2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一（上）段考数学试卷（含解析）

2023.2024学年辽宁省沈阳二中高一（上）段考数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合U={-2,—1,0,1,2},A=（xeN\-2<x<3},则QA=（）

A.0B.{-2,-1}C.{-2,-1,0）D.{-2,2}

2.如果a<b<0,那么，下列不等式中正确的是（）

A.B.a2<b2D.4<A

aba-baa"b

3.已知OWa-bWl,2<a+b<4,贝|4a—2b的取值范围是（）

A.1<4a-2/J<5B.2<4a-2b<7C.1<4a-2b<6D.0<4a-2h<9

4.不等式立罕〈o的解集为（）

x+1

A.{x|x>3或一1<x<1}B.{x|x>3或一1<xW1}

C.{x\x<—3或—1<x<1}D.{x\x<—3或—1<x<1}

5.我们把含有有限个元素的集合4叫做有限集，用cardQ4）表示有限集合4中元素的个数.例如，A={a,b,c},

则cardQ4）=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有力，B,C三类，那么，card（AUBUC）=cardA+

cardB+cardC-card{AnB）—card{BnC）—card（AnC）+card（AnBnC）,某校初一四班学生46人，

寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都

参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）

A.2B.3C.4D.5

6.已知命题p：3%6/?,>3,则命题p的否定为（）

A.3%GR,<3B.3%G/?,>T-x<3或x<0

C.VXG/?,yj~~X<3D.VxG/?,<3或x<0

7.被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写行则

圆海镜,对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献,我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵

式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各

位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“丁一”I

"，数字0通常用表示.按照李治的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，

“元”向上每层增加一次幕，向下每层减少一次基.如图2所示表示方程为炉+336/+4184%+88320+

竽=0.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（）

纵式：IgIDHIimTirIim

横式：一=三三叁

_L«LJ5sL

123456789

Hl

A.—:和一?B._抵和一4C.—3和一2

3263

8.已知命题“7xe[1,2],7一2ax+1>0”是真命题，则实数a的取值范围为

（）

A.（-8,》B.4，+8）C.（―8,1）D.（1,+00）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列选项正确的有（）

A.比较接近1的整数的全体能构成一个集合

B.由实数x,-X,|%|,，不，一泞所组成的集合，其元素的个数最多为2

C.设x,yeR,A={（X,y）|y=x},B={（x,y）|^=1},则4=B

D.若集合M={x|x=g+；,keZ},集合N={x|x=3+g,keZ},则MUN

10.下列命题为真命题的是（）

A.设a,b€R,则“a40”是“ab力0”的既不充分也不必要条件

B."ac<0”是“二次方程a/+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件

C."|x|<2"是“X<2”的充分不必要条件

D.“工<1”是“a>1”的必要不充分条件

a

11.下列命题中正确的是（）

A.芸的最小值是2

B.当x>l时，*+」彳的最小值是3

C.当0<x<10B寸，J穴10-％）的最大值是5

D.若正数x,y满足2x+y=l,则xy的最大值是上

12.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为

现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合4、B满足：4n8=。，AUB=

N*,则称(4B)为N*的二划分，例如4={x\x=2k,kGN*},B={x\x=2k-l,keN*},则(4,B)就是N*的

一个二划分，则下列说法正确的是()

A.设4={x|x=3k,kCN*},B=[x\x=3k+l,k&N*},则Q4,B)为N*的二划分

B.设4={x|x=2n,neN},B={x\x=k-2n,k=2m+3,m,nEN],则(A,B)为N*的二划分

C.存在一个N*的二划分使得Vx,yEA,x+yGB,对于Vp,qeB,p+qEB

D.存在一个N*的二划分(4,B),使得Vx,yeA,x<y,则x+yCB；Bp,q€B,p<q,则p+q64

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知集合{a,b,c}UB={a,b,c,d),则集合B的个数为.

14.命题“mxeR,(a+2)x2+(cz+2)x-1>0"为假命题，测实数a的取值范围为.

15.已知集合力={(x,y)|x-ay+2=0},B={(x,y)\ax-4y+4=0),若力nB=0,则实数a的值为

2

16.已知p：当<2,q：x+5x+a>0,若q是-1P的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知集合A-{x|x<—1或x>5},B-{x\2a<x<a+2].

(1)若a=-l,求AnB和AUB：

(2)若x64是％6B的必要条件，求实数a的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式a/-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b](b>1).

(1)求a,b的值；

(2)当x>0,y>0,且满足§+：=1时，有2x+y2i+卜+2恒成立，求k的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知关于x的一元二次方程k/一2(3fc-l)x+9fc-l=0.

(1)若上述方程的两根都是正数，求实数4的取值范围；

(2)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围.

20.(本小题12.0分)

+

已知命题p：3x6/?>/+(7n—2)x+1=0成立.命题q：Va,b6R,b=都有a(b—1)2m+2V~^

成立.

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式(kx—1-4)(x—4)>0,其中k6R.

(1)当k=-l,求不等式的解集4

(2)当k变化时，试求不等式的解集4

(3)对于不等式解集2,满足4nz=8.试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合8中元素最少的k的

所有取值，并用列举法表示此时的集合B,若不能，说明理由；

22.(本小题12.0分)

对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若£>；，那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”.同

时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”；

(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”，判断点「9+<7而+£0是否既是点。4)的“上位点”，又是点(a,b)

的“下位点”，证明你的结论；

(3)设正整数(a,b)满足以下条件：对集合｛t|0<t<2019,teZ｝内的任意元素总存在正整数%.使得点

(n,k)既悬点(2019,m)的“下位点”，又是点(2020,m+1)的“上位点”，求正整数n的最小值(直接写结果,

无需推导).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:因为4={%6W|-2<x<3}={0,1,2),

所以CM={-2,-1}.

故选：B.

根据集合补集的定义进行求解即可.

本题主要考查了集合补集运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由a<b<0,所以々>0,

ab

把a<b两边同时乘以々得：：<工.所以选项A不正确；

由QVb<0,得一Q>-b>0,两边平方得：标>亦.所以8不正确；

由QVb<0,得a-bvO,所以Q(Q-b)>0,若^成立，

则典?>£2也成立，即a>a-b成立，也就是6>0成立，与已知矛盾，

a-ba

所以选项C不正确；

由a<b<0,得:<工<0,所以-4>-j>0,

baba

则今=(V)2<(一乔=表

所以正确的命题是D.

故选：D.

根据给出的a<b<0,得到ab>0,把a<b的两端同时乘以ab的倒数可判断选项A；把给出的等式的两边

同乘-1后平方可判断选项昆对于C的判断可用分析法；在判断4的基础上，把得到的式子两边同乘以-1后

平方可判断选项D.

本题考查了不等关系与不等式，解答此题的关键熟练掌握不等式的性质，若ab>0,有结论工<：,此题是

基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设4a—2b=m(a—b)+n(a+b)=(m+n)a—(m—n)b,

所以产+nU，解得

Im—n=2in=1

所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),

又a—b6[0,1],a+be[2,4]>

所以3(a-b)e[0,3],4a-2be[2,7],故以C,O错误.

故选：B.

用含a-6,a+b的代数式表示4a-2b,结合已知利用不等式的性质即可求得答案.

本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：不等式二裂口，即竺竽2<。,

用穿根法求得它的解集为{x|x<-3或一1<xW1},

故选：D.

不等式即（X+3咚T）S0,再用穿根法求得它的解集.

x+1

本题主要考查用穿根法求分式不等式的解集，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设集合4=｛参加足球队的学生｝,

集合B=｛参加排球队的学生｝,

集合C=｛参加游泳队的学生｝,

则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,card(AnB)=12,card(BCC)=8,card(A(10=9,

设三项都参加的有x人，即cardQ4nBnC)=x,card(AUBUC)=46,

所以由card(4UBUC)=cardA+cardB+cardC—card(力CB)—card(BDC)—card(AnC)+

card(AnBnC),

即46=25+22+24-12-8-9+x,

解得x=4,

三项都参加的有.4人.

故选：C.

根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.

本题主要考查集合中元素个数的求解，属于基础题.

6.【答案】。

【解析】解：量词命题的否定是改变量词，否定结论，

**3%GR,yj~x>3”等价于“mxGR,x>9”，

故其否定是&R,x<9"等价于"VxER,CW3或x<0”.

故选：D.

利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

7.【答案】A

【解析】解：由题意可得

一次项层向上为二次项，为6x2,

一次项层标为“元”，故为23x,

一次项层向下为常数项，为20,

可得6/+23X+20=0,△=232-2X6X20=49,可得方程有2根，

可得-23+J232-4x6x204,-23-、232—4x6x205.

X[=2x6=~3“2=2x6=~2

故选:A.

由题意可得图3中表示的多项式方程是6/+23%+20=0,解一元二次方程即可得解.

本题考查了新定义的应用，考查了一元二次方程的解法，考查了数形结合思想和方程思想，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键.利用参数分离法求出

在[1,2]上对应函数的最值即可.

【解答】

解：若命题“Vxe[1,2],x2-2ax+l>0”是真命题，

则“Vxe[1,2],x2+1>2ax,即a<要=+：）恒成立，

Aa<1,

即实数a的取值范围是（一8,1）,

故选：C.

9.【答案】BD

【解析】解：对4,比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误；

对8,因为―/=田,—=—%,所以当％=0时，这几个数均为0,

当%>0时，它们分别是％,-%,x,x,-x,

当先<0时，它们分别是％,-%,-x,-%,-%,均最多表示两个不同的数，

故所组成的集合中的元素最多为2个，故3正确；

对C,集合4中包含(0,0),而集合B中不含(0,0),故C错误；

对D,对于集合M：x=4+：=%U,/c6Z,

244

对于集合N：x=J+9=孚,k6Z,

424

因为2k+1是奇数集，k+2是整数集，所以MaN,故。正确.

故选：BD.

根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可.

本题考查集合的性质和定义，考查集合间的关系，属基础题.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查充分必要条件的判断，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

A：根据abH0得a力0且bH0,由此即可判断；

B-.根据方程有两个异号根的充要条件即可判断；

C：根据|x|<2得一2cx<2,由此即可判断；

D：解不等式工<1,根据解集即可判断求解.

a

【解答】

解：A：由ab*0,得a*0且b*0,则“a*0”是“ab+0”的必要不充分条件，故A错误；

“。0

B：若二次方程a/+bx+c=0有一正根一负根，则满足=炉-4">0,所以ac<0,

£<0

\a

所以“ac<0”是“二次方程a/+bx+c=0有一正根一负根”的必要条件；

若ac<0,则4=炉一4ac>0,：<0,所以方程有两根且为一正根一负根，所以“ac<0”是“二次方程

ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充分条件，综上，"ac<0"是"二次方程a/+bx+c=0有一正根

一负根”的充要条件，故8正确；

C：由|x|<2,解得一2<x<2,

所以“|x|<2"是“％<2”的充分不必要条件，故C正确；

D：由工<1,解得a<0或a>1,

a

所以u-<r是的必要不充分条件，故正确.

a“a>l”O

故选：BCD.

11.【答案】BC

【解析】解：A选项：芸=1+*>1，故4显然错；

B选项：当x>l时，x++I(x-1)-+1=3>当且仅当x-1=即x=2

X—1X—17\'x—lX-1

时等号成立，故B正确；

C选项：Jx(10-x)式计：「=5,当且仅当x=10-尤，即x=5时等号成立，故C正确；

。选项：2x+y=122j2孙,解得xyW看当且仅当2x=y,即x=*,y=g时等号成立，故。错.

故选：BC.

根据基本不等式求最值检验各选项即可.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4：1任41CB，故AUBWN*,故A错误；

对于B：由十进制和二进制的相互转换可知8正确；

对于C：当A={x|x=2/c-l,k6N*},B=[x[x=2k,k€N*)时,

满足：AnB=0,A\JB=N*,故C正确；

对于C：选项B中的集合A和B就满足，故。正确.

故选：BCD.

利用新定义判断4利用十进制和二进制的相互转换判断B；利用交集、并集定义判断C；利用列举法判断D.

本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、十进制和二进制的相互转换等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

13.【答案】8

【解析】【分析】

本题考查集合的并集的计算，关键是分析集合B中必须有和可能有的元素.

根据题意，由集合并集的定义分析B可能的情况，即可得答案.

【解答】

解：根据题意,集合{a,瓦c}UB={a,瓦c,d},

则B满足{d}UBU{a,b,c,d},

故集合8的个数为23=8,

故答案为8.

14.【答案】{a|-6<aW—2}

【解析】解：命题“mx6R,(a+2)x2+(a+2)x-1N0”的否定为：“VxeR,(a+2)x2+(a+2)x-1<

0”，

因为原命题为假命题，所以其否定为真，

所以当a+2=0即a=-2时，-1<0恒成立，满足题意；

当a+2"即a-2时，只需{:：肾工产+4(a+2)<。,

解得：—6<a<—2.

综上所述，实数a的取值范围是-6<aW-2.

故答案为：{可—6<aW-2}.

原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.

本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于中档题.

15.【答案】-2

【解析】解：集合4={(%,y)|x-ay+2=0},B={(x,y)|ax-4y+4=0},4nB=0,

则1X(—4)——a-a,解得a-±2,

当a=2时，直线x—ay+2=0与ax—4y+4=0重合，不符合题意，

当a=—2时，直线％—ay+2=0与ax—4y+4=0不重合，符合题意，

故实数a的值为-2.

故答案为：-2.

根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

16.【答案】(—14,+8)

【解析】解：由言<2可得，芸>0,解得x<2或x>5.

所以「p等价于2<%<5.

因为q是「p的必要不充分条件，所以「p是q的充分不必要条件，

所以{%|2<%<5}是不等式产+5x+a>0解集的真子集.

设/(x)=—/—5x=—(x+1)2+争在2<x<5上单调递减，

当2〈x45时，有-x)</(2)=-14.

所以由a>—必—5x可得，a>—14.

故答案为：(—14,+8).

由已知可求得「p等价于2WXW5,设/(x)=-5x,根据二次函数的性质可求得/(x)W-14,结合题

意，即可得出答案.

本题主要考查考查分式不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题.

17.【答案】解：(1)当a=—l时，集合8=卜|一2<乂<1},

则4nB={x|—2<x<-1},4UB={x|x<1或x>5]；

(2)因为xeA是xeB的必要条件，则BU4

当B=0时，2a>a+2,解得a>2满足题意，

当BW0时,只需伊三+2或

12a>5la+2<-1

解得aW—3,综上，实数a的范围为(—8,—3]U(2,+°°).

【解析】(1)利用a的值求出集合B,然后根据交集，并集的定义即可求解;(2)由题意可得BU4然后分B=。,

B彳。两种情况讨论，根据子集的定义建立不等式关系即可求解.

本题考查了四个条件的应用以及集合的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为不等式a-—3%+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1),

所以1和b是方程a/-3x+2=。的两个实数根且a>0,

(1+b=-

所以|2巴解得{；_\

h.b=-3=2

\a

(2)由⑴知{'；,于是有:+，1,

故2x+y=(2x+y)C+9=4+?+yN8,当且仅当时，等号成立，

xyxy(y-4

依题意有(2x+y)min>k2+k+2,即8>k2+k+2,

得1+k-6W0=-3WkW2,所以k的取值范围为[-3,2].

【解析】(1)根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出a、b的值；

(2)由(1)可得;+5=1,结合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到关于％的不等式，解出即可.

xy

本题考查了一元二次函数和一元二次不等式的关系，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，考查转化思

想与运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)关于关于x的一元二次万程入2一2(34-l)x4-9fc-1=0有两根,

~T，旦户。0

nJ侍3=4(3k-I)2-4k(9k-1)=4(-5k+1)NO'

解得k热，且kRO,

又两根为正根，所以％1+%2>0，xrx2>0,

用>。

即k解得k<0或*kq,

中>0

.k

故实数k的取值范围为｛k[k<0或g<kw

(2)由题意可知：k手0,

若A=4(3k-l)2-4k(9k-1)<0,

解得此时无实数根，满足题意，

若/=4(3k-I)2-4/c(9fc-1)>0,

解得且k40,

设此时两实数根分别为x2)

(9k-l、n

I%i%2=-ik——0

则由题意得XiWO,x2<0,贝M1,

k+%2=2(3-i)<0

11

-<-

9-5

综上：实数k的取值范围为伙Ik4｝.

【解析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数k的取值范围;

(2)根据二次方程的根列不等式求解即可得实数k的取值范围.

本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题.

20.【答案】解：(1)根据题意，命题p：3xeR,M+(m-2)x+1=0成立，

若p为真，则方程/+(m-2)x+1=0有解，

则有A=(m-2)2-4>0,解可得m>4或m<0,

故p为真时，m的取值范围为24或mW0｝；

(2)根据题意，若Va,b6R+,b=由于b>0,则a—l>0,

则a(b-1)=a(器)=(a-1+1)(1+上)=3+(a-1)+与23+2<2,

当且仅当a—1=时，即Q=1+V~~2，h=24-时等号成立,

即a(b-1)的最小值为34-2/7.

若命题q为真命题，必有m+2/至W3+2/2，可得m<3,

当命题q为真命题时，m的取值范围为(-8,3］；

又由命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，

需要分2种情况讨论：

若p真q假，则有［血？4或mW0,解可得m24,

若p假q真，则有{；：弓<4,解可得0<mW3,

综合可得：0<mS3或m24,

即m的取值范围为{m［0<m<3或m>4}.

【解析】(1)根据一元二次方程有根，由判别式即可得加的取值范围；

(2)根据题意，求出p,q为真时他的取值范围，由此分p真q假和p假q真两种情况讨论，分别求出m的取值范

围，综合可得答案.

本题考查命题真假的判断，涉及