山东省济南市2023-2024学年高三年级上册开学摸底考试数学试题

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2023—2024学年高中三年级摸底考试

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x..2},6=-x-6”o},则4]B=()

A.1x|x...-21B.1x|x.3jC.{x|2熱3}D.2}

2.已知复数z=如，则|z|=()

1+i11

A.A/3B.75C.3D,5

3.已知平面向量a=(3,2),8=(—2,1),若+丄方，则4=()

4334

A.B.—C.-D.一

5555

4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为

()

A.12B.18C.21D.24

5.过点(—2,0)与圆元2十/一4%一加=。相切的两条直线垂直，贝|]加=()

A.—4B.—2^2C.2行D.4

6.“曲线y=ev+a怛在直线y=x—1上方”的一个充分不必要条件是()

A.—1<。<0B.④-2C.—c<Q<—2D.a>—2

7.已知a为锐角，若sin(2a+竺券)=

-——，则cosa=()

4

73-1V3-1cV3+1V3+1

A.--------B.-------C.-------D.-------

8484

8.记S〃为等比数列｛4｝的前〃项和，若§4=5邑，06=21,贝|J§8=（)

A.-120B.-85C.85D.120

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=asinx+cosx（a>°）的最大值为2，则（）

A.a=6B.y=/（x）的图象关于点（看,0卜称

C.x=3■是y=图象的一条对称轴D.>=“X）在（0,?）上单调递增

10.已知非零实数a,8满足时>网+1,则下列不等关系一定成立的是（）

A..a>b+\B.lna?>ln(/?2+])c.a2>4b

IL如图，棱长为1的正方体中，点£,尸分别是棱用C-8乃的中点，则（）

厶.直线40丄平面4瓦）

B.直线政〃平面AG2

]_

cV

3

9

D.过E,F,Q三点的平面截正方体的截面面积为一

116

12.已知抛物线C：y2=4x,。为坐标原点，直线/交抛物线于A（玉，y）,B（w，%）两点，若。4。8=-4,

则（）

AJ%=-8B.直线/过定点（2,0）

C.S^OB的最小值为2血D.丄+4的最小值为2

王

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为.

14.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件4为“第一次的点数大于第二次的点数”,

记事件B为“两次点数之和为偶数”，则P（B\A）的值为.

15.已知椭圆C：]+亲•=1（。>A>0）的上顶点为B,两个焦点为大，鸟，线段8工的垂直平分线过点FP

则椭圆的离心率为.

16.若函数=—0任+以+。）卜C（CHO）的图象关于直线x=—2对称，且/（x）有且仅有4个零点,

则a+人+c的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知△ABC中，内角A,B,。的对边分别为a,h,。，且bcosC+ccosB=2asinA,a=l.

（1）求△ABC外接圆的半径；

(2)若^+°2=4,求△ABC的面积.

18.（12分）随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响.为了解实体经济

的现状，某研究机构统计了一个大商场2018-2022年的线下销售额如下:

年份编号X12345

年份20182019202020212022

销售额y（单位：万元）1513146512021060860

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号元的关系，请用相关系数加以说明;

（2）建立y关于x的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额.

“---

Xx：y：-nxy

a=y-hxf

19.（12分）等差数列｛a“｝满足%=5,“+%=8,正项等比数列也｝满足打=。2,a是片和44的等比中

项.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式；

（2）记=an+bn,求数列｛c“｝的前〃项和Sn.

20.（12分）如图，在四棱锥P—A3。中，底面ABCO是正方形，PA丄底面ABC。，Q4=AD=3,点

产是棱PO的中点，点E是棱OC上一点.

（1）证明：AFLEF-.

（2）若直线8P与平面AEE所成角的正弦值为叵，求点8到平面A£F的距离.

11

21.（12分）已知双曲线C：鼻一方=1（。＞0力＞0）的一条渐近线方程为x+0y=O,点A（2,l）在。上.

（1）求。的方程；

（2）过C右焦点的直线/交C于P,。两点，若左”+左順=0,求/的方程.

22.（12分）已知函数f（x）=Qlnx+l-x.

（1）若求a的值；

、、丁皿“lIn2In3In4Inn1

(2)证明：当〃EN且〃..2时，——x——x——xx——<一.

223242n2n

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

题号12345678

答案CBDBDADC

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案ADBCDABCABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

V321

13.一7t14.-15.-16.39

352

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）【解析】（1）因为bcosC+ccosB=2asinA,

所以sin3cosC+sinCeosB=2sinAsinA,

所以sin（5+C）=2sinAsinA,

因为sin（3+C）=sinA,

所以2sinA=l,即sinA=」

2

所以2R=」一=5=2,即R=1

sinA丄

2

I57r

（2）由（1）可知：sinA=—，A=—或一,

266

因为62+。2=4,。=1

TC

所以A=上,

6

由余弦定理得"=b2+c2-2bccosA,

所以灰•=6,

所以ABC=—Z?csinA-—x

22MT

5

功6ioo

18.（12分）【解析】（1）由已知数据可得，了=3,歹=且一=叫、=1220,

55

5___

所以，％»—5盯=16589—5x3x1220=—1711,

1=1

-1711

所以‘®«-0.9856

1736

因为N非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系

(2)由已知数据可得，2>,2=12+22+32+42+52=55,

i=\

5__

-盯16589-5x3x1220

所以｝二R------------171.1,

55—5x3?

E-X,2一5元2

1=1

«=y-^x=1220-(-171.1)x3=1733.3,

所以，y关于x的回归方程为9=—171.1x+1733.3

令尤=6,则$=—171.1x6+1733.3=706.7(万元)

所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元.

%=q+4d=5

19.（12分）【解析】（1）法一：由题意可得:

%+%=2a]+6J=8

解得，%=d=l,

所以，an=ciy+（H-1）J=H；

法二：由题意可得，4+%=2。4=8,所以%=4,

则d=%—%=1，

所以卬=〃4+(九一4)d-n.

又切>0且％=%=2,%=Jq%=8，

所以打二打“吃二？〃）

(2)因为q?=。〃+b〃=〃+2'1,

所以S,=(l+2°)+(2+2)+(3+22)++(〃+2'i)

=(1+2+3++H)+(2°+21+224-+2'i)

_〃(1+〃)2。(1-2")_/2+

一十一十N—1

21-22

20.（12分）【解析】（1）在正方形ABC。中，有A。丄C。,

又丄底面ABC。，CDu平面ABC。，

所以Q4丄CO,又ADAP=A,

所以CO丄平面PAD,又Abu平面PAD,所以CD丄AF,

又Q4=AT）,点尸是棱PO的中点，所以有A尸丄PD,

又CDPD=D,所以AF丄平面PDC,

又EFu平面POC,所以AF丄EF.

（2）如图，以点A为原点，以A6,AD,A尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，B（3,0,0）,P（（）,0,3）,

尸（0,3,1）,设点E（肛3,0）,硼3,

设平面AER的法向量”=(x,y,z),

n-AE=0"nx+3y=0

<ni,

n-AF=0[y+z=0

令X=3,可得“=(3,-〃2,〃2),

又8P=(-3,0,3),

所以直线BP与平面AER所成角的正弦值sin。=TI一^I门H=—11

化简可得加2-22m+21=0,即（加一1）（加一21）=0,

所以〃?=1或/%=21（舍），

即点七（1,3,0）,由加=1可得，n=（3,-l,l）,AB=（3,0,0）,

\n-AB\9布

所以点B到平面AEF的距离d==二一.

加

一

b_夜

2a-

所

21.(12分)【解析】(1)由题J。以-

丄b1

4"=

故双曲线的方程为5―y2=l.

(2)显然直线/的斜率不为0,

设/：x=my+s/3,P(%,y),。(/,必)，

则联立双曲线得：2一2)9+26加)，+1=0,故厶>0,%+%=-屮2,乂必=二一

、丿m-2tn-2

..M-1%—1

kAP+kA0=-------------=0,

”AQxI-2.Aro-2

化简得：2mMy2一(〃?+2-6)(乂+%)+4-26=0,

故为£++2-向豐+4-26=。，

即(机+1)加一(2—0)]=0,帆=一1或加=2—G

当初=2-百时，直线/过A点，不合题意，舍去，

所以直线/的方程x+y—6=0.

22.(12分)【解析】(1)方法一：由题意知，xe(0,+