2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．计算：＝（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．92．菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组内角3．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．﹣ B． C． D．4．x取下列各数时，使得有意义的是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（）A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离7．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2的度数为（）A．34° B．56° C．79° D．146°8．在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE．则AE的长为（）A．4 B． C． D．39．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF⋅BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（）A．14 B．19 C．18 D．1612．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13．计算的结果是．14．菱形的周长为24cm，相邻两内角比为1：2，则其较短对角线长为cm．15．若，则ab的值为．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于．17．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，F是DC边的中点，E是BC边上一动点，则AE+EF的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．计算：（1）；（2）．20．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF＝CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．21．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．24．阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式＝．运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）；（n≥2，且n为整数）；（3）化简：．25．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．（1）求证：BC＝DF；（2）求证：△DCG≌△BEG；（3）求证：．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．计算：＝（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【分析】表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．解：∵32＝9∴＝3故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目．2．菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组内角【分析】根据菱形的性质直接作出判断即可确定正确的答案．解：菱形的四边相等，对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角，但不一定相等，故选：B．【点评】考查了菱形的性质，解题的关键是牢记菱形的性质，难度不大．3．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．﹣ B． C． D．【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对于各选项中的二次根式，根号下含有小数，分数的可以先排除，剩下的再看被开方数是否含有能开得尽方的因数即可．解：A、该二次根式符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；B、12＝22×3，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式；C、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数a2，所以它不是最简二次根式．故选：A．【点评】本题主要考查了最简二次根式的相关知识，解题的关键是掌握最简二次根式的概念．4．x取下列各数时，使得有意义的是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1＞0，求出x＞﹣1，再逐个判断即可．解：要使代数式有意义，必须x+1＞0，解得：x＞﹣1，∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，∴只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出x+1＞0是解此题的关键，注意：代数式中a≥0，分式中分母B≠0．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质和加法法则，乘法法则，逐一计算判断即可．解：A、，故选项A不符合题意；B、，故选项B不符合题意；C、，故选项C符合题意；D、，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质和运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．6．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（）A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．解：A、任选两个角，测量它们的角度，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四条边的长度是否相等，能判定是否为菱形，不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量两条对角线的长度是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项C不符合题意；D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．7．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2的度数为（）A．34° B．56° C．79° D．146°【分析】由补角的定义可得∠3＝180°﹣124°，由题意可得∠4+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，则有∠2＝∠3，即可得解．解：如图，由题意得：∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣124°＝56°，根据矩形的性质推出，∠4+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠2＝56°．故选：B．【点评】本题主要考查矩形的性质，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．8．在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE．则AE的长为（）A．4 B． C． D．3【分析】根据矩形的性质，得到，根据AC＝4BE，得到点E为OB的中点，推出△AOB为等边三角形，得到∠ABD＝60°，推出∠ADB＝30°，利用含30度的直角三角形的性质，即可得解．解：∵矩形ABCD，∴，∵AC＝4BE，∴OB＝2BE，∴E为OB的中点，∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∵AE⊥BD，∴；故选：B．【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是得到△AOB为等边三角形．9．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．【分析】由于被开方数为非负数，可确定x﹣1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x﹣1的取值范围是解答此题的关键．10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF⋅BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．解：①正确，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴AE＝OE，∵S△ADE＝×AE×OD＝×OE×OD＝S△EOD，∴S△ADE＝S△EOD，②正确，∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点，∴EF⊥OD，OE＝OF，∵OD＝OD，∴DE＝DF，同理：BE＝BF，∴四边形BFDE是菱形，③正确，∵菱形ABCD的面积＝AC×BD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴EF＝AC，∴菱形ABCD的面积＝EF×BD，④不正确，由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO，⑤正确，∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD，∴△DEO≌△DFO（SAS），∴△DEF是轴对称图形，∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：C．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力，关键是根据菱形的性质和面积解答．11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（）A．14 B．19 C．18 D．16【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故选：C．【点评】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接PC、AC，逐项分析：①由条件易得PECF是矩形，由正方形性质得出△ABP≌△CBP，则可证出EF＝AP，②当AP⊥BD时，可证得：PECF为正方形，则可证得；③当AP⊥BD时，AP最小，此时由正方形性质和勾股定理即可求解．解：如图：连接PC、AC，①∵正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD，∴PECF是矩形，∴PC＝EF，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴AP＝PC，∵AP＝5，∴EF＝AP＝5，故①正确；②当AP⊥BD时，∵△ABP≌△CBP，∴∠APB＝∠CPB＝90°，即∠APB+∠CPB＝180°，则A、P、C三点共线，则P为AC与BD的交点，即为正方形对角线的交点，∴PE＝BE＝CE，∴PECF为正方形，∴AC⊥EF，∵BD⊥AC，∴EF∥BD，故②正确；③由①可知：EF＝AP，则EF最小值即为AP最小值，当AP⊥BD时，AP最小，由②可知，此时，∴，即EF最小值为，故③错误；所以一共有2个正确的．故选：C．【点评】本题考查了矩形正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离最短，以及化简二次根式，掌握矩形正方形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13．计算的结果是﹣1．【分析】根据二次根式的性质求解即可．解：，故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键，注意符号问题．14．菱形的周长为24cm，相邻两内角比为1：2，则其较短对角线长为6cm．【分析】根据已知可得较小的内角为60°，从而得到较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而可求得较短对角线的长度．解：如图所示：∵菱形的周长为24cm，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6cm，∠B+∠BAD＝180°，∵菱形相邻两内角的度数比为1：2，即∠B：∠BAD＝1：2，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6cm；故答案为：6．【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定方法；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．15．若，则ab的值为2．【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，得出a＝2，b＝1，即可求解．解：∵，∴a﹣2＝0，1﹣b＝0，解得：a＝2，b＝1，∴ab＝21＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，代数式求值，求得a＝2，b＝1是解题的关键．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于．【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴AE＝DC，而∠AFE＝∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF＝DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，则FD＝6﹣x＝．故答案为：【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．17．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为﹣5+2．【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，∴＝＝＝﹣5+2，故答案为﹣5+2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，F是DC边的中点，E是BC边上一动点，则AE+EF的最小值是．【分析】作点A关于BC的对称点A′，得到AE+EF＝A′E+EF≥A′F，得到当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，过点F作FG⊥AB，得到四边形ADFG为矩形，利用勾股定理进行求解．解：作点A关于BC的对称点A′，则：AB＝A′B＝2，AE+EF＝A′E+EF≥A′F，∴当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，即为A′F的长，过点F作FG⊥AB，∵矩形ABCD，F是DC边的中点，∴∠BAD＝∠D＝90°，，∴四边形ADFG为矩形，∴FG＝AD＝3，AG＝DF＝1，∴A′G＝A′B+BG＝A′B+AB﹣AG＝3，∴．故答案为：．【点评】本题考查矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段问题．熟练掌握矩形的性质，成轴对称的性质，是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．计算：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可；（2）先化简各式，再合并同类二次根式即可．解：（1）＝；（2）原式＝＝．【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质和相应运算法则，正确的计算，是解题的关键．20．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF＝CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．【分析】连接BD，交AC于点O，由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，证出OF＝OE，证出四边形FBED是平行四边形，则可得出结论．解：四边形FBED是菱形．理由：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AF＝CE，∴AF+OA＝CE+OC，即OF＝OE，∵OD＝OB，∴四边形FBED是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴四边形FBED是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．21．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即p的值，然后代入公式进行计算即可求解；（2）根据三角形面积进行计算即可求解．解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6，∴，∴△ABC的面积；（2）如图，∵△ABC的面积＝，∴，∴．【点评】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）【分析】（1）连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接BE，DE，在△ABC和△ADC中，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵F为BD中点，∴EF⊥BD；（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝BD＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝5，∴AC＝2BE＝10．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．【分析】（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根据矩形的性质得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根据全等三角形的性质得到ED＝EF．根据正方形的判定定理即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．根据全等三角形的性质得到AE＝CM．根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．【点评】本题考查正方形的性