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文档简介
空间向量与立体几何
难点:1.没有三垂直如何建系
2.点的坐标非常难求
3.不适合建系时还是要有几何法
一、利用线面垂直建系
【例1】如图,四棱锥P-ABC。中,底面ABC。,底面ABCD是平行四边形,AB=2,8O=4,
8c=2逐,若平面ADP和平面所成的锐二面角余弦值为与,求PB的长.
【例2】如图,四棱锥P—ABCO中,PA±JgffiABCD,BC^CD^2,AC=4,ZACB=ZACD=-,F为
3
PC中点,AFL所,求R4的长.
总结:_________________________________________________________________
二、利用面面垂直建系
【例3】如图,在以A、B、C、D、E、E为顶点的五面体中,底面为正方形,AF=2FD,
ZAFD=90°,且二面角O—A厂—E与二面角-尸都是60°
(1)证明:平面4跳户_1_平面EFOC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.”
A
总结:_________________________________________________________________
三、利用线线垂直建系
【例4】三棱柱ABC—AgG中,钻,4?,48=4。=2,侧面8。。4为矩形,幺"=石,二面角
A-8C-A的正切值为:,求侧棱A4的长.
总结:_________________________________________________________________
四、先几何分析再建系
【例5】在矩形ABCD中,48=4后,4。=26,将八钻。沿6。折起,使得点A折起至A,,设二面
角A'-B0-。的大小为。,当cos,=工时,求BC与平面A'B。所成角的正弦值.
总结:_________________________________________________________________
五、两种方法处理线面角
【例6】如图,四棱锥P-ABC。中,侧面PAO为等边三角形且垂直于底面ABC。,AB=BC=-AD,
2
NB4D=NA8C=90,点M在棱PC上,且直线8W与底面ABCD所成的角为45°,求二面角
A/-AB—。的余弦值.
总结:_________________________________________________________________
六、求二面角范围
【例7】如图,在梯形ABCD中,AB//Cr>,AO=OC=C5=l,NABC=60,四边形ACFE为矩形,平
面AC/石,平面ABC。,CF=1.
(1)求证:平面ACFE;
(2)点M在线段EE上运动,设平面与平面FCB所成二面角的平面角为6(。<90),试求cos。
的取值范围.
A
总结:_________________________________________________________________
七、冷门条件如何处理
【例8】四棱锥P-ABC。中,P4,平面ABC。,底面ABC。是边长为1的正方形,过且与直线PC
垂直的平面交PC于点E,当三棱锥E-3C。的体积最大时,求二面角E-3。-。的大小.
总结:_________________________________________________________________
八、几何法更简单
【例9】如图,DC1平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2,ZACB=120,P、Q分别为AE.A8的中
点.
(1)证明:尸。//平面48;
(2)证明:平面AQE_L平面ABE;
(3)求AO与平面ABE所成角的正弦值.
【例10]如图所示,已知三棱锥P-ABC中ZAC8=90,5C=4,A8=2O,0为A3中点,且APDB是
等边三角形,PALPC.
(1)求证:平面巳4。_1_平面28。;P
(2)求二面角。-AP-C的正弦值./1\
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