2023-2024学年河南省南阳市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.过点（T,2）且与直线y=2x+l垂直的直线方程为（）

A.2x-y+4=0B.x-2y+5=0

C.2x+y=0D.x+2y-3=0

【正确答案】D

【分析】利用两直线互相垂直斜率的关系及点斜式即可求解.

【详解】与直线y=2x+i垂直的直线的斜率左=-；,

.•.所求的直线方程为y-2=-；（x+1）,即为x+2y-3=0,

故选.D

2.在空间四边形力8co中，点”，G分别是8c和C。的中点，则彳豆+；（85+8心）=（）

A.ADB.GAC.AGD.MG

【正确答案】C

【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解

【详解】如图所示，G是CO的中点，则!西=而，

2

刀+；(而+隔=翔+1(阮+而+西^AB+BC+^Cb^AC+CG^~A(,

故选：C.

3.设随机变量X8(2,p),y~8(4,p),若尸则。(y)=()

【正确答案】D

【分析】根据随机变量x8(2,p)和尸(X21)=，，写出概率的表示式，得到关于P的方程,

9

解出°的值，再根据y~8(4,p),由二项分布的方差公式求得到结果.

【详解】随机变量X5(2,P{X>1)=1=0)=1-C®(1-p)2=|,解得"；，

二y~44,[,则D(y)=4x；x(l-jq

故选：D.

4.直线3x+y-a=0截圆x2+V+2x-4y-5=0所得的弦长为2回，则实数。的值为()

A.-1B.1C.-3D.3

【正确答案】A

【分析】根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解.

【详解】圆x2+V+2x-4y-5=0的圆心为(-1,2),

半径一5+16+2”阿

2

因为直线截圆所得的弦长为2J6=2r,

所以直线经过圆的圆心，所以-3+2-〃=0解得〃=-1,

故选:A.

5.将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作(每个采样点至少1人)，其

中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有()

A.120种B.216种C.240种D.432种

【正确答案】B

【分析】先分成四组，再排列即可求解.

【详解】依题意，

情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，

则有C；A：=3x24=72种方案；

情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，

则有C；A：=3x24=72种方案；

情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，

则有C；A：=3x24=72种方案；

所以总共的方案为：72+72+72=216种.

故选：B.

6.与圆（x-3『+（y-2/=4相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】C

【分析】在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为1或直线过原点，由直线与圆相切,

圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可.

【详解】圆（x-3y+（y—2）2=4,圆心坐标为（3,2）,半径为『=2,

满足题意的直线方程斜率可以为1,设直线方程为，

——币।=2解得a—\+2&,♦,♦此

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离"=/，即

时满足条件的直线有两条：x-y-1-2y/2=0和x-y-l+2近=0；

满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为90"时显然不与圆相切，设直线方程为夕=日,

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离1=厂，即毕三=2,解得无=0或左其

a+i5

I?

中左=0时，直线为x轴，不合题意，故此时满足条件的直线有一条：y=yx;

综上所述：满足条件的直线有三条，如图所示，

故选：C.

7.如图，在正方体/BCD—48GA中，点E,F分别为D©,的中点，则直线NC与

平面EFC所成的角的正弦值为（）

3E£

o

AB

A.；B.平C.

t巾

【正确答案】B

【分析】利用空间向量的坐标运算求线面夹角.

【详解】建系如图，设正方体边长为2,

/5

所以4(2,0,0),C(0,2,0),£(0,1,2),F(l,2,2),

所以Z=(-2,2,0),E^=(1,1,0),£T=(0,1,-2),

设平面EFC的法向量为m=(x,y,z),

EF-TH=x+y=0,

所以｛—,^x=2,y=-2,z=-\f

ECm=y-2z=0,

所以送=(2,-2,-1),

AK-AC,m_82yf2

所以C0S</CM>=同同=折=一亍，

所以ZC与平面E尸c所成的角的正弦值为2包.

3

故选:B.

8.5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为()

4

D.-

5

【正确答案】C

【分析】利用插空法，结合古典概率模型求解即可.

【详解】5个人全排列且甲排在乙的前面有田=60种方法，

2

将剩余三人排成一列有A；中排法，产生4个空位，

让甲、乙选择两个空位插空，则有A：种方法，

所以甲、乙两人不相邻的安排方法有A；A；种方法，

其中甲排在乙的前面的有包＞=36种方法，

2

所以甲、乙两人不相邻的概率为要=占，

605

故选:C.

9.已知点4(0,1,1),80,2,1),C(2,l,3),则平面43C的方程为()

A.x-y-z+2=0B.x-y+z=0

C.x+y+z+2=0D.x-y-z=0

【正确答案】A

【分析】设平面的方程为"+cz+d=0,代入4民C三点的坐标求系数即可.

【详解】设平面/18C的方程为ax+by+cz+d=0,"也c不同时为0,

b+c+d=0

代入48,C三点的坐标，得＜4+2b+c+d=0,解得6=-凡。=-2d=24,

2a+b+3c+d=0

所以平面NBC的方程为x—y—z+2=0.

故选：A

10.已知双曲线Ud—/=1的左，右焦点分别为耳，工，过耳的直线与双曲线。仅有一个公

共点产，则俨£|=()

A.yB.-C.-D.-

2222

【正确答案】C

【分析】利用已知条件求出过G且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线

联立求得点P的坐标，最后利用双曲线的定义求出I尸国即可.

【详解】由已知得「2=/+/=1+]=2,.•.左焦点耳的坐标为卜"0）,

•.•过丹的直线与双曲线C仅有一个公共点P,

.♦•该直线与双曲线的渐近线N=X或y=-x平行，

...不妨设该直线方程为y=x+VI,

3五

[x2-y2=1苫=-丁f3V2近

将直线与双曲线联立广，解得广4,即p一个,4

y=x+y/2V2I44

又力叫|一|尸制=2,.•.|P国=2+|历|=:，

故选.C

11.若(X-1产3-(x.产，=旬+%*+/*2+…+出023姆”,则

232023

2ai+2a2+2ai+---+2a2023=()

A.22022+2B.2M22-2C.22022+lD.22022-l

【正确答案】A

【分析】根据二项展开式，令x=0求出%=-1-22022,再令X=2即可求解.

【详解】令x=0,则有（-1『⑵即%=-1-22022,

2023

再令x=2可得1—0=a0+2al+2~a?+…+2”"a，o”,

所以2%+2?%+2,%+…+22°23a2必=1-4=22022+2,

故选:A.

12.已知抛物线C：j?=2px的（p>0）焦点为尸，准线为/,过尸的直线相交抛物线C于

A,B两点，若在直线/上存在一点使是等边三角形，则直线，〃的斜率为（）

A.士@B・士也C.±5/2D.士、

32

【正确答案】B

【分析】设直线，"的方程为x=5+H（/HO）,N8的中点为。，结合题意，可

得|加0|=@根8|且加。，力8,将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即

可求解.

【详解】设直线〃7的方程为X=5+”（fWO）,"（国,凹）,8（々,外），48的中点

为。，

联立方程组」二万十",整理可得V-2pW-p2=0,

y2=2px

则凹+为=2。/,凹•歹2=-〃2,所以0（_^+p汽p/）,

[4回=J1+”|必-央2|=jl+/,4.2/+4夕2=2夕(r+1),

要使AMAB是等边三角形，则|M0|=^-\AB\且,

+3。-pt7=^yx2p(l+/：

即.y。-pt一.‘

PP.2~

----------pi

122

所以[(P+P/)2+(M-4=3/(1+产『①，

t=3

[y0-Ppt+pf®

将②式代入①式整理，可得一一3〃-2=0,

所以（d+1）2（*-2）=0,所以产=2,所以/=土忘,

所以直线加的斜率为左=±正，

2

故选.B

二、填空题

13.已知随机变量J服从正态分布N（10,〃），若尸偿43。+1）=0.5,则实数。=.

【正确答案】3

【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于x=10对称，且RXM10）=0.5,结

合题意得到。的值.

【详解】随机变量g服从正态分布N（10,b2）,正态曲线关于x=10对称，且尸（X410）=0.5,

由尸偌43。+1）=0.5,可知3a+l=10,解得a=3.

故3.

14.若卜-展开式的二项式系数和为32,则展开式中的常数项为.（用数字作

答）

【正确答案】40

【分析】根据二项式系数和为2"=32,求出〃，即可求出二项式展开式中常数项.

【详解】因为二项式系数和2"=32,

因此〃=5,

又小=541年］=c（2）r『

令人=2,常数项为C；（一2『=40.

故40.

15.如图，已知四棱柱/8CD-44GA的底面/8C。是边长为1的正方形，且

ZClCD=ZClCfi=DD1=2,贝川同卜.

【正确答案】历

【分析】记赤=万，CD=b，CC}=c,利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数

量积计算即可.

【详解】设CB=a，CD=b，CCt=c,则AC^AC+CC^CC.-CB-CD^c-a-b,

TT

底面48CZ）是边长为1的正方形，且NGCQ=NGC8=5，DD\=2,

一一1-1

则有,2=1,庐=1，c2=4,万齿=0，5-c=lx2x—=1,A•?=lx2x—=1,

则|属『=（5一万一5）2=万2+52+52+蜀方-2万g-历W=I+I+4+O-2-2=2,

所以I用卜啦.

故也

_..r2v2,,

16.已知。为坐标原点，尸为双曲线F-5=Ia>06>0的左焦点，P是该双曲线上的一

a2b2

点，且尸。尸是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为.

【正确答案】立工或反+近

22

【分析】双曲线的右焦点为乙，由已知条件计算尸运用双曲线的定义和离心率公式,

计算即可.

【详解】设双曲线的右焦点为死,

当NP尸0=90"时，如图，连接尸鸟，

OF-c，FF2=2c

所以/PF?+尸8=&,2a=PF「PF=&-c,

则双曲线的离心率为e=£=——=巫里

aV5-12

V2y/277Z7O

—OF=J-FF=2C

222

在△PFB中,^PFF2=^f由余弦定理得尸=尸尸+尸6_2尸尸/685：=:，，

Gj7hlpj7yf^0nrDJ76

nF以PF.=--c,2a=PF、-PF=--c---c，

2_22

4M+6

双曲线的离心率为e=-

aVio-^/2-2

故”或W+&

2

三、解答题

17.某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：

192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.设这10个数据的均值为〃，标准

差为〜

(1)求〃和。；

(2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布NJ。?)，若该车间又新购一台设

备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：181,190,198,

204,213,如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3o■原则判断这台

设备是否需要进一步调试？并说明你的理由.

参考数据：若X贝IJ：

P(〃-<7<XW〃+cr)=0.6826,P(〃-2b<XW〃+2b)a0.9544,

P(〃-3b<X4〃+3o•卜0.9974,0.9974、0.99.

【正确答案】(1)〃=200,(r=6

(2)这台设备需要进一步调试，理由见解析

【分析】(1)利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；

(2)计算出五个零件的内径中恰有1个不在(〃-3b,〃+3内的概率约为0.01485,而又试产

的5个零件中内径出现了1个不在(〃-3b,〃+3内内，根据3b原则，得到结论.

【详解】(1)=-^(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)=200,

cr2=^[82+82+72+32+02+22+32+42+82+92]=36,

故cr=^36=6;

(2)由题意得：XN(200,36),

尸(200-18<X4200+18),0.9974,即尸(182<X4218)=0.9974,

所以五个零件的内径中恰有1个不在(〃-36〃+3司的概率为

C；(0.997)4x(1-0.997)«0.01485,

又试产的5个零件中内径出现了1个不在(〃-3b,〃+3b］内，

所以小概率事件出现了，根据3b原则，这台设备需要进一步调试.

18.已知四个点：1(-2,0),5(6,0),C(-l,7),0(5,-1).

(1)从A,B,C,。四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆加的方程;

(2)过点E(3,1)作直线/交圆加于P,。两点，若|PQ|=4而,求直线/的方程.

【正确答案】(1)/+)，-4》-6了-12=0

(2)X=3或3》+4”13=0

【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解；

(2)根据弦长公式求出直线/的距离为1,再根据点到直线距离公式求解.

【详解】(1)设所求圆方程为/+/+必+4+尸=0,

⑴选力(-2,0),8(6,0),C(-l,7),

4-2。+尸=0[£>=-4

则有<36+6。+尸=0解得，E=-6,

50-O+7E+尸=0尸=-12

所以所求圆方程为/+/-4x-6_y-12=0；

(ii)选4(-2,0),8(6,0),£>(5,-1),

4-2。+尸=0£>=-4

则有.36+6。+尸=0解得•£=-6,

26+5£>-E+F=0F=-12

所以所求圆方程为x2+y2-4x-6j^-12=0；

(iii)选4(-2,0),C(-l,7),0(5,-1),

(4—20+尸=0D=-4

则有〈50—Q+7E+尸=0解得｛E=-6,

26+5D—E+F=0F=-12

所以所求圆方程为/+/-4x-6^-12=0；

(iiii)选8(6,0),C(-l,7),0(5,-1),

‘36+60+尸=0伊=-4

则有卜0-。+7£+尸=0解得＜£=-6

26+5D-E+F=0尸=一12

所以所求圆方程为工2+/一以一6尸12=0.

(2)由(1)可知圆心为(2,3),半径「=46+36+48=5,

2

设圆心(2,3)到直线/的距离为d,

因为=2\Jr2-d2=4\[b解得d-\,

若直线/的斜率不存在，则方程为x=3,

此时圆心到直线x=3的距离为3-2=1满足题意；

若直线/的斜率存在，则设方程为y-1=以》-3),

即fcv-y+1-3无=0,

\~k-2\3

因为圆心到直线的距离〃=匕一=1解得％=-=,

VA2+14

所以直线/的方程为y-l=-*-3)即3x+4y—13=0.

综上直线/的方程为x=3或3x+4y-13=0.

19.已知点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=-l的距离大1.

(1)求点尸的轨迹C的方程；

(2)点M为轨迹C上任意一点，过点〃作圆N：(x-6>+y2=4的切线，切点分别为A,B,

求四边形MANB面积的最小值.

【正确答案】(l)/=8x

(2)四边形MANB面积的最小值为4近.

【分析1(1)设点尸(x,y),由条件公式列等式化简可得轨迹方程.

⑵求|MN|的最小值，由此可求四边形M4N8面积的最小值.

【详解】(1)设P(x,»为曲线上任意一点,

因为点P到点尸(2,0)的距离比它到直线x=-l的距离大1.

所以^(x-2)2+y2=|x+l|+l,

当》2-1时-，化简可得/=8x,

当X<-1时，，化简可得y2=4x-4,又4x-4<0,矛盾,

所以点尸的轨迹C的方程为_/=8x；

(2)由圆N：(x-6)2+/=4可得N(6,0),半径为2,

所以当f=±4时，|初V|取最小值4VL又|M4|=新甫—M2=J|MV『-4

所以当f=±4时，|朋闻取最小值2近，

又四边形M4NB面积S=2X；X|K4|XMM=2|M4|，

所以SW4近，当且仅当点M的坐标为(2,4)或(2,-4)时等号成立，

所以四边形M4N8面积的最小值为4近.

20.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N5CD是直角梯形，ZABC=NBAD=90°,P8,平

®ABCD,8c=280=4/0=4.

(1)证明：PDLCD；

(2)若尸8=2,求二面角尸-CD-4的平面角的大小.

【正确答案】(1)见解析

一兀

⑵彳

【分析】(1)8为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算

而•丽=0即可；

(2)求出平面2。的法向量沅=(0,0,1),求出平面NCD的法向量万=(1,6,2),利用空间

向量夹角公式即可得到二面角大小.

【详解】(1)-.■ZABC=ZBAD=90\:.AB1AC,

P8_L平面/BCD,AB,BCu面ABCD,；.PB上4B,PBl.BC,

故以8为U坐标原点，BC,BA,BP为MV/轴建立空间直角坐标系如图,

■：BC=2BD=4AD=4,：.BC=4,BD=2,AD=\,

48=省,设尸8=凡则。(4,0,0),。(1,6,0),尸(0,0,哈

.•.丽=(1,£_0),丽=(-3,收0),

vP©CD=-3+3=0,PDA.CD.

(2)由(1)知2(0,6,0),8(0,0,0),尸(0,0,2),

平面48的法向量取而=(0,0,1),

PD=(1,^-2),CD=(-3,>^0),

设平面/CQ的法向量五=(x,y,z),

PDii^Ox+y/3y-2z=0

则即，

CDn=Q-3x+\/3y-0

取x=l得无=(1,32),

in-h_V2

cos(应,n)=

I回万广5"'

由图易得此二面角的平面角为锐角，

所以二面角P-CD-A的平面角的大小为二7T.

21.本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A,B,C,

D四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本次考试的12个选择题中，甲同学会其中的

10个，另外2个题只能随意猜：乙同学会其中的9个，其它3个题中有2个题各能排除2

个错误选项，另外1个题能排除1个错误选项.

(1)设甲同学在本次考试中选择题得分为X,求X的分布列及均值；

（2）设乙同学在本次考试中选择题得分为y,求丫的分布列及均值;

（3）求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率.

【正确答案】⑴分布列见解析，E（x）=52.5；

（2）分布列见解析，后（丫）=岸：

35

(3)—.

96

【分析】（1）由条件求随机变量X的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列

和均值；

（2）由条件求随机变量y的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值：

（3）利用概率乘法公式和加法公式求概率.

【详解】（1）由已知随机变量X的可能取值为50,55,60,

P（X=50）=—x—=—,P（X=55）=2x—x—=—=—,

'74416'744168

P（X=60）=—x—=—,

'74416

所以随机变量X的分布列为

X505560

931

P

168?6

93j

E(X)=50x—+55x-+60x—=52.5

'/16816

（2）由己知随机变量丫的可能取值为45,50,55,60,

1I241

+—X—x———

223123

所以随机变量y的分布列为

Y45505560

]_5]_1

P

612312

£(K)=45x-+50x—+55x-+60x—=—；

'/6123123

a515

(3)因为P(X=5O,y=5O)=而x^=R,

311

P(X=55,Y=55)=