不等式性质与基本不等式-2023年高考数学考试（新高考）（解析版）

专题03不等式性质与基本不等式

不等式性质与基本不等式

忽视

忽

视

忽视

一元

忽

视

列

举

集合

二次

高

次

方程

法

中

中元

项

的

的判

系

数

代

表

素的

别式

元

素

特性没行考虑i直范围而致错

范

围

可用不等式性质求范围时，由于多次送EE式性质导致范F攵错。

3.有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。

4.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为

正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错

误.

易磊合新

一、忽视字母的取值范围而致错

1.（多选）对于任意实数a，b,c,d,下列四个命题中，其中真命题的是（）

A.若a>b,c≠0,则ac>Ac;B.若a>b,则ac?〉儿?；

C.若ac?>bc2，则a>b;D.若α>8>0,c>d>O,则tzc>hd.

【错解】对于A,若”>人，当c<0时，贝IJaC<0c,故A错误;对于B,若则αc?>bc2；

故B对；对于C,若αc2>hc2，可得/>0,所以4>6,故C正确；对于D,若α>8>（）,

c>d>O,则αc>Oc>Od,故D正确.所以选BCD。

【错因】选项B是错的，忽略了C=O的情况。

【正解】

【答案】CD

【解析】对于A,若α>b,当c<0时,，则αc<6c,故A错误；对于B,若α>6,当C=O

时，ac2~bc2>故B错误；对于C,若OC2>秘2,Uj得02>0，所以q>b,故C正确;

对丁D,7,a>b>Oc>d>0则ac>/?c>Z?d.故D正确.

2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若α>h>O,贝!|砒2>庙B.若α<h<O,则。2>他>从

cc11

C.若则一>—D.若α>b且一>不，则帅<0

abab

【错解】对于A中，若。>人>0,当C=O时，则αc2=b∕,所以A不正确；对于B中,

若α<∕j<O,根据不等式的性质，可得标>α">∕,所以B正确：对于C中，由α>b>0,

11CC

——〉——〉一

可得。b,再根据不等式的性质可得。b,所以C正确；对于D中，若。>/乙可得

11b—a„

------=------>0

b-a<O,由αb帅，可得出?<(),所以D正确。所以选BCD。

【错因】选项C中，没有考虑C的正负而致错。

【正解】

【答案】BD

【解析】对丁A中，若α>方>0,当C=O时，则以？=^^,所以A不正确；对于B中，

^a<b<O,根据不等式的性质，可得Y>">〃，所以I正确；对丁.c喘由a>b>O,

jicC

可得一,又由CVO,根据不等式的性质,可得一>:，所以C正确;对于D中，若α>b，

ahab

可得b—α<().山L-L="q>O.可得HJ<O.所以D正确。

abah

二、多次运用不等式性质而致错

1、已知一1v2α+6<2,3<a-b<4,求5α+Z?的取值范围.

【错解】因为一l<2α+匕<2,3<a-b<4,两式相加得2<3α<6,所以W<5α<10,

3

因为一l<2a+Z?<2,-S<-2a+2b<-6,两式相加得一9<3><Y,所以

-4

-3<b<-,

3

所以5-3<5α+b<10-g,即5α+b∈(J,g)∙

【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。

【正解】

【答案】(1,8)

【解析】令5α+人=2(2tz+h)+∕∕(α-Z?)=(2∕l+/∕)4+(2-

2Λ÷//=5,[Λ=2,/、

，<丸],解得Vɪ,5。+。=2(2α+b)x+(zα—匕).

・・・T<2a+/?<2，2<2(2。+〃)<4.,乂3<。-力<4，

.二Iv2(2a+Z?)+(6?—Z?)<85a+-的取值范围为(]g)

三、忽视不等式中高次项的系数

1.若不等式"LP+2mx—4V2炉+4X对任意X都成立，则实数加的取值范围是()

A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2]

【错解】原不等式可整理为(2-"7)X2+(4-2,")X+4>0.

[2—∕M>O,

由题意知必须满足<.解得一2<相<2

1(4—2m)—4×4(2—∕n)<0,

.综上知实数〃？的取值范围是(一2,2).选A

【错因】没有对二次项系数2—,〃讨论。

【正解】

【答案】C

【解析】原不等式可整理为(2—〃?)/+(4—2∕H)Λ+4>0.

当"7=2时，不等式为4>0,该不等式恒成立；

[2_∕n>0,

当wW2时，必须满足、解得一2<"iV2

l(4-2m)~4×4(2-n7)<0,

.综上知实数m的取值范围是(-2,2].

五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，

1.(没有考虑等号能否取到)当Xe(1,2)时，不等式χ2+M+4<0恒成立，则加的取

值范围是()

A.m≤-5B.m<-4C.m<5D.m≥5

_γ~_LAΔ.

【错解】当x∈(l,2)时,，由/+如+4<0得相<-------=-(x÷-).

XX

【错因】令4，即Y=4,而XG(1,2),所以f=4不成立，即使用基本不等式求最

X=­

X

值时，没有考虑等号问题。

【正解】

【答案】A

,Y2-L4Y2-1-44

【解析】当x∈(l,2)时，由χ2+znx+4<0得〃?<-------.令/(X)=--------=X+-.

XXX

则易知/(X)在(1,2)上是减函数，所以x∈[l,2]时/(初山=/⑴=5∙

χ24-4

则(-------)>-5∙∙^≤-5

Xmin

2.(没有考虑"一正”)己知递增等差数列｛4,｝中，2,则%的()

A.最大值为TB.最小值为4C.最小值为YD.最大值为4或T

【错解】因为《生=一2，由等差数列通项公式,设公差为d,可得α,(q+d)=-2,变形可

2

得1j=-4-一，而由等差数列通项公式可知

q

%=q+2d=q+2-q-----——（一q）+-------

、a∖）Ial,

当且仅当q=±2时取得等号，所以内的最大值为4,选A。

2

【错因】因为数列{6}为递增数列,所以d>0，由已知得d=-q--〉o,则％<0,而

a∖

错解中把〃当成正值。

【正解】

【答案】B

【解析】因为的2=-2,由等差数列通项公式,设公弟为d.M得4(4+d)=-2,变形可

22

得d=-a]一一，因为数列{α∕为递烟数列,所以d=一一>O,即q<O,而由等个数

qal

(2、(4、4

列通项公式可知%=G+2"=q+2-a1-----=(-a1)+——，由一弓>0.------>0

IaJIax)-a>

「4、I(4、

结合基本不等式可得％=(-4)+-一≥2(-ΛI)∙一一=4.当且仅尚q=-2时取

‹a∖Jy∖β∣>

得等号，所以内的最小值为4。

三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错

1.已知集合A={x∣d-(3α-l)x+2α?-α<θ},^⅛∙B={x∣x2-4x+3<0∣,命题P：

x∈A,

命题。：x∈B,若P是。的充分条件，求实数。的取值范围.

【错解】因为P∕∈A,Qh∈8,若P是。的充分条件，则A±3∙

因为A=∣x∣x2—(3ci-I)X+2cι~-a<0∣={x∣(x+1—2Q)(X—Q)<O∣

[a>l

A={x∖a<x<2a-∖],B={x∣l<x<3},.∖<,解得IV④2.

2α-L,3

∙∙∙实数。的取值范围是[1,2].

【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-l的大小关系不定，故需对两根大小分类讨

论。

【正解】

【答案】[1,2].

【详解】P-.xeA.Q：XGB,若P是。的充分条件，则Aq8.

因为A=Hd-(3α-l)x+2α2-α<θ}={H(x+l-2α)(x-α)<θ}

当。=1时，4=0,显然成立；

[2a-l.Λ

当αvl时∙，A={x∣2"-l<x<α},B={x∣l<x<3},〈，解得a∈0:

Q,,3

[a>l

当时∙，A={x∖a<x<2a-i},B={x∣l<x<3},:.‹,解得

2α-L,3

l<an2.

实数。的取值范围是[1,2].

务指您通关

1.(2022•南京外国语学校)己知α,女ceR,则下列四个命题正确的个数是()

①若苏〉加2,则会；②若,一2|>忸一2|,则(a—2>>(8-2)?；

③若a>Z?>c>0,则γ>a+C：④若a>0,匕>0,a+匕>4,而>4,则a>2,

bb-∖-c

b>2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

222

(解析】①当ac>bc时，/>0,两边同时除以c,得到a>b,正确;②,一2|>|。一2|≥O,

那么|。一2「>弧一2|2,即(a-2)2>仅一2)2,正确；③

aa+c_Qe+c)-b(a+C)c(^-⅛)

a>b>c>O.∖a-b>O,b-c>O,

bb+cb(b+C)b(b-C)

.∙.g>空£,正确；④令a=1。,》=!同样能满足a+8>4,ab>4,:.a>2,b>2

bb+c2

不正确.共有3个正确.

2.已知l<a+2b<2,—2<2a—b<∖,则8〃+/?的取值范围是()

A(—5,y)B.(-5,y)

C.(-4,7)D.(-4,引

【答案】C

【解析】因为8a+0=2(a+28)+3(2〃一人)，1<a+2X2,-2<2a~b<∖,

所以2<2(a+2b)<4f—6<3(2tz—〃)<3,-4<84+bv7,故Sa+h的取值范围是(一4,7).

3.（多选）下列结论正确的是（）

A.当x>0时，y[x+~-j=^2

W

B.当x>2时，x+’的最小值是2

X

C.当XV前寸，4X—2+几±的最小值是5

149

D.设才>0,y>0,且x+y=2,则一+一的最小值是5

Xy2

【答案】AD

【解析】对于选项A,当M>0时，-∖[x>0,F+122∙Λ^,Aj=2,当且仅当x=l时

取等号，结论成立，故AlE确；对于选项B,当x>2时，∕x」=2,当且仅当X

XNX

=1时取等号，但x>2,等号取不到，因此x+∙L的最小值不是2,故B错误；对于选项C,

X

5

因为XVj,所以5-4x>0,

则尸4χ-2+元匕=一（5-4x+U^）+3W-2XʌJ5-4»+3=1,当且仅

114

当5一出打石，即E时取等号，故C错误；对于选项D,因为AO,y>°,则Lx

/+加+0=—+畀5词2寸!甘+5丹,当且仅当即W时取

等号，故D正确.

4.（多选）（2022•广东中山纪念中学）若α>∕7>O,则下列不等式恒成立的是（）

b/7+1171

A.—<------B.QH—

aa+∖ab

2a+ba

C.ciH—>bτ—D.-------->-

baQ+2。b

【答案】AC

【解析】由α>6>0,^ab+a>ab+b,即。3+1)>伏。+1),所以包>2,A正确;

a+∖a

若a=2,b=一,满足但QH—=—<—=〃+7,B错误；。>/?>0,则:>—，

3a23bba

所以α+—,C正确；由α>/?>()得C>o,C/+2Q〃>/?2+2出?，所以

ba

2a+ba…

--------<-.D错.

a+2bb

5.(2022•全国高一课时练习)若不等式(a—2)∕+2(α-2)x-4<0对一切x∈R恒成

立，则实数a取值的集合()

A.{a∣a≤2}B.{a∣-2<a<2}C.{a∖-2<a≤2}D.{a∖a<-2}

【答案】C

【详解】①a=2时，不等式化为-4<0对一切％∈R恒成立，因此a=2满足题意；

②aH2时，，要使不等式(a-2)χ2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则必有

(Q-2v0Aj

(4(a-2)2+16(a-2)<θ^7,ʃ4,nʃ-2<a<2-

综上①②可知：实数a取值的集合是仅1-2<凡2}.

6.已知a"∈(0,yo),则"+zr+∣+4M的最小值为()

ab

A.1B.2C.4D.6

答案:D

【分析】将原式变形,利用基本不等式可得解,需注意等号成立的条件

【详解】依题意，a'+b'+i+4ab=-+-+-+4ab,因为巴+≥2口.2当且仅当

ClbbaabbaNba

a=b时等号成立，又因为」-+4M≥2.--4ab,当且仅当」-=4而时，即

abVcιbab

ab=L时等号成立，

2

因此@+2+-!-+4^^2、R+=当且仅当a=%="时等号

baabNbaNab2

成立，

7.(多选题)已知Q>0,b>0,则下列命题成立的有()

A.若a〃=l,则4+历2之2B.若a〃=l,则‘+,≥2

ab

C.若a+b=l,则/+02≤1D.若a+b=l,则'+∙1∙≥4

2ab

【答案】A、B、D

【详解】A.若ab=l,则"+b2≥2ab=2,当且仅当a=h=l时，等号成立，故正确；

B.若ab=l,则L+L≥2J-!-=2当且仅当a=A=l时，等号成立，故正确；

abVab

191

C.若a+b=l,则/+〃2一(。+人)-=一，当且仅当a=b=l时，等号成立，故

2v72

错误;

11a+b11

>=4

D.若α+)=l,则。bababa+b,当且仅当Q=∕7=l时，等号

~T~

成立，故正确.

8∙（多选）下列命题为真命题的是（）

2222

A.若a>h>O,贝∣Jac>hcB.若a<b<Of则a>ah>h

C.若a>b>O且c<0,则已辛D.若a>b且:>/，则。匕<。

【答案】B、C、D

∖a<h,∖a<b

【详解】当C=O时，不等式不成立，ΛA中命题是假命题《^a2>ab19^ab>b2,

[a<01[b<0

2222

λa>ah>hf.∖Btz>⅛>0≠>fl>⅛>0≠>0<Λ<^2,Vc<0,・'.力>方，.'C中命

题是真命题：Wn（-%0=>*L>0,,.'a>b,.,.b-a<0,贝”0X0,'D中命题是真命题.故

选B、C、D.

9.关于X的不等式（/一1）——（Q—i）χτ<o的解集为R,则实数。的取值范围为（）

【答案】D

【详解】当"_1=0时，。=±1,若。=1,则原不等式可化为—1<0,显然恒成立;若。=一1,

则原不等式可化为2x-l<0,不恒成立，所以α=-l舍去；当/一1/（）时，因为

（42-1）公-（。-1）1<0的解集为H,所以只需。2一1<。且

3（3

Δ=[-（6t-l）]2+4（a2-l）<0,解得—《〈”〈I.综上，实数α的取值范围为[一勺」.

10.（2022•石家庄市第十九中学）设α>0,b>0,给出下列不等式不恒成立的是（）

A.a2+l>aB.a2+9>60

c∙（α+U*）≥4D∙"加+{∣≥4

【答案】B

【详解】设α>0,b>0,对于A选项：a2+↑-a=（a+^∖+→0,故A选项的不等式

恒成立;

a1+9-6α=(0-3)2≥0,故B选项不恒成立.；

fιn.ba«

—+-1+-÷-+l≥2+24,

I。b)ab

当且仅当2=f即α=力时取等号,故C选项中的不等式恒成立,因为。+工，2,/j+，22,

abab

.-.(^+ɪp+^∣≥4,当且仅当a=，，b=-,即α=b=l时取等号，故D选项中的

Va)∖b)ab

不等式恒成立，

11.(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有()

A.ΛX)=X2+ΛB.TW=COSX+晨Hy

x2+44

C.4X)=衣不JD.yu)=3jr+予-2

【答案】AD

【详解】对于选项A,・・・/>0,・・•由基本不等式可得f+422,当且仅当/=4，即x=l

或贡=—1时，等号成立，故选项A正确；对于选项B,*.*0<Λ<^,ΛO<cos1,由基本

不等式可得COSx+-ɪ-22,当且仅当COSjV=T^Γ,即CoSX=I时，等号成立，但是CoSX

COSXC∙OSʌ

炉+4

取不到1,因此等号不能成立，故选项B不正确；对于选项c,由基本不等式可得yu)=

∖x2+3

=/=匹+号》2,当且仅当乒=点’即/=一2时,等号成立,

显然不可能取到，故选项C不正确；对于选项D,V3v>0,・•・由基本不等式可得KV)=3,

4/44

+手一222∖∕3工1一2=2,当且仅当3，=不，即X=IOg§2时，等号成立，故选项D正确.

12.(多选题)已知x>O,y>0,且x+y+盯一3=0,则()

A.jy的取值范围是［l,9］B.x+y的取值范围是［2,+oo)

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4友一3

答案：B、D

解析：因为x>O,y>O,所以x+yN2s∕^,所以3—冲≥2λ∕^,解得0<J^≤l,即

OV盯≤1,

则A错误.因为x>O,y>O.所以孙≤(苫马2,所以3-(χ+y)≤(号)2,即

(x+J)2+4(%+>>)-12≥0.

—V+34

解得x+yN2,则B正确.因为x+y+孙-3=0,所以X=------=-14--------,

y+1γ+l

444

则x+4y=-l+——+4y=——+4(y+1)—522x4—5=3,当且仅当——=4(y+l),

y+∖y+1y+1

即y=0时，等号成立.因为y>0,所以x+4y>3,则C错误.

Λ+2y=-l+-^-+2^=-^-+2(j+l)-3>4√2-3,

>+1'y+1

4r-

当且仅当;——=2(y+l),即J=√2-1H<∣,等号成立,则D正确.

y+ι

114

13.已知α+b=l,〃>0,Z?>0,则—I—I—ʌ7的最小值为()

aba+b

A.12B.6+4√2C.yD.4+6√2

答案：B

14

【分析】由已知得出(42+∕2)+2M=l,将所求代数式化为丁+^,与代数式

7abcr+b~

114

(/+〃)+2。活相乘，展开后利用基本不等式可求得一++^^的最小值.

aba~+⅛-

【详解】因为α>0,匕>0且a+Z?=l,则面+〃)+2"=],所以，

11H-UTUt+1r,7»7×-.Zɪ

—I1—ɔ-----=------1—ɔ----7=-----1—ɔ-----7=[2,cιb+3z-÷b")](---1—ʌ----∑~)

aba~+Z?"aba~+b~aba~+/?~aba~+/?~

=6+聿/+广亘≥6+2∖俘弓2正=6+4&，当且仅当a?+匕2=20α∕7

α"+ZrabNa+bah

时，等号成立，

14

因此，一H----1—-.......-的最小值为6+4&.

aba^+b^

14.已知一2<α<3,2<6<3,则钠取值范围为

【答案】（一1,|）

【解析】因为2<力<3,所以;因为一2<4<3,当一2<a<0时，0<—4<2,所以0<一*U,

所以一lv.O:当a=0时，^=0:当0<〃<3时，。今尚.综上可得一1<∣<∣,即作

15.若α,b∈R,ab>O,则一+4,+1的最小值为___________

ab

【答案】4

【解析】-+4λ'+1≥-'-i-^4ab+-≥2.4ab--^4,(前一个等号成立条件

abababVab

是∕=2⅛2,后一个等号成立的条件是αb=∙L,两个等号可以同时取得，则当且仅当

2

/=也方二也时取等号).

24

3

16.函数y=1—2x—的最小值为.

【答案】l+2√6

【解析】因为x<0,所以y=l—2x—：=l+(—2x)+(一三)力+2\^(—2x)(—1)=1+2加，

当且仅当X=-当时取等号，故y的最小值为l+2√6.

17.(2022.江西上高二中)设集合4=卜|£^401,8=卜心一2。)[一/-1)<0},若

AB=0,则实数。的取值范围是；

【答案】{l}U[2,+x)

[解析]A=卜∣^^≤θ}={H-]<x≤4},因为α2+>2α=(αT)2≥0,

当Y+ι=2α时，α=l,8=k∣(x-2)2<θ},此时8=0，AB=0,满足题设；

当q2+]w24时，02+ι>2q,8={x∣2α<x<∕+l}，要使AB=0,需满足24≥4,

即022；

综上所述，tι∈{l}U[2,+∞)

18.(2022•太原市第五十三中)已知A={x∣χ2+pχ+ι=o},^={x∣x>θ),若

AM=0,则实数。的取值范围为.

【答案】(-2,+oo)

【详解】当A=0时，4=p2-4<0,解得一2<p<2；当4x0时，即p≤-2或p≥2

时，此时方程/+pχ+l=O的两个根需满足小于等于O,则无内=1>。，ɪɪ+¾=-p<θ-

得〃>O,“N2,

综上，p>-2.

19.(2022・上海市洋泾中学)已知集合M={x∣(x-a)(χ2-Or+α-l)=O}各元素之和等于

3,则实数。=.

3

【答案】2或7

2

【详解】由题意知:M={x∣(X-Q)CX2一分+。-1)=0}中元素，即为

(X-Q)(X2一办+〃-1)=0的解，

λ

工X-Q=O或χ2-ar+α-i=0，可知：玉=Q或％+冗3；•当々。⅛时、2a=3：当

3

Z=Λ⅛时，-«=3，

∙∙a=2或。=一,

2

20.(2022•绍兴鲁迅中学)已知函数/(»=以2之满足-4≤f(l)≤TT≤∕(2)≤5,则/(3)

的取值范围是.

【答案】［-1,20］

八2)-〃1)

/(l)=a-⅛,a~3，