立方程求解.

【详解】解：(1)设甲、乙商品的出厂单价分别是X、y元，

2x-3yX=90

则1解得

[3%-2y=150y=60

答:甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元.

(2)由题意得：

200×90+800×60=90(1-4%)X200(1+2«%)+60×8001柒。

解得：4=0(舍去)，4=15.

答：”的值为15.

【点睛】

本题考查二元一次方程组和一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系，建立方程是解题的关键.

2⑶四边形可以为正方形，

21>(l)y=-jx+4;(2)2<W<2√2;PMPNm=6

【分析】(1)由题意得出A,B坐标，并代入A,B,。坐标利用待定系数法求出抛物线C的函数表达式；

(2)根据题意分别求出当C'过点。(0,4)时m的值以及当C'过点8(2JlO)时m的值，并以此进行分析求得；

(3)由题意设。(〃,〃)，代入解出n,并作HK_LOF,PHLHK于H,利用正方形性质以及全等三角形性质得出

M为(加一2,2一m)，将"代入C:y=—；f+4即可求得答案.

【详解】解：⑴AB=442

.∙.A(-2√2,0),B(2√2,0)

将A三点代入得y=4χ2+bx+c

「L[1

8α-2√Σb+c=0.a=~2

<Sa+2λ∕2∕?+c=0.解得<h=0

c=4c=4

...γ=-l^+4s

2

关于尸（仇0）对称的抛物线为

Cf:y=；（1一2加『-4

当C过点O（0,4）时有4=g（0_2m）2-4

解得:利=2

12

当C'过点B（2√Σ,0）时有0=］（2五-2〃?）-4

解得：％=20

2<m<2\/2;

（3）四边形PMP'N可以为正方形

由题意设

P是抛物线C第一象限上的点

.∙.--H2+4=〃

2

解得:ni=2,n2=-2(舍去)即P(2,2)

如图作“KLOE,PH±HK于H,

MK上HK于K

四边形PMPN为正方形

易证-PHK-FKM

:.FK=HP=m-2

MK=HF=2

.1M为(机-2,2-:〃)

1,

将M代入C:^=-5/+4得

2-m=—y(m-2)^+4

解得:叫=6,啊=0(舍去)

当m=6时四边形PMP,N'为正方形.

【点睛】

本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关

系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.

22、(1)二次函数的解析式为y=f-2x-3;(2)P(2+^θ,-∣)时，四边形PoP(为菱形.

【分析】(1)将点B、C的坐标代入解方程组即可得到函数解析式;

3

(2)根据四边形PoP(为菱形，得到PP_LOC,且PP与OC互相垂直平分，可知点P的纵坐标为-己，将点P

2

的纵坐标代入解析式即可得到横坐标，由此得到答案.

【详解】⑴将点B(3,0)、C(0,-3)的坐标代入y=χ2+bx+c,得

9+3b+c=Qfb=-2

C=—3[c=—3

.∙.二次函数的解析式为j=√-2%-3i

(2)如图,

令y=X?—2x—3中x=0,得y=-3,

ΛC(0,-3)

•••四边形POPT为菱形,

ΛPP,±OC,且PP与OC互相垂直平分,

3

.∙.点P的纵坐标为-巳，

2

当y=时，x^—2x—3=,

22

2+√102-√W

得:寸一=∙^-

•••点P是直线BC下方抛物线上的任意一点,

此题考查二次函数的待定系数法求解析式、菱形的性质，(2)根据菱形的对角线互相垂直平分得到点P的纵坐标，由

此解答问题.

23、(1)ɪ;(2)①菱形，理由见解析；②AM=",MN=±@O;(3)1.

299

【分析】(D利用相似三角形的性质求解即可.

(2)①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

②连接A4'交MN于。设AM=MA'=x,由K4'//AB,可得丝±=C”，由此构建方程求出x,解直角三角

ABCA

形求出OM即可解决问题.

(3)如图3中，作NH_LBC于从想办法求出N”，CM,利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可.

【详解】解：(1)如图1中，

在RtZUBC中，VZC=90o,AC=4,BC=3,

2222

.∙.A5=yJAC+BC=√4+3=5，

VZA=ZA,NANM=NC=90°,

Λ∆A2VM∞∆ACB,

.ANAM

1

,:AN=-AC

2

,}_AM

••一=，

25

图⑴

(2)①如图2中，

`:NA'//AC,

.,.ZAMN=ZMNA',

由翻折可知：MA=MA',NAMN=NNMA',

J.ZMNA'=ZA,MN,

：.A'N=A1M,

.,.AM=A'N,`:AM//A'N,

.∙.四边形AMA'N是平行四边形，

'：MA=MA',

.∙.四边形AMA'N是菱形

②连接AA'交MN于0.设AM=M4'=X9

`:MA'//AB,

:.ABCSMA1C

.MA'_CM

''~AB~~CA'

.X_4-X

••=,

54

解得X=等，

.∙.AM=竺

9

：.CM=—,

9

22

--CA'=y∣MA-CM=

:网式号痴,

∙"'AA'=√AC2+C4'2=

Y四边形AM4'N是菱形,

OA=OA'=^θ,

.,.AA'A_MN,OM=ON,

3

Γ20?(2√10Y2√Γ

・八・，/___C_

/.OM=√AMz-

√io

：.MN=IOM=-

^9-,

BAfC

图⑵

(3)如图3中，作NHJ_8C于//.

NH//AC9

.∙.ZkABCsZsNBH

NH_g/V_BH

AC^Afi

NH_2_BH

86

NH=-,BH=-,

55

69

CH=BC-BH=3--=-,

55

624

AΛf=—AC=—，

77

244

CM=AC-AM=4------=—,

77

CM//NH,

∆CPM<×>∆HPN

PC_CM

TH~~NH,

PC=I.

图(3)

【点睛】

本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强,

难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点.

24、(1)①见解析；②NMCE=NF=45°；(2)AC-CE=gCM

【分析】(1)①依据题意补全图即可；②过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F,利用同角的余角相等，得

到NFMA=NCME,再通过等腰三角形的判定得到FM=MC再通过判断AFWMACME,得到NMCE的度数.

(2)通过证明AEWMACME,得到AF=EC,将AC—CE转化为AC-AF=JFC,再在RtAFMC中，利用边

角关系求出FC=近CM，即可得到AC—CE=0CΛ/.

【详解】（1）①补全图L

■MP/C

ε

②解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F

VFM±BC

：•ZFMC=90°

ΛZFMA+ZAMC=90o

Y将线段AM绕点M顺时针旋转90。，得到线段ME

ΛZAME=90o,AM=ME

ΛZCME+ZAMC=90o

ΛZFMA=ZCME

VZBAC=90o,AB=AC,

ΛZFCM=45o

ΛNF=NFCM=45。

ΛFM=MC

在AFMA和ACME中

FM=MC

</FMA=/CME

AM=ME

：.∖FAM≥∖CME

：.NMCE=NF=45。

（2）解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F

^一•卜∙V

・onC

VFM±BC

：.ZFM