第20讲 函数的零点与方程的解（教师版）-高一数学同步讲义

第06讲函数的零点与方程的解

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课程标准课标解读

1.了解函数的零点与方程的解的关系，

并能结合函数的图象判定函数的零点.

通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时

2.能根据函数零点存在性定理对函数零点

能解决与函数零点相结合的综合问题.

存在进行判定，同时能处理与函数零点问

题相结合的求参数及综合类的问题.

册:知识精讲

空、知识点01函数的零点

函数零点的概念

对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

【微点拨】1.函数的零点是实数，而不是点.

2.并不是所有的函数都有零点.

3.若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.

受'知识点02函数零点与方程根的联系

函数丁=/(幻的零点就是方程/(x)=0的实数根，也就是函数y=/(x)的图象与x轴的交点的横坐

标.所以方程/(X)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点。函数y=f(x)有零点.

【微点拨】函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.

髻'知识点03函数零点的判断

如果函数y=/(x)在区间切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有了(。>/9)<0,那么，函数

,=/。)在区间(。力)内有零点，即存在ce3,6),使得/'«•)=(),这个c也就是方程/(x)=0的根.

注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数.

【微点拨】函数零点的求法

(1)代数法：求方程yu)=o的实数根.

(2)几何法：与函数y=/(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

(3)图象法：如果函数F(x)能够写成F(x)=g(x)-/z(x)形式，则可以看做产g(x)和y=/?(x)图像交点的横坐标

【即学即练1】函数尸2储—3x+l的零点是()

【答案】A

【分析】

令函数值为0,解方程，即可得出结论.

【详解】

令2丁-3》+1=0，解得X=1或X

函数y=2/_3x+l的零点为1,；

故选：A.

【即学即练2】函数〃x)=C；-x-2的零点所在的区间为(

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D.（0,1）

【答案】C

【分析】

结合函数零点的存在性定理即可得出结果.

【详解】

2

因为〃x）=-犬-2是连续的减函数,

/(-3)=—35>0,/(-2)=9^>0,

o4

77

/(-l)=1+l-2>0,/(0)=l-2<0,/(l)=--<0,

有/(-l)/(0)<0,所以/(x)的零点所在的区间为(-1,0).

故选：C

【即学即练3】已知方程必+(相-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根，且都大于2,则实数，"的取值范围

是()

A.(—5,—4)(4,4-oo)B.(—5,-Ko)

C.(-5,-2)D.(—4,—2)k«J(4,+oo)

【答案】C

【分析】利用二次函数根的分布求解即可.

【解答】解：令/(幻二/+⑺一2»+5-m，

则由已知可得函数/(x)与工轴有两个不同的交点，且都在2的右侧,

二(加-2)2-4(5一团)〉0

由图可得:^->2,解得：-5<m<-2,

2

/(2)=4+(/n-2)x2+5-m>0

故机的取值范围为：(-5,-2),

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数根的分布问题，涉及到数形结合思想，属于一基础题.

【即学即练4】已知函数次x）的图象是连续不断的，有如下的x,«r）的对应表

X123456

式X）136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

则函数7（x）存在零点的区间有（）

A.区间［1,2］和［2,3］B.区间［2,3］和［3,4］

C.区间［2,3］、［3,4］和［4,5］D.区间［3,4］、［4,5］和［5,6］

【答案】C

【解析】本题考点是零点存在问题,因为42）＞0,13）＜0,44）＞0,＜5）＜0,所以在区间［2,3］,［3,4］,［4,5］内

有零点.

【即学即练5］/（x）=』-3了-4的零点是.

【答案】4,-1

【分析】

令〃x）=0,解方程即可求解

【详解】

由=丁_3x_4=0,g|J（x-4）（x+l）=0,

解得x,=4,x2=-l.

故答案为：4,-1

【即学即练6］若方程储+（1-左）%-2仅+1）=0的一个根在区间（2,3）内，则实数攵的取值范围是

A.（3,4）B.（2,3）

C.（1,3）D.（1,2）

【答案】D

【解析】设/（%）=X2+。一攵）%-2伙+1）,对于方程/+0一攵）》一2（攵+1）=0,判别式为

4=（1—左）2—4xlx］—2仅+1）］=伙+3）&0,当&=一3时，函数/（力的唯一零点为％=-2定（2,3）,

故要使方程42+（—左户一2（左+1）=0的一个根在区间（2,3）内,只需〃2卜〃3）＜0,即

（4—4k）《IO-5k）＜0,解得1＜攵＜2,故选D.

口能力拓展

考法01

函数零点的求法

求函数的零点一般有两种方法.

(1)代数法：根据零点的定义，解方程/(x)=(),它的实数解就是函数y=/(x)的零点.

(2)几何法：若方程/(x)=()无法求解，可以根据函数y=/(x)的性质及图象求出零点.

【典例1］已知函数/0)=1°8!(2-》)+1。8产.

22

(1)求函数『(x)的定义域;

(2)求函数f(x)的零点.

【答案】(1)(0,2)；(2)1.

【分析】

(1)根据真数大于0即可.

(2)令f(x)=0即可.

【详解】

f2-x>0

(I)由已知可得《八，解得0<x<2,;J(x)的定义域为(0,2).

［x>0

(2)/(x)=log|(-/+2*，xe(O,2),

2

由/Xx)=0得—f+2x=l,即V—2x+l=0,解得x=l,

，f(x)的零点是1.

【即学即练7］若函数/(x)=f一办+。的两个零点是2和3,则函数8(%)=加一办一1的零点是()

工1»1

A.—1和一B.1和

66

1*11*厂

C.一和一D.---和J3

232

【答案】B

【解析】函数〃％)=%2-始；+6的两个零点是2和3,由函数的零点与方程根的关系知方程/一,江+炉0

的两根为2和3.

【即学即练8]已知函数/(x)=<2"一_]'x<"]，则函数/(X)的零点为________.

1+log2x,x>i

【答案】0

【解析】当xWl时，由/。)=2'—1=0,解得x=0；

当尤>1时，由/(x)=l+log2X=0,解得x=g,又因为无>1,所以此时方程无解.

综上，函数/(x)的零点为0.

【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程.若遇到解

高次方程，可用因式分解法.

考法02

函数零点个数的判断方法

(1)解方程法：令f(X)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间口，回上是连续不断的曲线，且/(a)-f(b)<0,

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点

值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中

交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

【典例2】函数1》)=2，+/—2在区间(0,1)内的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】因为,"0=2”12+3/>0,所以函数yU)=2'+/-2在(0,1)上递增，且火0)=1+0—2=—1<0,

/(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.

(2)已知0<。<1,则函数y=aWTlog«x|的零点的个数为.

【答案】2

【解析】函数丁=即一|1。8,国的零点的个数即为方程加=|log“x|的解的个数，也就是函数

/(x)=aW(0<a<1)与g(x)=|log“玳0<a<1)的图象的交点的个数.

画出函数图象如图所示,

观察可得函数/（©=胪（0<。<1）与g（x）=|log。目（0<a<l）的图象的交点的个数为2,从而函数

y=胪-|lognx|的零点的个数为2.

【名师点睛】判断函数/（x）=〃（x）-g（x）的零点个数问题，可采用数形结合的方法.

考法03

判断函数零点、方程的根所在的区间

确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应

的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x轴的交点来确定.

【典例3】以下函数在区间（0,g）上必有零点的是（）

1।4

A.y=2B.C.y=\n（x+—）D.y=2x+l

xJ5

【答案】c

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数在区间（0,3）上有没有零点，综合即可得答案.

【详解】

根据题意，依次分析选项：

对于A：,），=[=«,在区间（0,1）单调递增，且y>0恒成立，在区间（0,；）上没有零点，不符

合题意；

对于B,y=3，W=春，在区间（0,1）单调递增，且有y>0恒成立，在区间（0,上没有零点，不

符合题意；

411

对于C,y=\n（户=），当工=二时，y=lnI=0,区间（0,—）匕有零点，符合题意；

对于D,y=2x+l,在区间（0,1）单调递增，且y>0恒成立，在区间（0,1）上没有零点，不符合题意.

故选：C.

【即学即练9]函数f（x）=log2x+x+l的零点所在的区间是（）

【答案】C

【分析】连续函数f(x)=log2X+x+l在(0*)上单调递增，推出个)<0,是)>0,根据函数的零点的

判定定理可求.

【解答】解：连续函数/(幻=1密》+》+1在(0,y0)上单调递增,

,/、.11..14,/2、，源，河八

=g2

'/3呜§+§+1=°§+§=°g2（12）=log2-y<log2-y<0,

冲尺)<0,

f(x)=log2X+X+1的零点所在的区间为(g>；),

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数零点的定义及判定定理的应用，属于中档题.

考法04

求与零点(或方程的根)有关的参数的取值范围

(1)已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步:

①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围.在求解时，注意函数图象的应用.

(2)已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题.

2x-a,x>0

【典例4】已知函数〃x)=有三个不同的零点,则实数。的取值范围是

x2+ax+a,x<0

【答案】(4,48)

【分析】

原问题等价丁一：当后0时，方程2"-a=0有一个非负根，当x<0时，方程/+5+a=0有两个不等负根,

列出不等式组即可求解.

【详解】

解：函数/(力=2：一”'让°八有三个不同的零点，即了(力=0有三个不等实根，

[x+ax+a,x<0

因为X?+ar+a=O至多两个根，2*-a=0至多，,个根，

所以原问题等价于：当忘0时，方程2*-<2=0有一个非负根，当X<0时，方程/+0¥+4=0有两个不等负

根，

2°-a<0

所以有，a>0,解得〃>4,

a2-4a>0

所以实数。的取值范围是(4,例)，

故答案为：(4，口).

【即学即练10】函数f(x)=2'-：-a的一个零点在区间(1,3)内，则实数”的取值范围是()

A.(7,+oo)B.(—oo,—l)C.(7,+oo)D.(-1,7)

【答案】D

【分析】

3

先判断出/(x)=2'-3-a在(0,+℃)上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求〃的范围.

x

【详解】

•；y=2、和y=-2在(0,e)上是增函数，

x

3

f⑴=2、-三-a在(0,+8)上是增函数，

x

二只需/(1>/(3)<0即可,BP(-l-a)-(7-a)<0,解得-l<a<7.

故选：D.

考法05

二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题

(1)二次函数,y=av2+Zzx+c(a>0)的零点：

/>0/=0/<0

时需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴％=-2与区间端点的关系.

2a

【典例5］已知函数/'(x)=f+2(m+l)x+2/n+6.

(1)若方程/(x)=0有两个正根.求机的取值范围;

(2)若函数“X)至少有一个大于-2的零点，求〃?的取值范围.

【答案】(1)-3<m<-\［5;(2)卜8,一百］VJ(3,+8).

【分析】

(1)由判别式ANO,两根之和大于0,两根之积大于0列不等式组，解不等式组即可求解;

(2)分两种情况讨论：①f(x)的两个零点一个大于-2,一个小于等于-2,②f(x)的两个零点均大于-2,

由二次函数根的分布列不等式组即可求解.

【详解】

(I)设/(x)=0的两根分别为外,尤2,

A=4（//2+l）~-4（2/n+6）>0tn<一小或m>A/5

由题意知：,%=-2（m+1）>。即<tn<-1

X^X2=2/72+6>0m>-3

所以一3<n?W-A/5,

所以加的取值范围为：-3<m<-V5

(2)①若/(x)的两个零点一个大于-2,一个小于等于_2,

贝Ij/(-2)=4-4(加+1)+2，〃+6=6-2加<0,可得：m>3

当/(—2)=0时，加=3,此时/(x)=』+8x+12=(x+2)(x+6)不合题意,

②〃x)的两个零点均大于-2,

22

A=4(/n+l)-8An-24=4(w-5)>0m<一6或相>\[5

则./(-2)=6-2m>0即<m<3

-(/n+l)>-2.m<l

所以〃2W—>/5，

综上所述，加的取值范围为(YO，-石卜(3,+8).

【即学即练II】已知函数y=V+〃?x+2,下列说法中正确的是()

A.当〃7>2夜时，函数有2个零点

B.当机<0时，函数有2个正零点

C.若函数在(1，+8)上有2个零点，则〃?>-3

D.若函数有2个零点，且其中一个大于-1,另一个小于-1,则〃?>-3

【答案】A

【分析】

结合二次函数零点分布、判别式等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

A选项：当机>2正时，A=/n2-4x2=w2-8>0,故函数有两个零点，故A正确;

B选项：若“=-1,则4=加一8<0，没有零点，故B错误；

C选项：若函数在(1，+8)上有2个零点，

m

——>1

2

则有<1+旭+2>0,

A=/H2-8>0

解得：-3<m<-272,故C错误；

D选项：由题意可知，当x=—1时，y=l+2<。,

解得：加>3,故D错误.

故选:A.

忽略零点存在性定理成立的条件

【典例6】函数/(x)=x+，的零点个数为()

X

A.0B.1

C.2D.3

【错解】因为/(一1)=一2<(),/(1)=2>0,所以函数/(x)有一个零点，故选B.

【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通

过作图(图略)，可知函数/'(x)=x+L的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的

X

区间上使用.

【正解】函数/(X)的定义域为{x|x#O},当x>0时，/(X)>0；当x<0时，f(x)<Q.

所以函数/(x)没有零点，故选A.

【名师点睛】零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.

M分层提分

题组A基础过关练

2

1.函数/(%)=ln(x+1)---的零点所在的大致区间是()

X

A.(3,4)B.(2,e)

C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

2

【解析】•・•/(%)=ln(%+l)一一在(0,+oo)单调递增，:/(I)=ln2-2<0,/(2)=ln3-l>0,.V(1)/

x

(2)<0,...函数的零点在(1,2)之间，故选C.

2.方程2*=2-x的根所在区间是()

A.(-1,0)B.(2,3)

C.(1,2)D.(0,1)

【答案】D

【解析】令f(x)=2x+x-2,则/(0)=1-2=-1<0,/(I)=2+1-2=1>0,：.f(0)/(1)<0,二函数/(x)

在区间(0,1)上必有零点，①

XV2'>0,ln2>0,：.f(x)=2'ln2+l>0,...函数f(x)在R上单调递增,至多有一个零点.②

综上①②可知：函数/(x)=2，+x-2在R有且只有一个零点沏，且(0,1).

即方程2，=2-x的根所在区间是(0,1).故选D.

3.若a<b<c，则函数/(同="-。)(》-。)+(》一。)(工一(;)+(X一(;)(*一4)的两个零点分别位于区间()

(A)(a,5)和伍,c)内(B)(-co,a)和(a,》)内

(C)他,。)和(。,+8)内(D)(-co,a)和(C,+8)内

【答案】A

【解析】由题意a<6<c,可得/(a)=(a—6)(。—。)>0,fl,b)=(b—c)(b—a)<0,

_/(c)=(c-a)(c-力>0.显然贝a)y(与<0,所以该函数在(a,〃)和S，c)上均有零点，故选A.

4.函数/3=卜2一1)占2一4的零点个数是()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】要使函数有意义，则小-420,即应2或正-2.由/(x)=0得/-4=0或/_[=0(不成立

舍去).即x=2或x=-2,；.函数的零点个数为2个.故选B.

5.列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

A.y=ln%B.错误!未找到引用源。c.y=sin%D.y=cosx

【答案】D

【解析】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.

选项A：错误!未找到引用源。的定义域为(0,+8)，故错误!未找到引用源。不具备奇偶性，故A错误；

选项B：错误!未找到引用源。是偶函数，但错误!未找到引用源。无解，即不存在零点，故8错误；

选项C：错误!未找到引用源。是奇函数，故C错：选项£>：错误!未找到引用源。是偶函数，

且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，故。项正确.

6.若/(x)为奇函数，且xo是(x)-e*的一个零点，则-xo一定是下列哪个函数的零点()

A.y=/(x)e'+lB.y=f(-x)eJ-l

C.y=f(x)eA-lD.y=f(-x)e'+l

【答案】A

【解析】••>)是y=/(x)-e，的一个零点，.•./(知)-e&=0,又为奇函数，

〃-Xo)+e*。

Ai,

：.f(-X0)=-/'(x0)./.-/■(-xo)-e%=0,即F(-xo)+e~=0,故/(-xo)e-+1=0；

故TO一定是y=/(x)ev+l的零点，故选A.

7.函数/(x)=d-x_l的零点所在的区间是()

A.(-oo,-l)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可.

【解答】解：函数/。)=/一彳-1是连续函数,

/(0)=0-0-1<0

f(1)=1-1-1<0

x=2时，(2)=8-2-1=5>0.

:.f(1)f(2)<0,

由零点判定定理可知函数的零点在(1,2).

因为(1,2)=(1,+00),函数的零点所在的区间是

故选：D.

【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题.

8.若方程-f+奴+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(-a),0)D(3,+oo)

【答案】A

【分析】令/（幻=-/+6+4,则由题意利用二次函数的性质，求得实数a的取值范围.

【解答】解：令/（幻=_/+5+4,

由题意，可得第：。。

|-l-a+4>0

即1-4+2。+4>0所以OVCY3,

故选：A.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了函数思想，属于基

础题.

9.设即，分别是函数/（X）和g（x）=xlog^-l的零点（其中a>\）,则为+依的取值范围是（）

A.[4,+oo）B.（4,+oo）

C.[5,+oo）D.（5,+oo）

【答案】D

【解析】由设为，分别是函数/（x）和g（x）=xlog«x-l的零点（其中a>l）,可知汨是方程a"=’

X

的解；q是方程L=log.x的解；则内，工2分别为函数y=’的图象与函数和函数y=logd的图象

XX

交点的横坐标；设交点分别为A（XI,—）,B（必—）»由〃>1,知041V1,X2>\,又因为y=a'和y

*x2

=k）g〃.r以及y=工的图象均关于•直线y=A■对称，所以两交点一定关于y=x对称，山丁点A（xi，—），

XXj

关于直线y=X的对称点坐标为（L,X1）,所以芭=L,有X[X2=1,而X|rX2，

X]x2

则由+4¥2=汨+幻+312224兀+3%2>2+3=5,即汨+4也£（5,+oo）,故选D.

10.函数/1）=卜-2Hm:在定义域内零点的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】c

【解析】由题意，函数/(%)的定义域为(0,+00)；由函数零点的定义，/(x)在(0,+00)内的零点即

是方程|%-2卜11«=0的根.令力=仇-2|,j2=lnx(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得，两

个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点.故选C.

题组B能力提升练

1.已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时，错误!

未找到引用源。，则函数错误!未找到引用源。的零点的集合为()

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【答案】D

【解析】因为错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时,

错误!未找到引用源。，

所以当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。，

由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。；由错误!未找到引用源。解得错

误!未找到引用源。，

所以函数错误!未找到引用源。的零点的集合为错误!未找到引用源。，故选D.

2.已知函数/(x)=('一’若函数g(x)=/(x)-收一2x|/eR)恰有4个零点，则女的取值范围是

-x,x<0.

()

A.(―00,——)L(2V2,+oo)B.(―℃,——)L(0,2-\/2)

C.(-00,0)U(0,272)D.(—00,0),(2>/2,4-oo)

【答案】D

【解析】注意到g（0）=0,所以要使g（x）恰有4个零点，只需方程I丘-2|=乎乎恰有3个实根即可,

\x\

令h（x）=卒?，即y=|近一21与人口）=答的图象有3个不同交点.

\x\k|

因为〃(x)=4?=,%x>0

国I1，x<0

如图1,y=2与父无）=曾有2个不同交点，不满足题意;

当次=0时,此时y=2

\x\

当k<0时，如图2,此时y=|"一2|与力（无）=（一恒有3个不同交点，满足题意;

kl

当&>0时，如图3,当y=2与>相切时，联立方程得f—日+2=0,

令△=（）得公—8=0,解得左=2返（负值舍去），所以4>2行.

综上，上的取值范围为（一8,0）.（2拒,+oo）.故选：D.

【名师点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

2\fx,0<x<1,

3.【2019年高考天津文数】已知函数,f（x）=卜若关于x的方程/(x)=—,x+a(aGR)恰

x>l.4

lx

有两个互异的实数解，则。的取值范围为（）

59595959

A.B.C.{1}D.0U⑴

4544544,4

【答案】D

2>/x,0<x<1,

【解析】作出函数/（x）="

的图象，以及直线y=如图,

x>i4

lx

关于“的方程八])=一%+心源)恰有两个互异的实数解’即为二,⑴和工一%+必")

19

的图象有两个交点，平移直线y=-：x,考虑直线经过点(1⑵和(1,1)时，有两个交点，可得

44

或°=2，考虑直线丁=一9》+4(。€1<)与>=，在X>1时相切，ax-^-x2=1,由/=。2一1=0，

44x4

-50"1

解得4=1(T舍去)，所以。的取值范围是{1}.故选D.

e*x<0

4.【2018年高考全国I卷理数】已知函数/(x)={'-g(x)=/(x)+x+a.若g⑴存在2个

[Inx,x>0,

零点，则。的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)

C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【解析】画出函数/(x)的图象，y=e，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线旷=一》，之后上下移动，可

以发现当直线过点(0,1)时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函

数的图象有两个交点，即方程"x)=T-a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足-“W1,

即a2-1.故选C.

【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的

思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画

出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根

据g（x）存在2个零点，得到方程/（x）+x+a=o有两个解，将其转化为/（力=-％-。有两个解，即直

线丁=-x—a与曲线y=有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数/'（x）的图象，再画出

直线y=一%,并将其上下移动，从图中可以发现，当一。<1时一，满足y=-x—a与曲线有两个

交点，从而求得结果.

5.（多选题）若函数y=d-2x+a有两个零点，则实数”的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】AB

【分析】

由函数y=f-2x+a有两个零点，转化为二次方程有两个不等实根，利用判别式能求出。的取值范围.

【详解】

函数y=V-2x+a有两个零点，所以二次方程x2-2x+a=0有两个不等实根，

Zl=22-4«>0,

解得a<I.

A3选项都符合.

故选：AB.

6.（多选题）下列说法正确的有（）

A.函数在定义域上是减函数

X

B.B函数的图象都过点（1点

C.函数y=x+±2在区间⑵3］上的值域是r3,1-r

xL3.

D.函数/（幻=2，-/有且只有两个零点

【答案】BC

【分析】

A选项函数定义域是两段，函数在两个区间分别递减，根据募函数性质判定B选项，根据函数单调性判定C

选项，利用根的存在性定义和特殊值判定D选项.

【详解】

f（x）=:定义域为（—,（））j（（）,y），不能说在定义域上是减函数，所以A选项错误；

哥函数的图象都过点（草），所以B选项正确;

2211

函数y=x+4,当xw[2,3]时，y=l-4>0,在区间[2,3]上单调递增，其值域是3,-,所以C选项正确;

xxL3_

函数f(x)=2，-x2j(_l)<0J(0)>0,所以1,0)有零点，

/(2)=0,x=2是函数函数f(x)=2，-x2的零点，

"4)=0,x=4是函数函数/(幻=2,-产的零点，所以D选项说法错误.

故选：BC

7.(多选题)己知函数小)=尸：2：+1心。则下列判断正确的是()

[-X2+2x+l,x<0

A./(x)为奇函数

B.对任意则有(“一々)[/(西)一/(无2)]«0

C.对任意xeR,则有/(x)+/(—x)=2

D.若函数y=|/(x)|-〃式有两个不同的零点，则实数〃，的取值范围是(ro,0)(4,^o)

【答案】CD

【分析】

根据函数的奇偶性、单调性判断A,B；分情况讨论并计算可判断C；构造函数，将函数的零点转化为两个

函数图象的交点问题可判断D而作答.

【详解】

对于A,/(1)=4,/(-1)=-2,即/⑴，则/(X)不是奇函数，即A不正确；

对于B,x<O0t/(x)=-x2+2x+l,/(X)在(-<»,0)上递增,xNO时f(x)=f+2x+l,f(x)在(0,*»)上

递增，

并且-02+2-0+1=。2+2・0+1,于是得“X)在R上单调递增，对任意西,々eR,X1<*2，/(3)</(々)，则

(占-七)"(％)-/(七)]>0,B不正确；

对于C,x>0时一x<0,/(x)+/(-x)=(x2+2x+l)+[-(-x)2+2(-x)+1]=2,

x<0时一x>0,/(%)+/(-%)=(-^+2x+l)+[(-x)2+2(-x)+l]=2,

x=0时，/(x)+/(-x)=2/(0)=2

综上得：对任意xeR，则有/(力+〃-力=2成立，C正确;

对于D,因1/(0)1=1,则。不是y=|f(x)|-w的零点,

x/0时，|f(x)|r依=0=机=上詈，令g(x)=以詈，y=m,依题意函数y=g(x)的图象与直线，=加

有两个公共点，

f(x)NO时，X>1-V2,f(x)<0时，X<1-A/2.

1cc

XH---F2,X>0

X

于是得g(x)=—xH--F2,1—A/2«x<0由对勾函数知,g*)在(0数上递减,在(L+功上递增,又g(x)在

X

x----2,x<l-5/2

x

口-&,0)上递减，在(-8,1-上递增，如图:

直线＞=叫与y=g(x)的图象有两个公共点，叫＞4,直线y=性与y=g(x)的图象有两个公共点，吗＜0,

从而得函数y=g(X)的图象与直线y=机有两个公共点时机＜0或机＞4,

所以实数机的取值范围是(e,0)U(4,+8),D正确.

故选：CD

8.(多选题).设函数/(x)=or2+bx+c(a,b,cwR,a＞0),则下列说法正确的是()

A.若〃司=》有实根，则方程/(/(x))=x有实根

B.若〃司=尤无实根，则方程〃〃x))=x无实根

C.若则函数y=/(x)与y=〃/(x))都恰有2个零点

D.若小卜初则函数y=/(x)与y=f(f(x))都恰有2零点

【答案】ABD

【分析】

直接利用代入法可判断A选项的正误；推导出f(x)-x>0对任意的xwR恒成立，结合该不等式可判断B

选项的正误；取,f(x)=d-心结合方程思想可判断C选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D选

项的正误.

【详解】

对于A选项，设〃x)=x有实根x=%,则/(/(%))=，(％)=%,A选项正确；

对于B选项，因为a>0,若方程=x无实根，则〃x)-x>0对任意的xeR恒成立，

故/(〃x))>〃x)>x,从而方程f(/(x))=x无实根,B选项正确；

对于C选项，取〃x)=x2—x,则=函数y=〃x)有两个零点，

则f(〃x))=[〃x)[2-〃x)=0,可得〃x)=0或，(")=1,即d—x=0或V-X”

解方程f-x=O可得x=0或1,解方程x2—x—1=0,解得x=生叵.

2

此时，函数y=f(/(x))有4个零点，c选项错误；

对于D选项，因为/[/卜点])<。，设‘=/(-却则’=/(必

因为f(f)<o且〃>0,所以，函数/(X)必有两个零点，设为占、々且为<三，

则不<1<当，所以，方程/(司=再无解，方程〃对=々有两解，

因此，若咛)卜°，则函数y=/(x)与y=/(/(x))都恰有2零点，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】

思路点睛：对于复合函数y=/[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：

(|)确定内层函数〃=g(x)和外层函数y=f(“)；

(2)确定外层函数y=/(〃)的零点“=/(，’=1,2,3,…,〃)；

(3)确定直线〃=%。=1,2,3,,〃)与内层函数"=g(x)图象的交点个数分别为外、生、%、、则函

数y=/[g(x)]的零点个数为4+。2+/++«„.

9.已知2GR,函数f(x)=1，'一，当2=2时，不等式/(x)<0的解集是.若函

x-4x+3,x<A

数f(x)恰有2个零点，则力的取值范围是.

【答案】｛.v|l<x<4);(I,3JU(4,+oo)

x—4,x>2

【解析】当4=2时，函数/(x)=4,,显然迂2时，不等式x-4<0的解集为｛x|2Sr<4｝；x<2

x-4x4-3,x<2

时，不等式f(x)<0化为/口x+3<0,解得l<x<2,综上，不等式的解集为：｛.m4<4｝.

函数/'(x)恰有2个零点，函数/(x)=4,’—的草图如图：

%--4x+3,x<