4.2.3 平行四边形的对角线的性质 浙教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第4章平行四边形4.2平行四边形及其性质第3课时平行四边形的对角线的性质基础过关全练知识点平行四边形对角线的性质1.【教材变式·P87例4】如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥AB,垂足为点A,若AB=4,AC=6,则BD的长为()A.6B.8C.10D.12第1题图第2题图2.如图,平行四边形ABCD的周长为80,△BOC的周长比△AOB的周长多20,则BC的长为()A.40B.10C.20D.303.【一题多变·已知一边和两对角线长,求证直角三角形】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.△AOB是直角三角形吗?请说明理由.[变式·已知一边和两对角线长,求面积]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=10,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.4.【一题多变·过对角线交点直线与一对边相交,证线段相等】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O.过点O的直线EF,分别交BA,DC的延长线于E,F,求证:AE=CF.[变式·对角线延长线上两段线段相等,证线段相等]如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在CA和AC的延长线上,且AE=CF,连结DE,BF.求证:DE=BF.能力提升全练5.【面积法】(2023浙江金华金东光南教育集团月考,9,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=5,AC=2,BD=26,则AE的长为()A.103B.25C.536.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=12,点P为BC上任意一点(不与点B,C重合),连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ长的最小值为(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)()A.6B.43C.12D.637.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连结EC.若△CDE的周长为5,则AD+CD=.

8.在①DE=BF;②AF=CE;③OE=OF这三个条件中,选择一个合适的条件补充在下面横线上,并完成证明过程.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,且(填写序号).

求证:DE∥BF.素养探究全练9.在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连结OE,OF.(1)如图①,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明;(2)若直线l不经过点O,请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.图①图②

第4章平行四边形4.2平行四边形及其性质第3课时平行四边形的对角线的性质答案全解全析基础过关全练1.C∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO=12∵AB⊥AC,AB=4,∴BO=AO2+A∴BD=2BO=10.故选C.2.D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵△BOC的周长比△AOB的周长多20,∴OB+OC+BC-20=OB+OA+AB,∴BC-AB=20,①∵平行四边形ABCD的周长为80,∴AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)=80,∴BC+AB=40,②由①+②,可得2BC=60,∴BC=30.3.解析△AOB是直角三角形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,∴OB=OD=12∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.[变式]解析∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=6,BD=10,∴OA=OC=3,OB=OD=5,∵AB=4,∴AB2+AO2=OB2,∴△ABO是直角三角形,且∠OAB=90°,即AB⊥AC,∴平行四边形ABCD的面积为AB·AC=4×6=24.4.证明∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴AO=OC,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO,又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF.[变式]证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF,在△DOE和△BOF中,OE=OF,∴△DOE≌△BOF(SAS),∴DE=BF.能力提升全练5.D本题考查平行四边形对角线的性质,要求其中的线段长,可用面积法求解.∵四边形ABCD为平行四边形,AC=2,BD=26,∴OA=12AC=1,OB=12BD=∵AB=5,∴AB2+OA2=OB2∴△AOB为直角三角形,且∠BAO=90°,∴BC=AC2+A∵S△ABC=12AC·AB=12BC∴12×2×5=12×3AE,∴AE=256.D设PQ与AC交于点O,如图,作OP'⊥BC于点P'.∵四边形PAQC是平行四边形,∴OA=OC,OP=OQ.易知当点P与P'重合时,OP的长最小,此时PQ长最小,在Rt△ABC中,∠B=60°,∴∠ACB=30°,∴BC=2AB=24,∴AC=BC2-AB2=2∵OP'⊥BC,∠ACB=30°,∴OP'=12OC=33∴PQ长的最小值=2OP'=63.故选D.7.答案5解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,∵△CDE的周长为5,∴CE+CD+ED=5,∴AD+CD=AE+ED+CD=CE+ED+CD=5.8.解析可选的条件为②或③.若选②AF=CE.证明:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∠ADB=∠CBD,在△DAE和△BCF中,AD=CB,∴△DAE≌△BCF(SAS),∴∠ADE=∠CBF,∴∠EDO=∠FBO,∴DE∥BF.若选③OE=OF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,在△DOE和△BOF中,DO=BO,∴△DOE≌△BOF(SAS),∴∠ODE=∠OBF,∴DE∥BF.素养探究全练9.解析(1)OE=OF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEO=∠CFO=90°,在△AEO和△CFO中,∠∴△AEO≌△CFO(A