2023-2024学年河南省郑州四中实验学校九年级（上）第一次学习活动数学试卷（含解析）

2023・2024学年河南省郑州四中实验学校九年级（上）第一次学习活动

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知尸|,则下列结论一定正确的是（）

A.%=2,y=3B.2x=3yC.|=yD.|

2.在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小

组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（）

个频率

a

a641

621

o.601

o.581

o.561

oa.541

521>

次

050010001500200025003000

A.2B.3C.5D.8

3.已知三个数1、3、4,如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）

A.6B.8C.10D.12

4.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板

的钉子的长度后一次为前一次的々倍（0<k<1）.已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击

后进入木板部分的铁钉长度是钉长的土设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是（）

A.；+/+*2=1B»4+如4=1

D、+我=1

c争+*=1

5.如图，将一张两边长分别为24cm和％cm的矩形纸片两次对折后展开，得

到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则工的值为（）

A.9

B.12

15

D.18

6•若户尹广木则端虚的值为（）

A.1B.1C.1.5D.3

7.如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份.则转得的

两个数之积为偶数的概率为（）

8.如图，正万形ABCO的对角线AC,BD交于点0,M是边4。上一点，连接。M,过

点0作。NL0M,交CD于点N.若四边形M0ND的面积是1,则AB的长为（）

A.1

B.V-2

C.2

D.2c

9.如图1中，Rt^ABC,NC=90。，点D为AB的中点，动点P从4点出发沿ZC-CB运动到点B,设点P的运

动路程为x,AAPD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，贝必B的长为（）

A.10B.12C.14D.16

10.如图，在菱形04BC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2,2/3）,将菱形绕点。旋转，当点

4落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）

A.（一2,—2门）或（2/1,一2）

B.（2,2门）

c.(-2,2/^)

D.(_2,-2/^)或(2,2/3)

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直

线上的三个点4,B,C都在横线上.若线段BC=4cm,则线段4c的长是

12.设m,n分别是一元二次方程/-2%-2025=0的两个实数根，则——3m-n=

13.如图，在平面直角坐标系中，长方形4BCD的边4B与x轴平行且48=3,

4。=2,点B坐标为沿某一方向平移后，点B的对应点名的坐标为

(1,3),则点Di的坐标为.

14.如图，已知。是BC的中点，”是4。的中点.AN：NC的值为

15.如图，在菱形4BCD中，AB=4,Z.BAD=60°,点P是对角线AC上的一个动

点(不与A,C两点重合)，过点P作即1AC分别交4。，AB于点E,尸.将ZMEF沿

EF折叠，点4落在点4处，当△4BC是等腰三角形时，4P的长为.

三、解答题(本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题8.0分)

解下列一元二次方程：

(I)%2+5x-24=0；

(2)3x2=2(2-x).

17.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程+2(k-l)x+l=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若方程的一个实数根是2,求k的值.

18.(本小题8.0分)

2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，

时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采!为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了

“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五

项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图

提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有名，补全条形统计图；

(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是;

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的

概率是多少•

19.(本小题8.0分)

已知,2a=k,求12—31一4的值.

b4+c+laa+c+da+b+da+b+c

20.(本小题8.0分)

如图，矩形4BCD中，AB=8,AD=4,点M,N分别为48,CD上一点，且AM=CN,连接MN,DM,BN.

(1)当4M=3时，求证：四边形DMBN是菱形；

(2)填空：

①当4M=时，四边形DAMN是矩形；

②当AM=时，以MN为对角线的正方形的面积为学.

21.(本小题8.0分)

2018—2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020年

新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场监督

等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，市场对

猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%,市

民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元.

(1)求a的值；

(2)双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千

克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，其

日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者得到

实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？

22.(本小题8.0分)

在菱形ABCD中，乙4BC=60。，点P是射线上一动点，以4P为边向右侧作等边A/IPE,点E的位置随着点

P的位置变化而变化.

(1)如图1,当点E在菱形4BCD内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系是；CE与4。的位置关

系是;

(2)如图2,当点E在菱形48co外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明

理由；

(3)如图3,当点P在线段8。的延长线上时，若AB=LBP=3,请直接写出四边形ACDE的面积.

答案和解析

1.【答案】D

x2

【解析】解：Ay=3,

・••3x=2y,

故本选项错误,不符合题意;

n%2

y3

**,3%—2y,

故本选项错误,不符合题意;

x2

c、

冷，

故本选项错误,不符合题意;

x2

°、;广？

3x=2y,

2

卷/

故本选项正确,符合题意;

故选：D.

根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案.

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到黄球的频率越稳定在0.6附近,

因此摸到黄球的概率为0.6,

6

所以有•=0.6,

6+1+九

解得n=3,

经检验，九=3是原方程的解,

故选：B.

利用频率估计概率，由概率列方程求解即可.

本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键.

3.【答案】D

【解析】解：1：3=4：12,

故选：D.

根据比例的性质分别判断即可.

此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：设变化前的量为a,变化后的量为b,

变化率为x,

则经过两次变化后的数量关系为：a(l±x)2=b

•••彳+"+"2=1.

故本题选A.

本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后

的数量关系为a(l±x)2=b,根据题意即可列出方程.

找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键.同时要注意增长率问题的一般规律.

5.【答案】B

【解析】解：•••大矩形的一条边长为24cm,

二小矩形的一条边长为与=6(cm),

•••小矩形和原矩形相似，

•1--=解得X=12.

x24

故选：B.

先求出小矩形的另一条边长，根据相似多边形的性质解答即可.

本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质及翻折变换，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：W='=鸿,

,—3a—_—_2_c——e——1

••36--2d-/■一3，

.3Q—2c+e_1

J3b-2d+f=?

故选：A.

利用等比性质，进行计算即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：根据题意列表如下：

125

33615

44820

661230

・••共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，

・••转得的两个数之积为偶数的概率为京

故选：C.

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情

况，再利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查的是用列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事

件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

8.【答案】C

【解析】解：,••四边形A8CD是正方形，

Z.MDO=Z.NCO=45°,0D=OC,ZDOC=90°,

:,乙DON+乙CON=90。,

vON1OM,

・••乙MON=90°,

・・•WON+ROOM=90。，

・•・乙DOM=乙CON,

在△。。M和4CON中，

NDOM=乙CON

OD=OC,

/MDO=Z.NCO

DOM三△CON（4必），

*'*$四边形

MOND~S^DOM+S^D0N,S&DOC=^ADON+S^cON，

"SADOC=S四边形MOND=1

•••正方形ABC。的面积是4,

AB2=4,

■■■AB=2,AB=-2（舍去）

故选：C.

根据正方形的性质，可以得到△DOM三△CON,然后即可发现四边形MON。的面积等于△DOC的面积，从

而可以求得正方形4BCC的面积，从而可以求得4B的长.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MONO的面积等于△DOC

的面积，利用数形结合的思想解答.

9.【答案】4

【解析】解：由图象可知：当％=14时，AC+BC=14,

BC=14-AC；

面积最大时，

S=SfCD

_1

=2S&ABC

1

=-TACxBC

4

=12,

：.^ACx（14-AC）=12,

解得AC=6或4c=8,

由图象可知4C>BC,故AC=8,BC=6,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=V82+62=10.

故选：A.

由图象可知：当x=14时，AC+BC=14,面积最大时，S等于12,再根据三角形的面积计算公式可得关于

4c的方程，解得4c的值，最后由勾股定理可得4B的值.

本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：：菱形。48。中，点8在*轴上，点4的坐标为（2,2，9），

••.40=J22+（2「）2=4,0B=4,

•••菱形的边长为4,zkAOB是等边三角形，

分两种情况讨论：

如图所示，当点4在%轴正半轴上时，

过C作。。14。于“，则。£>=70=2,CD=

.••点C的坐标为（-2,—2/3）；

过C作CD14。于D,则OD=gcO=2,CD=2门，

・・•点C的坐标为(2,2C);

综上所述，点C的对应点的坐标为（-2,-2门）或（2,2，W）,

故选：D.

依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4,AAOB是等边三角形，再分两种情况进行讨论，依据0。=^C0=

2,CD=2C，即可得到点C的对应点的坐标.

本题主要考查了菱形的性质以及旋转变换的运用，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线

互相垂直.

11.【答案】6cm

【解析】解：过点4作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,

解得：AB=2,

二AC=2+4=6（cm）.

故答案为：6cm.

过点4作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,根据平行线分线段成比

例定理列出比例式，计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

12.【答案】2023

【解析】解：-m,n分别是一元二次方程/—2x—2025=0的两个实数根，

•••m2—2m-2025=0,m+n=2,

•••m2—3m—n

=m2—2m—m—n

=2025-2

=2023,

故答案为：2023.

根据题意可得Hi?—2m-2025=0,m+n=2,再将所求的式子变形为rn?一2m-—几，将相关的量代

入即可求解.

本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与方程的关系，根与系数的关系是解题的关键.

13.【答案】（一2,1）

【解析】解：•••长方形4BCD的边AB与久轴平行且4B=3,4D=2,点B坐标为（4,一1）,

•••

•・•点B的对应点当的坐标为（1,3）,

•••点必的坐标为

故答案为：（—2,1）.

先根据4B=3,AD=2确定点。的坐标，根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向上移动，横坐标不变，

纵坐标加，即可确定长方形4BCD向上平移4个单位，向左平移3个单位，从而得到点。的对应点Di的坐标.

本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加,

下移减是解决问题的关键.

14.【答案】1：2

【解析】解：如图，过点。作AC的平行线交BN于点H.

•­•DH//AC.

BDHfBCN,

.DH_BD

"'CN~'BC'

・•・D为BC的中点，

DHBD1

CNBC2

・・•DH//AN,

••.△DHM〜△4NM,

.DH_DM

‘‘丽—而‘

•・・M为40的中点，

_幽

•,丽=丽=•

・••DH=AN,

J.—AN=1

CN2

过点。作AC的平行线交8N于点H,构造“4”型和“8”型，得出ABDHSABCN和△DHMSANM,再结合

相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形.

15.【答案】2/?-2或容

【解析】解：在菱形48co中，•••484。=60。，AB=4,

AAC=4C，

①当C4=BC=4时，AA'=AC-CA'=4c-4，

•••将A4EF沿EF折叠，点4落在点A处，

：.AP=^AA'=2y/^-2.

②当AC=4B时，

v^BAC=4ACB=30。，

LA'CB=AA'BC=30°,

•••/.ABC=120°,

•••AABA'=90。，

AA'=|

•1"AP=

故答案为：2c-2或?.

分两种情形①。4'=CB,@A'C=A'B,分别求解即可解决问题.

本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏

解，属于中考常考题型.

16.【答案】解：(1)/+5X—24=0,

(%+8)(%—3)=0,

・,・%+8=0或％—3=0,

*,•%]=—8,%2=3；

(2)3/=2(2-%),

3x2+2%-4=0,

va=3,h=2,c=—4,

21=22-4x3x(-4)=52>0,

_-2±>T52_

•••X=-2x3-=3'

_-1+/T3_-1-<I3

"X1=-3—'X2=-3—•

【解析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用公式法求解即可.

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型.

17.【答案】解：(1)「关于》的一元二次方程左2》2+2(/£—1)》+1=0有两个不相等的实数根,

•">0且卜2*0,

即4(k-I)2-4k2>0,解得k<g且k*0,

・••k的取值范围为化<；且上丰0；

(2)•••方程的一个实数根为2,

4/c2+4(/c-1)+1=0,

整理得49+4fc-3=0

解得七=-|,k2=p

Vk<犯k#0；

即k的值为一|.

【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围;

(2)把尤=2代入方程可求得k的取值，注意k的范围.

本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于A的不等式是解题的关键.

18.【答案】10036°

【解析】解：(1)本次被调查的学生人数为30-30%=100(名).

故答案为:100；

(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为黑x360。=36。.

故答案为：36。.

(3)画树状图如下:

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种,

...甲和乙同学同时被选中的概率为之=1.

1Zo

(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数,

再补全条形统计图即可.

(2)用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360。即可.

(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法

与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

19.【答案】解一•焉=焉2c_2d

a+b+da+b+c

2(a+b+c+d)_,

・••由等比性质可得:3(a+Hc+d)=«

2(a+b+c+d)_2

当a+b+c+dWO时，k=

3(a+b+c+d)3'

当Q+b+c+d=0时，b+c+d=-a,

2a_2a

=-2，

b+c+d-a

k2-3/c-4=(|)2-3x|-4=-等或/-3/c-4=(-2)2-3x(-2)-4=6.

【解析】根据等比性质得出热。i(zI冷uIc探Ia)=k,再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d工0时和a+b+c+

d=o时，分别求出％的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案.

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

20.【答案】吟或|

【解析】(1)证明：如图1,,••四边形4BCD是矩形，AB=8,AD=4,

・・・AB=CD=8,AB//CD,Z-A=90°,

-AM=CN=3,

AB

图1

AAB-AM=CD-CN,

:,BM=DN=8—3=S,

vBM”DN,

・•・四边形。M8N为平行四边形，

・・•DM=VAD2+AM2=,42+32=5,

：・BM=DM,

・•・四边形DM8N为菱形.

(2)解:①如图2,・・・0N〃/M,

・•.当DN=AM时，四边形DAMN是平行四边形，

•・•Z,A=90°,

・♦•当0N=4M时，四边形ZZ4MN矩形，

由(1)得BM=DN,

・・・8—AM=DN,

・・・8—AM=/M,

­.AM=4,

・•・当4M=4时，四边形ZX4MN矩形，

故答案为：4.

②如图3,以MN为对角线的正方形是正方形MFNG,连接FG,

・・・FG=MH,FG1

MN=5,

作NE148于点E,则44EN=NA=Z.ADN=90°,

四边形4DNE是矩形，

•••AE=DN=BM=8-AM,EN=AD=4,

EM=AM-AE=AM-^8-AM)=2AM-8,

v乙MEN=90°,

EM2+EN2=MN2,

(27lM-8)2+42=52,

解得AM=5或AM=I，

・•.当AM=当或AM=I，以MN为对角线的正方形的面积为导

故答案为：亲吟

(1)由矩形的性质得AB=CD=8,AB//CD,乙4=90。，而4M=CN=3,所以BM=DN=8-3=5,则

四边形DMBN为平行四边形，再根据勾股定理求得DM=5,贝ijBM=DM,即可证明四边形DMBN为菱形；

(2)①当ON=4M时，四边形DAMN矩形，由4M=DN=BM=8—AM,求得AM=4,即得到问题的答案；

②由以MN为对角线的正方形的面积为和•算出MN=5,作NE14B于点E,则AE=DN=BM=8-AM,

EN=AD=4,所以EM=AM-(8-AM)=2AM-8,由勾股定理得(2AM-8产+4?=5?,求得AM=苧

或4M=|,于是得到问题的答案.

此题重点考查矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与

方法，证明四边形。MBN为平行四边形是解题的关键.

21.【答案】解：(1)根据题意得：

32x(1+5a%)x4.5=324,

解得a=25,

a的值为25；

(2)设精品瘦肉的售价应为%元，

2020年1月18号的价格为32x(1+盖)=72(元/千克)，

根据题意得:(X-52)[150+10x(72-%)]=3040,

解得x=71或》=68,

•••尽可能让消费者得到实惠，

x取68,

答：精品瘦肉的售价应为每千克68元.

【解析】⑴根据在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32x(1+5a%)X4.5=324,解

方程可得a的值为25；

(2)设精