2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F（CZ﹣2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为（）A．48×105 B．4.8×105 C．48×104 D．4.8×1042．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，则∠AOD的大小为（）A．146° B．144° C．136° D．134°4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．b＜1 C．b﹣a＜0 D．﹣a＞b5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜1 C．m≤1且m≠0 D．m＜1且m≠06．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30° B．150° C．360° D．1800°7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A． B． C． D．8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为直径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（）A． B． C． D．二.填空题（本大题共24分，每小题3分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：x2y﹣y3＝．11．写出一个大小在和之间的整数．12．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣4）和点B（2，n），则n＝．13．如表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择．甲乙丙丁平均数（秒）11.211.311.311.2方差5.55.55.85.914．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若EF＝5，则CD＝．15．如图，⊙A的圆心A的坐标是（3，0），在直角坐标系中，⊙A半径为1，P为直线上的动点，过P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．16．在矩形台球桌面ABCD中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即∠2＝∠1，如图2，AB＝4，BC＝6，在矩形台球桌面ABCD的内部有P、Q两点，点Q到CD、AD的距离都为1，若在图中的点P处放一台球，则该台球（填“能”或“不能”）依次撞击BC、CD边后经过点Q．若放在点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为．三.解答题（本题共72分，第17～19题，每小题5分，第20题6分，第21～23题，每小题5分，第24题6分，第25～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）17．计算：．18．解不等式组：．19．已知a2+2a﹣3＝0，求代数式的值．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求BE的长．21．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日—18日累计票房（亿元）2月19日—21日累计票房（亿元）甲31.56乙37.222.95根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？24．根据材料提供的信息，解决下面问题．在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．（1）在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；（2）若喷泉跨度OB的最小值为3m，求喷水管OA高度的最大值；（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道CD的宽度．25．在平面内，给定不在同一条直线上的三点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接点O与AB的中点D，点E在AB的延长线上，连接OC，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）画出图形G，并依题意补全图形；（2）求直线CE与图形G的公共点个数；（3）连接OB，若OB∥CE，，OD＝2，求CE的长．26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若抛物线过点（﹣3，m），（5，m），求抛物线的对称轴；（2）已知点（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2），（2，n）在抛物线上，其中﹣2＜x1＜﹣1，若存在x1使y1＞n，试比较y0，y1，y2的大小关系．27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．（1）求证：∠CDM＝∠BFE；（2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．①依题意补全图形，②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得∠MPN＝90°，作PQ⊥MN于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣1，1），P2（0，﹣2），P3（2，3）中，关于⊙O的射影点存在的有；②点P在直线上，若P关于⊙O的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为，直线＝与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙T的射影点Q满足TQ＝2，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．

参考答案一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F（CZ﹣2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为（）A．48×105 B．4.8×105 C．48×104 D．4.8×104【分析】将480000写成a×10n其中1≤|a|＜10，n为整数的形式即可．解：480000＝4.8×105．故选：B．【点评】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，则∠AOD的大小为（）A．146° B．144° C．136° D．134°【分析】先求∠AOC与∠BOC的度数差即可得出∠AOB的度数，再求∠AOB与∠DOB的和即可．解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣44°＝46°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝90°+46°＝136°，故选：C．【点评】本题考查了角的运算，理解题意，利用数形结合是解决问题的关键．4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．b＜1 C．b﹣a＜0 D．﹣a＞b【分析】根据题意可得﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|a|＞|b|，进而得到a+b＜0，b﹣a＞0，﹣a＞b．解：有数轴可知，﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，﹣a＞b，故选：D．【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜1 C．m≤1且m≠0 D．m＜1且m≠0【分析】当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0．根据根的情况列式求解即可．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m≥0，解得：m≤1，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系是解题的关键．，6．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30° B．150° C．360° D．1800°【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．解：正十二边形的每个外角的度数是：，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：列表如下：12123234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为直径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（）A． B． C． D．【分析】由图示知，S阴影＝以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积﹣以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积．据此列出y与x的函数关系式，根据函数关系式选择相应的图象．解：∵AC+BC＝8，AC＝x，∴BC＝8﹣x．∴S阴影＝×（）2+×（）2﹣×（）2+S△ABC＝×+S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴S阴影＝S△ACB＝•x•（8﹣x），即y＝﹣x2+4x（0＜x＜8）．则该函数图象是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0＜x＜8．故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二.填空题（本大题共24分，每小题3分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≠﹣2．【分析】根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．解：∵在实数范围内有意义，∴x+2≠0，即x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．10．分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．11．写出一个大小在和之间的整数2．【分析】先估算，，可得符合题意的整数k满足，写出一个即可．解：∵，，∴符合题意的整数有2，3．故答案为：2（答案不唯一，也可以写3）．【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．12．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣4）和点B（2，n），则n＝﹣6．【分析】首先利用待定系数法把A（3，﹣4）代入反比例函数解析式中可得到k的值，从而计算出反比例函数解析式y＝﹣，再把B（2，n）代入求出的反比例函数解析式y＝﹣中即可算出n的值．解：把A（3，﹣4）代入反比例函数解析式中，得k＝3×（﹣4）＝﹣12，则反比例函数解析式y＝﹣，再把B（2，n）代入反比例函数解析式y＝﹣中得：2×n＝﹣12，解得：n＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点都能满足解析式．13．如表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择甲．甲乙丙丁平均数（秒）11.211.311.311.2方差5.55.55.85.9【分析】根据平均数和方差的意义分析即可．解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好，∴从甲和丁中选择一人参加竞赛，又∵甲的方差较小，∴选择甲参加比赛，故答案为：甲．【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若EF＝5，则CD＝3．【分析】根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD．解：∵E、F分别为BC、CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AB＝2EF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．如图，⊙A的圆心A的坐标是（3，0），在直角坐标系中，⊙A半径为1，P为直线上的动点，过P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．【分析】如图1，连接AP、AQ，根据切线的性质得AQ⊥PQ，则利用勾股定理得到，则当AP最小时，PQ最小，如图2，直线与y轴交于B，与x轴交于点C，利用垂线段最短得到当AP⊥BC于P时，AP最小，利用特殊角的三角函数值，从而得到PQ的最小值．解：如图1，连接AP、AQ，∵PQ为切线，∴AQ⊥PQ，在Rt△APQ中，，当AP最小时，PQ最小，直线与y轴交于B，与x轴交于点C，则，C（﹣1，0），∴，OC＝1，∴，∴∠BCO＝60°，当AP⊥BC于P时，AP最小，如图2，∵AC＝3﹣（﹣1）＝4，∴，∴PQ的最小值＝．故答案为：．【点评】本题主要考查切线的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用特殊三角函数是解答本题的关键．16．在矩形台球桌面ABCD中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即∠2＝∠1，如图2，AB＝4，BC＝6，在矩形台球桌面ABCD的内部有P、Q两点，点Q到CD、AD的距离都为1，若在图中的点P处放一台球，则该台球能（填“能”或“不能”）依次撞击BC、CD边后经过点Q．若放在点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为．【分析】由题意可知Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到零界点：当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，然后讨论当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，是否去撞击BC边，由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，在根据相似三角形的判定及性质求解即可．解：若点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则反过来，Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，过点Q作QG⊥AD，QE⊥CD，则∠QEF＝∠BCD＝90°，QG＝QE＝1，则四边形QGDE是正方形，∴CE＝CD﹣DE＝3，当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，此时，∠QFE＝∠BFC，∴△QFE∽△BFC，∴，即：，∴，，当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，撞击路线与CD的夹角大于∠QFE，则反射时的夹角也会大于∠BFC，则显然不会再撞击BC，故不符合题意；当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，撞击路线与CD的夹角小于∠QFE，则反射时的夹角也会小于∠BFC，则显然会再撞击BC，且再次反弹，当球从Q出发撞击点C时，显然不符合题意，连接CQ并延长交AD于H，由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，即点P从四边形ABCH所在区域内任意位置依次撞击BC、CD边后都能经过点Q，由正方形的性质可知QE∥AD，∴△CQE∽△CDH，∴，即：，∴，则，∴所有点P构成的区域面积为四边形ABCH的面积，即：所有点P构成的区域面积＝，故答案为：能，．【点评】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到点P构成的区域是解决问题的关键．三.解答题（本题共72分，第17～19题，每小题5分，第20题6分，第21～23题，每小题5分，第24题6分，第25～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）17．计算：．【分析】代入特殊角三角形函数值，根据实数的运算法则计算即可求解．解：＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂，实数的运算．是相关运算法则是关键．18．解不等式组：．【分析】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集．解：，解①，得x＜；解②，得x≤1．∴原不等式组的解集为x≤1．【点评】本题考查了不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．19．已知a2+2a﹣3＝0，求代数式的值．【分析】先计算除法，再计算加法即可化简，然后把a2+2a﹣2＝0变形为a2+2a＝2，代入化简式计算即可．解：＝＝＝＝＝，∵a2+2a﹣3＝0∴a2+2a＝3，∴原式＝．【点评】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求BE的长．【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明AD＝CD，继而判断四边形ABCD是平行四边形，结合AB＝AD得证．（2）由菱形的性质得，BD⊥AC，，，由勾股定理可得：，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，求解即可．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，又∵AB＝AD，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴，BD⊥AC，，，由勾股定理可得：，∵CE⊥AB，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，∴BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即：，解得：．【点评】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．21．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．【分析】根据题意，设有x名学生，打8折的钱数＝打9折的钱数，列方程即可．解：设一班有x名学生，由题意可知：0.8×50x＝0.9×50（x﹣4），解得：x＝36，答：一班有36名学生．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“两种方案费用一样”列出方程是解题的关键．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日—18日累计票房（亿元）2月19日—21日累计票房（亿元）甲31.56乙37.222.95根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为4.55；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是②③；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？【分析】（1）影片甲单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断②；③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．解：（1）影片甲单日票房从小到大排序为2.91，3.02，4.28，4.55，5.38，5.52，5.90．一共7个数据，所以影片甲单日票房的中位数为：4.55，故答案为：4.55；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，∴甲的单日票房逐日增加说法不正确；②，，，，∴甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；③甲超过乙的差值从15日开始分别为：15日：5.38﹣4.36＝1.02，16日：5.90﹣3.13＝2.77，17日：5.52﹣2.32＝3.2，18日：4.28﹣1.63＝2.65，∴在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．综上，说法中所有正确结论的序号是②③，故答案案为：②③；（3）乙票房截止到21日收入为：37.22+2.95＝40.17亿，甲票房前7天达到31.56亿，∴2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：40.17﹣31.56＝8.61亿．故答案为：8.61．【点评】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．24．根据材料提供的信息，解决下面问题．在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．（1）在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；（2）若喷泉跨度OB的最小值为3m，求喷水管OA高度的最大值；（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道CD的宽度．【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+3，代入（0，0）即可求解；（2）设抛物线解析式为：，代入x＝3时，y＝0，即可求抛物线解析式，从而求OA的值；（3）求出当时，点F落在上，点E落在上时两个点的横坐标即可求解．解：（1）∵点O坐标为（0，0），点M坐标为（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线的最高点为3，∴顶点坐标为（2，3），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+3过点（0，0），解得：，∴抛物线的函数表达式为．（2）∵喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，∴设喷泉跨度OB的最小值为3m时，抛物线的函数表达式为，m≤2，当x＝3时，y＝0，得，解得：m＝1或m＝5（舍去），则，由x＝0，得，即：喷水管OA的高度最大值为；（3）由题意得：当点F落在上，当时，，解得：或（舍去），当点E落在上时，当时，，解得：或（舍去），则，．即：此时安全通道CD的宽度为2m．【点评】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．25．在平面内，给定不在同一条直线上的三点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接点O与AB的中点D，点E在AB的延长线上，连接OC，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）画出图形G，并依题意补全图形；（2）求直线CE与图形G的公共点个数；（3）连接OB，若OB∥CE，，OD＝2，求CE的长．【分析】（1）点O到A、B、C的距离均等于a，则A、B、C三点共圆，可得图形G是圆心为O，半径为a的圆；（2）先求得∠OCE＝90°，得到OC⊥CE，加上OC为半径，得出CE为⊙O切线，即可得出结论；（3）过点B作BF⊥CE于点F，四边形OBFC是正方形，分别求出CF、EF，即可求解．解：（1）∵点O到A、B、C的距离均等于a，∴OA＝OB＝OC＝a，∴A、B、C三点共圆，∴到点O的距离等于a的所有点都在圆心为O，半径为a的圆上，∴图形G是圆心为O，半径为a的圆，如图1：（2）直线CE与图形G的公共点个数为1个，连接OA、OB，如图2，∵在四边形DECO中，∠CED+∠COD＝180°，∠CED+∠COD+∠OCE+∠ODE＝360°∴∠OCE+∠ODE＝180°，∵OA＝OB，点D为AB中点，∴OD⊥AB，∴∠ODE＝90°，∴∠OCE+90°＝180°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE为⊙O切线，∴直线CE与图形G公共点个数为1个．（3）如图3，过点B作BF⊥CE于点F，由（2）知∠OCE＝90°，∵OB∥CE，∴∠BOC+∠OCE＝180°，∴∠BOC＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BFC＝∠BFE＝90°，∵∠BOC＝∠OCF＝∠BFC＝90°，∴四边形OBFC是矩形，∵，∴四边形OBFC是正方形，∴，∵∠ODB＝90°，在Rt△ODB中，，∴，∵OB∥CE，∴∠OBD＝∠CEB，∴tan∠OBD＝tan∠E＝2，∵∠BFE＝90°，∴在Rt△BFE中，，∵tan∠E＝2，∴2EF＝BF，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键．26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若抛物线过点（﹣3，m），（5，m），求抛物线的对称轴；（2）已知点（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2），（2，n）在抛物线上，其中﹣2＜x1＜﹣1，若存在x1使y1＞n，试比较y0，y1，y2的大小关系．【分析】（1）抛物线过点（﹣3，m），（5，m），可知（﹣3，m），（5，m）关于对称轴对称，即可求解；（2）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，先求出t的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．解：（1）∵抛物线过点（﹣3，m），（5，m），∴（﹣3，m），（5，m）关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴是．（2）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，由题知，（2，n）在x＝t的右侧，（x1，y1）在x＝t的左侧，∵a＞0，存在y1＞n，∴点（x1，y1）到x＝t大于点（2，n）到x＝t的距离，∴（x1，y1）到x＝t的距离为：t﹣x1，点（2，n）到x＝t的距离为：2﹣t，∴t﹣x1＞2﹣t，∴，∵﹣2＜x1＜﹣1，∴，∴，∴（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2）都在函数的左侧，∴a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，在对称轴左侧函数随着x的增大而减小，∵﹣4＜x1＜0，∴y2＞y1＞y0．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．（1）求证：∠CDM＝∠BFE；（2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．①依题意补全图形，②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；（2）①根据题意补全图形即可；②连接MG并延长使得MG＝GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM（SAS），进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°，又∵DM⊥EF，∴∠DEM+∠EDM＝90°，∴∠CDM＝∠DEM，∴∠CDM＝∠BFE；（2）解：①根据题意补全图形如图所示：②，证明：连接MG并延长使得MG＝GH，∵点G为BN的中点，∴BG＝NG，又∵∠BGH＝∠NGM，∴△BGH≌△NGM（SAS），∴HG＝MG，BH＝NM，∠BHG＝∠NMG，则BH∥NM，∴∠CBH＝∠BFE，由（1）可知，∠CDM＝∠BFE，∴∠CBH＝∠CDM，∵MN＝DM，∴BH＝DM，由正方形的性质可知，CB＝CD，∴△CBH≌△CDM（SAS），∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，∠BCD＝90°，则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°，∴△MCH是等腰直角三角形，∵HG＝MG，∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG＝MG，∴．【点评】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．28．在平面直角坐标系xOy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得∠MPN＝90°，作PQ⊥MN于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣1，1），P2（0，﹣2），P3（2，3）中，关于⊙O的射影点存在的有P1（﹣1，1），P2（0，﹣2）；②点P在直线上，若P关于⊙O的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为，直线＝与x轴、y轴交于点A、