2023-2024学年北京市房山区高一年级上册期末教与学诊断数学试题（含答案）

2023-2024学年北京市房山区高一上册期末教与学诊断数学试题

一、单选题

1.已知集合A=N石<3卜8={x|2x—140},则AB=()

A.1

C.\x-3<x<—D.{xg<x<9

[2

【正确答案】A

【分析】求解不等式，明确集合的元素，根据集合交集运算，可得答案.

【详解】由4<3,则0<xv9,即厶={川0«工<9},由2x—140,则xW；,即3=［工卜

Ac8=（d（）,

故选：A.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,y）上单调递增的是（）

A.yB.y=ewC.y=|ln%|D.y^x-l\

|x|

【正确答案】B

【分析】根据函数图象的性质一一判断即可求解.

【详解】对于A,y=上为偶函数，且当了€（0,y）时〉=丄单调递减，故A错误；

对于B,>为偶函数，且当工6（0,+00）时〉=/单调递增，故B正确；

对于C,y=|lnx|的定义域为（0,+oo）,所以函数为非奇非偶函数，故C错误；

对于D,y=|x-l|在（―』）单调递减，卩，田）单调递增，故D错误.

故选:B.

3.2022年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，

政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件4="他选择政

治和地理“，事件8="他选择化学和地理”，则事件A与事件8（）

A.是互斥事件，不是对立事件B.既是互斥事件，也是对立事件

C.既不是对立事件，也不是互斥事件D.无法判断

【正确答案】A

【分析】由互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.

【详解】事件A和事件B不能同时发生，，事件A和事件8是互斥事件；

该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择，，事件A和事件B不是对立事件；

综上所述：事件A和事件B是互斥事件，不是对立事件.

故选：A.

4.如果且a+力>0,那么以下不等式正确的个数是()

①②丄<\；③〃>加；(4)2^</??.

aba

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可.

【详解】由“〉0>8知，b<0.又a+h>0,a>-b>0,

222

a>(询2,即a>b.

.又。>0,・・a，>ab~>

.〃<O,a2b<b3f

故①正确，③正确，④也正确，

又丄>0,1<0,故②错误.

ab

故选：C.

5.已知函数/(»=(…)(x-l)(其中的图象如图所示，则函数g(x)=a*+b的图象

【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.

/(0)<0曲<0⑴

【详解】由图象可知/(1)>0,所以•(1-4)(1-份>0⑵

(-1-^)(-1-/>)<0(3)

因为。>分，所以由⑴可得：a>0>b,由(3)可得：一1一%>0,所以人<-1,

由(2)可得：l-a>0,所以avl,

因此有b<T<0<a<l,所以函数g(x)=a*+Z>是减函数，

g(0)=l+6<0,所以选项A符合.

故选：A.

6.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶,

小明依次购买3个盲盒，则他能集齐这2种玩偶的概率是()

A.-B.1C.-D.-

4884

【正确答案】D

【分析】设两种玩偶对应的盲盒分别为。、b,列举出所有的基本事件，并确定所求事件所

包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设两种玩偶对应的盲盒分别为。、匕，小明依次购买3个盲盒，所有的基本事件有：

aaa、aab、aba>baa,abb、bab、bbabbb,共8种，

其中，事件“这2种玩偶齐全”所包含的基本事件有：aab、aba>baa,abb、bab、bba,

共6种，

故所求概率为

84

故选：D.

7.最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.

近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效

控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计

的甲、乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是()

上人数

2000-------------------------------------------

1800----------▲------------------------------------

1600-----------------

1200------------------•------------------------->--.甲

80。-------------------------------▲乙

O1~2~3~4~5~6~彳天気

A.甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数

B.甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差

C.甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数

D.甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差

【正确答案】C

【分析】根据题意分别求甲乙监测点的平均人数，极差，中位数及方差判断即可.

【详解】对于A：甲检测点的平均检测人数为

2000+1600+1200+1200+800+1600+1200,一，-

----------------------------------------------------------»1371.43

7

„,*'n।AZ•人THi1600+1800+1600+800+1200+800+1600...,

乙检测点的平均检测人数为-------------------------------------«1342.86

故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故A正确；

对于B:甲检测点的数据极差2000-800=1200

乙检测点的数据极差18(X)-8(X)=1(XX),故B正确；

对于C:甲检测点数据为800,1200,1200,1200,1600,1600,2000,中位数为1200,

乙检测点数据为800,800,1200,1600,1600,1600,1800,中位数为1600,故C错误；

对于D：通过观察平均数附近数据个数，极差等或计算甲乙数据的方差，

都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强，

故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差，故D正确.

故选：C.

8.已知/(X)=x2-2x.若对于依,吃«"?，加+1］，均有/(芭+1)*/(9)成立，则实数”，的

取值范围是()

11

A.(-oo,0]B.-00,—C.—,+00D.[l,4w)

22

【正确答案】C

【分析】将/a+1)2”々)成立转化成,“x+iL恒成立的问题，构造函数

/z(x)=/(x+l),然后分类讨论，即可求出m的取值范围.

【详解】解：由题意

在y(x)=x2-2x中，对称轴x=-f^=l

函数在(-8,1)上单调减，在(1,+8)上单调增

/(x+l)=(x+l)2-2(x+l)=x2-l,

,对于,均有fE+1)2/(七)成立

即对于«〃?，机+1］，均有/(x+l)min=(/—1%之/(力皿=1一21)1nJ亘成立

在〃(1)=/(x+1)=f—1中，对称轴x=--------=0,

xx1

函数在(-8,0)上单调减，在(0,+8)上单调增

当加+140即"2«-1时，

函数h{x)在［机m+1］上单调减

函数/(%)在〃?+1]上单调减

"(x)min=(机+1)2一1=机？+26

J\丿max=nr-2m

.*"m~2+2m>m~2-2m

m<-\

解得777=0

fm+l〉0

当〈八，即一Ivmv°时，

〃2<0

函数厶(“在［加,0)上单调减，在(0,〃?+1］上单调增

函数f(X)在恤,m+l］上单调减

Z.h(x\.=02-1=-1

\/min

f(x)=nr-2m

J\/max

.-l>/n2-2m

解得m=0

fm>0rrrr

当即相=0时，[〃£〃2+l]=[0,l]

函数〃(用在［0』上单调增

函数“X)在［0,1］上单调减

♦•"(力価=02—1=-1

/(X)皿="。)=。2-。=0

AA(x).=-l</(x)=0

x/nun''\/max

故不符题意，舍去.

当，―2—即0<〃2<丄时

m>02

函数〃(x)在上几根+1］上单调增，〃(x)而n=>一1

函数/(X)在上几1)上单调减，在。,加+1］上单调增，〃力3=〃间=〃，一2机

in1-l>m2-2m

・'・"1

0<m<—

2

解得m=0

m+in+\.

------------->11

当《2即一<V1时

m<\

函数〃(x)在，租+1］上单调增，厶(力両=〃-1

函数/(x)在卜%」)上单调减，在。，机+1］上单调增，/(回皿=/(m+1)=裙-1

此时，人⑺而n="7=〃x)g

符合题意

当"221时，

函数/?(%)在［也m+1］上单调增

函数/'(x)在，m+1］上单调增

“"max=/(机+1)=(m+1)2-2(机+1)=田_］

此时〃

.••721符合题意

综上，实数加的取值范围是

故选：C.

本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合

性.

9.已知。>1,b>\,且lna+41n6=2,则log“e+log〃e"的最小值为()

2125

A.91g2B.—C.—D.12

22

【正确答案】C

【分析】变换得到log.e+log”4=；x(lna+41n6)jJ-+言］，再利用均值不等式计算得到

2\lnainb)

答案.

14

4

【详解】logfle=--,log；,e=—,因为a>l,b>lf故lna>0,lnZ?>0,

14

In。InZ?

1(「41nZ?4IntiA1f__.141nb41na)25

=-x17+-------+-------->-x17+2J----------------=—

2VInInb丿2(2Ina\nhJ2

2

当且仅当lna=ln〃0寸，即“=〃=/时等号成立.所以bg.e+log,/的最小值为耳.

故选：C

10.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率厶回收周期数〃为定值的情况下，每期期

末取出的资金A为多少时，才能在第〃期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公

式为.A=P.尹？；某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利

(1+0-1

率为10%,若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在()年内能全部收回本利

和.(Igl1=1.04,lg5«0.70,lg3ao.48)

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】C

【分析】根据题意，将对应的数据代入计算公式，化筒整理后两边同时取对数，计算即可求

解.

【详解】由题意，知A=8.25万元，P=33万元，，=10%,

由公式可得8.25=33、號幣牛，整理得(步总

U十U.1丿-11U3

等式两边取对数，得”空出=姮出。"3=5.5

中'隕办1寸lgl|_igiolgll-11.04-1

故选：C.

二、填空题

11.已知a=90',/7=3g,c=log40.3,则a,加c的大小关系是.

【正确答案】c<a<b

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可求解.

【详解】因为=30-2<3a4，且901>0,所以0<。<匕,

又因为1呜0.3〈1呜1=0,所以,<0,

所以cya<6,

故答案为：，•<“<).

21

12.求产脸5—273xlog|-的值为___________.

2X

【正确答案】13

【分析】由指数与对数的运算性质、对数恒等式、对数的换底公式进行运算即可.

【详解】原式=2~2*5—(33月胃=8乂5-/、口=40—32、%

''i„l怆2‘Tg2

=40-9x1^-=40-9x^^=40-9x3=13.

Ig2lg2

故答案为.13

13.函数/'（x）=0.55八5户6的单调递减区间为.

【正确答案】-1，|

【分析】根据复合函数的单调性可知要F（x）=0.5'^K递减，只要求使“=-f+5x+6有意

义且递增的区间即可.

【详解】解：令"=-犬+58+6（“20）,

则g（“）=0.5占，显然g（“）递减,

“=-丁+5》+6（"20）的对称轴为x=g,

由〃=・12+5工+6之0得

-1<x<6,

丄〃=・f+5工+6的递增区间为-ig，

二/（X）=od'+5*+6的递减区间为-1,1.

故T,|.

14.某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图所示，己知数据落在

［18,22J中的频率为0.25,75%分位数为.

1899

235a648

36225304

【正确答案】32.5

【分析】将数据从小到达排列，然后得到75%分位数为第12个数和第13个数的平均数，

计算即可.

【详解】数据落在U&22］中的频率为0.25,即数据落在08,22］的数据有16x0.25=4个，

则将数据从小到大排列得

18,19,19,20+a,23,24,25,26,28,30,32,32,33,34,35,36

又16x0.75=12,

故75%分位数为第12个数和第13个数的平均数，

即32+"33°=32.5

2

故32.5

15.已知函数/(x)=/工x>0，若f。)存在最小值，则实数a的取值范围是.

【正确答案】［2,*o)

【分析】分类讨论x<0，x20两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求

得。的取值范围.

e”_1-y<0

【详解】因为/(力二2一’八有最小值，当XV。时，f")=ex-l在(y,0)上单调递增，

x-ax,x>0

且-1</(x)<0,BP/W在(-oo,0)上没有最小值.

当xNO时，/(x)=x2-ax,则f(x)在(0,小)上必有最小值，函数/(x)=f一av开口向上，

对称轴是X=£,

当时，函数/。)而=/(。)=0>-1，故八0)不是函数/(X)的最小值，不满足题意，

o22

当5>0时，/U)mi„=/A=^-^=-^-要使/弓)是函数的最小值，则/(R4-1,即

2

--<-1,解得a±2或a4-2,所以aN2.

4

综上，。的取值范围是［2,y)

故［2,冋

119

16.定义：实数mb,c,若满足a+c=»,则称a,b,c是等差的，若满足丄+；=*,则

称a,b,c•是调和的.已知集合"={3|》142023,xeZ},集合尸是集合M的三元子集，即

P={a,"c}=M,若集合P中的元素a,b,c既是等差的，又是调和的，称集合P为“好集”,

则集合P为“好集”的个数是.

【正确答案】1010

117

【分析】由好集的定义得a+c=»且丄+；=*,化简可解得a=-2b或q=6,由P是集合

abc

M的三元子集可排除a='结合〃的元素特征可得附|42023,beZ,b*0,即可求得好

集的个数.

112112

【详解】由好集的定义得a+c=»且丄+3=±,则有丄+J=7^J，化简得

abcab2b-a

(<2-/?)(«+2Z?)=0,故。=-4或a=〃，

由P={a,Z?,c}土M得标b,故a=-»,c=4/?,/.P={-2b,bAb]^M,且〃HO.

'：\4b\>\-2b\>\b\,.•.网42023且荘Z,得b?j|505、,505j,

故集合P为“好集”的个数为2?5051010.

故1010

三、解答题

17.已知集合厶=卜|^^40,，B={x\2m-}<x<.

(1)当加=-2时，求出ACQ<B；

(2)若“xeA”是“xe夕’的必要不充分条件，求实数巾的取值范围.

【正确答案】⑴{x|-l<x<4}

(2){w|/n>-l}

【分析】(1)首先解分式不等式求出集合A,再根据补集、交集的定义计算可得.

(2)由“xeA”是"xe/T的必要不充分条件得BA,再分8=0和BX0两种情况讨论,

分别求出掰的范围，最后取并集即可.

【详解】(1)解：由二40等价于!"+1)(j-4)"。，解得一3Vx<4,

x-4[x-4^0

所以A=N亡4°}={x|-34x<4},

当m=一2时S=1x|2/n-l<x</n+lj=1x|-5<x<-l},

所以第8={x|x<_5或x>T},

所以4^B={x\-\<x<4}.

(2)解：因为“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，所以8A,

①当B为空集时，m+\<2m-\,:.m>2,符合题意.

m+1>2/w-1

②当8不是空集时，由BA,可得，2”―1之-3,解得-14加42,

"2+1<4

综上所述，实数加的取值范围为{切加2-1}.

18.某校高一年级组织学科活动竞赛，现随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率

分布直方图如图所示，数据的分组依次为：“0,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、

[90,100].

（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在［50,60）和［60,70）内的学生中共抽取7人，查看他们的

答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1

人成绩在［50,60）内的概率.

【正确答案】⑴a=0030,众数为75.

尾

【分析】（1）利用频率分布直方图直接求解；（2）利用古典概率模型求解即可.

【详解】（1）,0.05+0.2+0.15+10a+0.25+0.05=\,:.a=0.030,

众数为75.

（2）设这2人中恰好有1人成绩在［50,60）内为事件M,

由题设可知，成绩在150,60）和［60,70）内的频率为0.20,0.15,

则抽取的7人中，成绩在［50,60）的人数为4,成绩在［60,70）内的学生数为3,

记成绩在［50,60）得4位同学分别为«,b,c,d,

成绩在［60,70）得3位同学分别为48,C,

则从7人中，任取2人，基本事件有：

cib,ac,ad,aA,aB,aC,bc,bd,bA,bB,bC,cd,cA,cB,cC,dA,dB,dC,AB,AC,BC

共21个,

其中事件M包含的基本事件有aA,aB,aC,bA,bB,hC,cA,cB,cC,dA,dB,dC

共12个，

所以这2人中恰好有1人成绩在［50,60)内的概率为9=三.

217

19.已知〃>(),且。工1,函数='+b,SeR)在R上是单调减函数，且满足下

ax+a~x

33

列三个条件中的两个：①函数/(X)为奇函数；②/(l)=-g;③=

(1)从中选择的两个条件的序号为,依所选择的条件求得力=,。=(不

需要过程，直接将结果写在答题卡上即可)

(2)在(1)的情况下，若方程/(x)=，"+4'在［0,1］上有且只有一个实根，求实数相的取值范

围.

【正确答案】(1)①②，b=0,a=^

'23

(2)we-,-1

【分析】(1)g利用单调性以及函数的奇偶性确定满足的条件，再利用条件求解得到

厶=0,。=；；(2)利用函数的单调性求出最值，数形结合求解机的取值范围.

【详解】(1)因为+"SeR)在R上是单调减函数，

a+a

所以八1)</(-1),所以②③条件中，有且仅有1个成立，

所以满足①，则有f(0)=0,

又因为八一1)>〃0)>八1),

所以满足条件①②.

b=0

11

所以£,3解得6=0,。=不

-Ib=~52

a

2T—2’1-4r2

(2)由(1)可知~———1,

2T+2"1+4'1+4V

2

fM=+4、等价于-——-1-4X=tn,

1+4

22

令g(x)=TF—1—4'，则gahro-l—d，在［0,1］单调递减，

1+4、1+4

23

所以g(X)„w=g(°)=T，g(X)mi“=8⑴=一三，

因为/(x)=〃?+4,在［0,1］上有且只有一个实根，

■23-

所以根e-y--l.

20.设函数y=，(x)的定义域为M，且区间/，对任意吃,当仁/且可<%，记—=%-玉，

△)'=/(引-/(西)・若厶)'+©>0,则称“X)在/上具有性质A；若Ay-Ar>。，则称〃x)

在/上具有性质3；若△)，•8>(),则称“X)在/上具有性质C；若案>0,则称“X)在/

上具有性质£>.

(1)记：①充分而不必要条件；

②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则f(x)在/上具有性质A是/(x)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

在/上具有性质8是在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

/(x)在/上具有性质C是/(x)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

⑵若/(力=奴2+1在［l,y)满足性质B,求实数。的取值范围；

(3)若函数g(x)=点在区间［m,n］上恰满足性质A、性质8、性质C、性质。中的一个，直接写

出实数机的最小值.

【正确答案】(1)②；①；③

⑵紧)

(3)1

【分析】(1)结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.

(2)根据性质8,利用分离常数法，结合不等式的性质求得。的取值范围.

(3)将问题转化为-1〈孚40恒成立，对八〃的范围进行分类讨论，由此求得小的最小值.

Ax

【详解】(1)由于益<》2，所以刈=々-*|>0.

对于性质A,当Ay+Ar>0时，无法判断△)，的符号，故无法判断单调性;

当/(x)在/上单调递增时，Ay>0=>Ay+Ax>0,

所以f(x)在/上具有性质A是/(x)在/上单调递增的必要而不充分条件.

对于性质8,当Ay-Ar>0时，与>—>0,所以在/上单调递增；

当/(x)在/上单调递增时，Ay>0,Ay—-的符合无法判断，

所以〃x)在/上具有性质8是/(x)在/上单调递增的充分而不必要条件.

对于性质C,若Ay•—>0,则与>0,所以〃x)在/上单调递增；

当/(x)在/上单调递增时，Ay>0,AyA>0,

所以f(x)在/上具有性质C是/(x)在/上单调递增的充要条件.

(2)对于任意的士,+8),且％<*2，

^AX=X2-X,>O,Ay=f(x2)-f(xt)=ax2-ax^,

由于/(x)在[1,y)满足性质8,即Ay-Ar>0,

所以(这一端)-(吃-百)>0,所以(g+嵇-1)(占-办)>0,

因为尤2-%>0,所以4(%+&)>1，所以r：r，

由于任意的士,9G[1,+<功，且为<々，所以%+》2>2,

I1

所以一「<彳，

所以实数。的取值范围是;,+/[.

(3)实数机的最小值为1.

理由如下：

因为g(x)="在[m,可上恰满足性质A、性质B、性质C、性质D中的一个,

所以对任意占,马«加,〃]且X<z，有-1<警40恒成立.

因为g(x)=\的定义域为(―,0)U(0,4w),所以(同加,〃].

当＜0时，y=丄，

-X

所以△/=----f--=———=-^,从而？■=」一＞0,不合题意；

X2IX丿X1X2X1X2塩

当0＜〃2＜〃时，y=-,

X

411x-x.-AxAy1八

所以Ay=---------=---