2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级下学期期中考数学试卷含详解

2022—2023学年浙江省宁波市郸州区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（）

Bcd

A^3

2.下列计算正确的是（）

A.血+百=君B.2石-石=2C.忘xG=#D.V12-V3=4

3.用反证法证明，“在一ABC中，/A、对边是a、b.若NA<NB，则a<6"第一步应假设（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.a>b

4.一组数据2，2，2，3,5,8，13,若加入一个数。，一定不会发生变化的统计量是（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

5.若关于X的一元二次方程x2—2x—k=0没有实数根，则k的取值范围是（）

A.k>-1B.k>-1C.k<-lD.k<-1

6.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.已知两次降价百分率都是x,则x满足的方程是（）

A.64（1-2x）=100B.100（1—呼=64C.64（1-x）2=100D.100（1-2x）=64

7.如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2,即8C：AC=1：2.若坡面A3长度10米，则坡面AB的水

平宽度AC长为（）

A.275B.5C.5百D.4^/5

8.如图，菱形A8CO的顶点A,8分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10,点力的纵坐标为8,

若直线AC平行x轴，则菱形ABCO的边长值为（）

A.9B.如C.6D.3

9.从一块腰长为10cm等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为24cm2的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都

在三角形的边上.若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，点E是矩形ABC。内一点，连结AE，DE，AC,EC,BE,知道下列哪个选项的值就能要求△AEC

的面积（）

A.ABE与一8EC面积之差B.VADE与.6EC面积之差

C.与，8EC面积之差D.△ADC与面积之差

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.化简：也2><3=

12.已知一组数据是-1,0,-1,2,则这组数据的方差是.

13.若m是方程3X2-X-2=0一个解，则6m2-2m的值为

14.如图，在四边形ABCD中，ZA+ZC=136°,点E在边A。上，连接5E,若NO与NE8C互补，则NEB4

的值为

15.如图，用长为。米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AG”r>,矩形BFEG，矩形EFCH的面积均相等，设A。

的长为方米，则A3的长是米.（用含“，b的代数式表示）

16.如图，在凸四边形A8CO中，A3=4,AD=2。CD=2,NB4£>=45°,连接AC,取AC中点E,连

接BE,则3E的最小值是.

三、解答题(本大题共7小题，共52.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：

(1)2\/2—sfs+

(2)解方程：(x+3)2—4=0

18.图1是由边长为1的正方形构成的6x5的网格图，线段A8的端点都在格点上.

A

图1图2

(1)在图1中画出一个以AB为一边，面积为12的矩形A8CD，并直接写出矩形ABC。对角线的长为；

(2)命题“一组对边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2

中画一个顶点都是格点的凸四边形说明；若是真命题，请进行证明.

19.某公司需招聘一名员工，对应聘者A、8、。从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.A、B、C各项得

分如表：

笔试面试体能

A827991

B848076

C819072

(1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；

(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%,30%,10%的比例

计入总分，总分最高者将被录用.根据规定，请你说明谁将被录用.

20.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场

决定采取适当降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2

件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元(用含x的代数式表示)：

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元?

21.如图，在矩形A8CD中，点E，尸分别在A£>,8C上，且A£=CF.

（1）求证：四边形BEDE是平行四边形；

（2）若43=2，4）=4,四边形菱形，求AE长.

22.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用•例如：已知x可取任何实数，试求

二次三项式%2+2x+3的最小值.

解：x?+2.x+3=+2.x+1+2=（x+1）~+2；

无论x取何实数，都有（x+l）220,

.-.（X+1）2+2>2,即f+2x+3的最小值为2.

【尝试应用】（1）请直接写出2/+4x+10的最小值；

【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式+工+2都有意义;

【创新应用】（3）如图，在四边形A3CD中，AC1BD,若AC+B£>=10,求四边形ABC。的面积最大值.

A〜

;

23.如图，在边长为4的正方形ABCD中,点E在边A£>上，DE=1，连接BE,点尸，点厂分别是线段BE,边

CD上的动点.

寸。4/"AED

F

--------------1c1c

（图1）-----------------（图2）（图3）

（1）如图1,连接AP,PF，若A,P,F三点共线，且A尸=3E.

①求证：BEJ.AF；

②求PR的长；

(2)如图2,若C尸=1,NEPF=45°,则PF的长为；

(3)问题：“如图3,若CF=1,直线P尸刚好平分正方形ABC。的面积，求PE的长.”在解决这一问题

时，小红想先找到对应的点P,然后再求PR的长•经过不断的思考探索后，小红尝试以8为原点，建立坐标系来

解决这一问题.

请你帮助小红用无刻度的直尺在图3中找到点P,并直接写出PF的长为.

2022—2023学年浙江省宁波市郸州区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（）

人CDbc0/K

【答案】A

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转18（）度后与原图重合.

2.下列计算正确的是（）

A.四+百=逐B.273-73=2U血.又垂,=瓜D.厄+6=4

【答案】C

【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意.

【详解】解：、6+百不能合并，故选项A不符合题意；

=用,故选项B错误，不符合题意；

V2xV3=>/6，故选项C正确，符合题意；

J至一百=4=2,故选项D错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

3.用反证法证明，“在中，/A、对边是“、江若NA<NB，则a<b."第一步应假设（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.a>h

【答案】D

【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可.

【详解】解：根据反证法步骤，得

第一步应假设4。不成立，即生儿

故选：D.

【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设

不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一

种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

4.一组数据2,2，2,3,5,8,13,若加入一个数一定不会发生变化的统计量是（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论.

【详解】解：A、原来数据的方差加入一个数。后的方差一定发生了变化，不符合题意；

B、原来数据的平均数是2+2+205+8+13=卫,加入一个数%平均数一定变化，不符合题意；

77

C、原来数据的中位数是3,加入一个数。后，如果中位数一定变化，不符合题意；

D、原来数据的众数是2,加入一个数。后众数仍为2,符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键.

5.若关于x的一元二次方程X2-2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是（）

A.k>-1B.k>-1C.k<-lD.k<-1

【答案】C

【详解】试卷分析：由题意可得根的判别式△=：对一哝端.y网，即可得到关于k的不等式，解出即可.

由题意得△=%：-4ac=（-2）：-4<】：•（-好v。,解得£<一1

故选C.

考点：一元二次方程的根的判别式

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程a：-八=力，当^=,姆-公魏,有啦时，方程有两个不

相等实数根；当^=趣*-此归=1项时，方程的两个相等的实数根；当△=；??电笨.，：则时，方程没有实数根.

6.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.己知两次降价的百分率都是x,则x满足的方程是（）

A.64（1-2x）=100B.100（1-X）2=64C.64（1-^）2=100D.100（1-2x）=64

【答案】B

【分析】若两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1—T)元，第二次降价后价格为

100(17)(1-x)=100(l-x)2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=64元，由此等量关系列出方程

即可.

【详解】解：•••两次降价的百分率都是X,

.,.100(1-%)2=64.

故选：B.

【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程.

7.如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2,即BC：AC=1-2,若坡面A6长度10米，则坡面A6的水

平宽度AC长为()

A.275B.5C.573D.4旧

【答案】D

【分析】根据坡度的概念得到AC=26C,根据勾股定理计算即可.

【详解】解：坡面AB的坡度为1：2,

BC

即AC=26C，

AC2

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2.

则AC2+(!AC)2=1()2,

2

解得AC=4逐，

故斜坡的水平宽度AC的长为4逐米.

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度/的比

是解题的关键.

8.如图，菱形ABCO的顶点A,B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

若直线AC平行y轴，则菱形A8CQ的边长值为（)

C.6D.3

【答案】B

【分析】由菱形的性质得到AC_LB2AV='AC,8W=，8。，再根据点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8

22

得到AM=5,BM=4,再由勾股定理即可计算出AB的值.

【详解】解：连接AC,BD交于M,

四边形ABC。是菱形，

AC1BD,AM=-AC,BM=-BD,

22

AC平行x轴，AOA.OB,

..BDA.OB,

点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

AC=10,8£>=8,

AM=-X10=5,BM=-X8=4,

22

AB=yjAM2+BM2=后+42=屈■

菱形ABCD的边长值为V41.

故选B.

•]?

【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质.熟练掌握菱形的性质和

勾股定理是解题的关键.

9.从一块腰长为10cm的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为24cm2的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都

在三角形的边上.若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】RtZXABC中，NC=90°,AC=BC=10cm,分两种情况，一是矩形。EFG的边E户在A3上，顶点

D、G分别在AC、BCh,可证明VA0E名.BGE,得AE=BF，设OE=AE=M=xcm,则

x(10a-2x)=24,可求得DE=2缶m，EF=6岳m或。£=3缶m，EE=40cm；二是矩形尸C的

边CO在AC上，CF在BC上,顶点E在A6上，设AO="=ycm,则>(10->)=24,可求得£>E=4cm,

。。=6©01或£>£=6<：111,DE=4cm,这两个矩形全等，所以有3种不同的裁法，于是得到问题的答案.

【详解】解：Rtz\ABC中，NC=90°,AC=3C=10cm,则ZA=NB=45°,

如图1，矩形DEFG的边石产在A3上，顶点。、G分别在AC、8C上，

,/DEF=/GFE=9Q0,

ZAED=ZBFG=180°-90°=90°，

ZADE=ZBGF=45°=ZA,

AE=DE，

在VAD£和,8G尸中，

NA=NB

<NADE=NBGF,

DE=GF

:VADE沿BGF(AAS),

:.AE=BF,

设£>E=AE=8E=xcm,

矩形DEFG的面积是24cm②，AB=dAC。+BC?=V1O2+1O2=1072(cm).

.­.x(10V2-2x)=24,

解得百=2&，々=3正，

1072-2x=10V2-2x2a=6及或10a-2x=10V2-2x3>/2=4夜，

DE=2>/2cm，EF=6>/2cm或DE=3及cm，EF=，

如图2,矩形DEFC的边CD在AC上，在BC上，顶点E在AB上,

c

图2

DE〃BC，

：.ADEA=ZB^45°=ZA,

AD=ED，

设AD=ED-ycm,则y(10-y)=24,

解得X=4,y2=6,

r.10-y=6或10—y=4,

DE=4cm,£>C=6cm或。£=6cm,DE-4cm>这两个矩形全等,

.•.有3种不同的裁法,

故选：C.

【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程

的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大.

10.如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC,EC,BE,知道下列哪个选项的值就能要求△AEC

的面积（）

A.A8E与cBEC面积之差B.VAOE与面积之差

C.DEC与」面积之差D.AADC与“DEC面积之差

【答案】C

【分析】过E作EM_LA6于"，延长ME交CO于N,由四边形A8CO是矩形，得至UABDC,AB=DC,

由，£46的面积=.EC。的面积=gz）C-EN,推出，£46的面积+EC。的面积=「ABC的面积,

而△AEC的面积=.ABC的面积一△A3E的面积一一BEC的面积，于是即可得到答案.

【详解】解：过E作乎M，延长ME交C。于N,

AD

BC

四边形ABC。是矩形，

：.AB//DC,AB=DC,

:.EN上DC,

一EW的面积=,A6•ECO的面积=,0。EN,

-22

:.AEAB的面积+_ECD的面积=；A6•(EM+EN)=gA6•MN=矩形ABCD的面积xg,

ABC的面积=矩形ABCD的面积xi,

2

的面积+_ECD的面积=ABC的面积，

■t.AEC的面积=ABC的面积一△A5E的面积-BEC的面积，

:uAEC的面积=EAB的面积十二ECD的面积一△ABE的面积-BEC的面积==ECD的面积—_BEC的面机

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出.£钻的面积+二ECD的面积

=A3C的面积.

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

1L化简：亚逅=•

【答案】2G

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：122x3=2后

故答案为：2石.

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.

12.已知一组数据是-1,0,-1,2,则这组数据的方差是.

【答案】1.5

【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可.

_1+0-1+2

【详解】解：由题意知，这组数据的平均数是：------------=0,

这组数据的方差是：1X[2X(-1-0)2+(2-0)2+(0-0)2]=1.5.

故答案为：1.5.

【点睛】本题考查了方差.解题的关键在于对知识的熟练掌握以及正确的运算.

13.若m是方程3XLX-2=0的一个解，则6m「2m的值为.

【答案】4

【分析】把x=m代入方程计算即可求出所求式子的值.

【详解】把x=m代入方程得：3m2-m-2=0,

整理得：3m2-m=2.

6m2-2m=2(3m2-m)=4.

故答案为4.

【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

14.如图，在四边形A3CD中，NA+NC=136°,点£在边AO上，连接8E,若/。与ZEBC互补，则NEK4

的值为.

【答案】44。##44度

【分析】根据已知条件得出NA5C+/r)=224。，再根据NO+NE8C=180°，即可得出N£B4的度数.

【详解】解：­.ZA+ZC=136°,

ZABC+ZD=360°-136°=224°,

ZD与ZEBC互补，

,-.ZD+Z£BC=180°,

.•.Z£S4=224°-180o=44°.

故答案为：44°.

【点睛】此题考查了多边形内角和问题，掌握四边形的内角和是360。是解题的关键.

15.如图，用长为。米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AGHD,矩形3FEG,矩形EFCH的面积均相等，设

的长为方米，则A3的长是米.(用含“，匕的代数式表示)

【分析】设AG=x,根据矩形AG”。，矩形BFEG,矩形EFC”的面积均相等，得出8G=2x,再根据窗户框

QI

的总长为。米，得出》=巴二二，从而表示出A8的长.

8

【详解】解：设AG=x,

矩形4G”£>,矩形BEEG,矩形EFC”的面积均相等，AD^b,

：.GE=EH=-AD=-b,

22

bx=BG—b,

2

BG=2x,

AG+BG+EF+CH+DH+AD+CH+BC=a,

.,.x+2x+2x+2x+x+Z?+Z?+〃=a,

a-3b

...x=-------,

8

A8=AG+8G=3x=^^.

8

.3a-9b

故答案：一--.

o

【点睛】本题考查了矩形的性质，列代数式,关键是根据矩形面积公式表示出BG的长.

16.如图，在凸四边形A3CQ中，AB=4,AD=2^2,CD=2,N84£>=45°,连接AC,取AC中点E，连

接BE,则班的最小值是_____.

AB

【答案】Vio-i##-i+Vio

【分析】作于"，取AO中点M,连接£M、BM、BD，得到ME是，ACO的中位线，求出ME=1，

由等腰直角三角形的性质求出AH、DH的长，得至【J0H垂直平分AB,因此DA=DB=2母,推出NA£>B=9()°,

由勾股定理求出MB的长，由BENMB—ME，即可求出5E的最小值.

【详解】解：作。十”，取A。中点M，连接EM、BM、BD，

:.ME是,ACD的中位线，

:.ME=、DC=1,

2

ABAD=45°,ZAHD=90°,

AD"是等腰直角三角形，

：.AH=DH，

AD=dAH?+DH2=近AH=近DH=272>

:.AH=DH=2,

AB=4,

:.BH=AB-AH=2,

垂直平分A3，

DA=DB=2V2，

：.ZABD=ZDAB=45°,

:.ZADB^90°,

M是AO中点，

：.DM=-AD=y/2,

2

MB=\IDM2+BD2=Vio,

BENMB-ME=M-1，

的最小值是J1U-1.

故答案为：yf\0—1.

【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，关键是由

三角形中位线定理求出"E的长，由勾股定理求出MB的长，由MB—ME即可解决问题.

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：

（2）解方程：（x+3）2—4=0

【答案】（1）一立

2

（2）x=—1或无=—5

【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答:

（2）利用平方根的意义进行计算，即可解答.

【小问1详解】

272-272-^

2

F'

【小问2详解】

解：。+3)2-4=0,

(X+3)2=4,

x+3=±2，

尤+3=2或x+3=-2，

了二-1或%=一5•

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.图1是由边长为1的正方形构成的6x5的网格图，线段A3的端点都在格点上.

r——▼——T———r——、—/——▼—―/—————————

A：：：：：

-J——+-♦-------——r------------1卜---+-----+——t--

B\\\\

图I图2

（I）在图I中画出一个以A6为一边，面积为12的矩形A8C。，并直接写出矩形ABC。对角线的长为；

（2）命题“一组对边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2

中画一个顶点都是格点的凸四边形说明；若是真命题，请进行证明.

【答案】（1）5（2）假命题，图见解析

【分析】（1）作一个长为4,宽为3的矩形即可;

（2）是假命题，画图说明即可.

【小问1详解】

解：如图1中，四边形ABC。即为所求，对角线AC=BO=律寿=5・

故答案为：5.

【小问2详解】

解：是假命题，如图ZA=90。，AB=CD=5,四边形A3CO表示矩形.

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，命题与定理等知识,

图1

解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

19某公司需招聘一名员工，对应聘者A、8、。从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.A、B、C各项得

分如表:

笔试面试体能

A827991

B848076

C819072

（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；

（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%,30%,10%的比例

计入总分，总分最高者将被录用.根据规定，请你说明谁将被录用.

【答案】（1）A、C、B

（2）C

【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断;

（2）利用加权平均数公式求解，即可判断.

【小问1详解】

解：A、8、C三人的平均分分别是,

82+79+93。，84+80+7681+90+72

----------=84，-----------=80,----------=O811,

333

所以三人的平均分从高到低是：A、C、B；

【小问2详解】

因为A的面试分不合格，所以甲首先被淘汰.

8的加权平均分是：84x60%+80x30%+76x10%=82；

C的加权平均分是：81x60%+90x30%+72xl0%=82.8；

因为丙的加权平均分最高，因此，。将被录用.

【点睛】此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键.

20.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场

决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价I元，商场平均每天可多售出2

件.设每件商品降价尤元.据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元?

【答案】（1）2x,（50—x）,（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.

【详解】（1）lx,（50—x）.

（2）解：由题意，得（30+2x）（50-x）=2100

解之得xi=15,初=20.

•••该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客.

答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.

21.如图，在矩形A3CD中，点E，尸分别在AO，BC上，B.AE=CF.

（1）求证：四边形3阳£是平行四边形;

（2）若AB=2，AD=4,四边形是菱形，求AE长.

【答案】（1）见解析（2）1.5

【分析】(1)由矩形的性质得到4)〃8。，40=3。，而在=。尸，因此4。一AE=BC—C户，得到DE=BF,

即可证明四边形3")£是平行四边形；

(2)设AE=x(x>0),由菱形的性质，勾股定理得到(4—x)2=22+f,求出x的值即可得到AE的长.

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,

■,AE=CF,

:.AD-AE=BC-CF,

DE=BF,

二•四边形8口把是平行四边形；

【小问2详解】

解：设AE=x(%>0),

四边形A5C。是矩形，

:.ZBAD=90°.

四边形ABC。菱形，

/.DE=BE，

BE—DE=AD—AE=4—x，

BE?=AB?+AE?，

(4-x)2=22+x2,

..x=1.5,

:.AE-1.5.

【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，菱形

的性质；应用勾股定理列出关于AE的方程.

22.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用•例如：已知x可取任何实数，试求

二次三项式无2+2%+3的最小值.

解：J+2x+3=尤？+2x+1+2=(x+1)~+2；

无论X取何实数，都有(X+l)2i(),

.-.(X+1)2+2>2,即/+2x+3的最小值为2.

【尝试应用】(1)请直接写出2/+4x+10最小值

【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式Jd+x+2都有意义;

【创新应用】(3)如图，在四边形A3CD中，AC1BD,若AC+8D=10,求四边形ABC。的面积最大值.

【分析】(1)利用配方法把2f+4x+10变形为2(x+iy+8,然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；

(2)利用配方法得到V+x+2=(x+不>+—,则可判断/+》+2>0,然后根据二次根式有意义的条件可判断

无论x取何实数，二次根式Jf+x+2都有意义;

(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=上ACM。，由于30=10-AC，则四边形ABC。的面积

2

II25

=耳・AC-(10—AC),利用配方法得到四边形ABCQ的面积=—](AC—5尸+彳，然后根据非负数的性质解决问

题.

【详解】解：(1)2X2+4X+10=2(X2+2X)+10

=2(X2+2X+1-1)+10

=2(x+iy+8,

无论x取何实数，都有2(》+1)220,

(X+1)2+8>8,即x2+2x+3的最小值为8；

故答案为:8；

,1,7

(2)x~+x+2=(xH—)~H—,

24

12

(x+-)2>0,

+x+2>0,

・.・无论x取何实数，二次根式，%2+%+2都有意义;

(3)-ACABD,

，四边形ABCD的面积=gAC•血)，

2

AC+BD=10,

:.BD^10-AC,

四边形43CD的面积=g.AC-(10—AC)

=--AC2+5AC

2

.-1(AC-5)2<0,

，当AC=5,四边形ABC。的面积最大，最大值为二.

2

【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性

质确定代数式的最值.

23.如图，在边长为4的正方形A3CD中，点E在边A£＞上，DE=1，连接8E,点P，点户分别是线段BE,边

CO上的动点.

①求证：BEJ.AF；

②求PF的长；

(2)如图2,若CF=1,NEPF=45。,则P/的长为；

(3)问题：”如图3,若C尸=1，直线P尸刚好平分正方形ABCD的面积，求P斤的长.”在解决这一问题

时，小红想先找到对应的点尸，然后再求PR的长•经过不断的思考探索后，小红尝试以8为原点，建立坐标系来

解决这一问题.

请你帮助小红用无刻度的直尺在图3中找到点P,并直接写出「尸的长为.

【答案】(1)①；②(2)—A/2

136

11

【分析】（1）①证明ABE^