2.4 等腰三角形的判定定理（原卷版）

2.4等腰三角形的判定定理了解等腰三角形和等边三角形的概念掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理掌握有一个角是30°的直角三角形的性质知识点一等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对边”).数学语言:在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(等角对等边)注意:等角对等边的前提是“在同一个三角形中”.2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别由三角形的两边相等得出它们所对的角相等,是等腰三角形的性质;由三角形有两角相等得出它是等腰三角形,是等腰三角形的判定.等腰三角形的性质:两边相等这两边所对的角相等.等腰三角形的判定:两角相等这两角所对的边相等.即学即练1如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点(1)求证：△BED是等腰三角形．(2)若∠A=36°，直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形．角平分线＋平行线=等腰三角形当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现,记住这个基本图形,有助于解题，即学即练2如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，点D、E在AB上，如果BC=BD，∠CED=∠CDE，那么图中的等腰三角形共有个．（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个知识点二知识点三等边三角形及其性质1.等边三角形的概念二边都相等的三角形是等边三角形2等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°3.数学语言:如图所示，在△ABC中，∵AB=AC=BC,∴∠A=∠B=∠C=60°注意：(1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴;(2)等边三角形任意一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合,简称“三线合一”即学即练1如图，等边三角形ABC中，点D为AC边的中点，过点C作CE//AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．即学即练2如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC同侧，连接AE．求证：（1）△AEC≌△BDC；（2）AE∥BC．即学即练3如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动（P与点A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．(1)若设AP的长为x，则PC=______QC=______；(2)当∠BQD=30°时，求AP的长；(3)过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，则EP，FQ有怎样的数量关系？说明理由．(4)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．知识点三等边三角形的判定1.定义判定法三边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形数学语言:如图所示,在△ABC中，∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形.即学即练1下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．①②③④即学即练2如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC．题型一格点图中画等腰三角形例1（2023春·浙江宁波·八年级校联考期末）仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．

(1)在图1中，标出格点P，连结BP，使BP平分∠ABC．(2)在图2中，标出格点Q，连结AQ，使AQ⊥CD．举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺按要求画图．

图1

图2(1)在图1中，已知线段AB，且A，B为格点，画一个以AB为底边的等腰△ABC，要求顶点C是格点．(2)在图1中△ABC的面积为________．(3)在图2中画△ABC的中线AE．举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个题型二找出图中的等腰三角形例2（2023秋·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6举一反三1（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．举一反三2（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，BD是△ABC的平分线，∠A=36°，∠ABC=72°，DEA．5个 B．4个 C．3个 D．2个题型三根据等角对等边证明等腰三角形例3（2022·浙江丽水·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（

A．

B．

C．

D．

举一反三1（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）在学习了全等三角形的判定方法“SAS”后，小明想：“SSA（即两边及其中一边的对角对应相等）能否判定两个三角形全等呢？”，带着这个问题，请同学们作如下探索：(1)已知线段a，b及∠α，画△ABC，使∠B=∠α，BC=a，AC=b；（尺规作图，保留作图痕迹）

(2)观察（1）中你所画的图形，你认为“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（SSA）”是真命题还是假命题？(3)如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：△ABC是等腰三角形．

举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．

证明：如图，作BC边上高线交BC于点D．

题型四根据等角对等边证明边相等例4（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，则CF=（

A．10 B．8 C．7 D．6举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．

(1)求证：BC=CE．(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点

(1)求证：BE=DE；(2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数．题型五根据等角对等边求边长例5（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点

(1)求证：△CEF是等腰三角形；(2)若CD=6，求DF的长．举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10cm，点D在AC上，DC=3cm，将线段DC沿着CB方向平移5.5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC

A．9.5cm B．10cm C．10.5cm举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是．

题型六直线上与已知两点组成等腰三角形的点例6（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点PA．4个 B．6个 C．8个 D．9个举一反三1（2022秋·浙江·八年级期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、A．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三2（2022秋·八年级单元测试）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且△ABC是等腰三角形．符合条件的点C有（

）A．5 B．4 C．3 D．2题型七求与图形中任意两点构成等腰三角形的点例7（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（

）个．A．6 B．8 C．10 D．12举一反三1（2021秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7举一反三2（2019秋·浙江杭州·八年级期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．

（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；

（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当题型八作等腰三角形(尺规作图)例8（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1)(1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；(2)在图乙中画一个三角形与ΔABC举一反三1（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）在6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB，其中点A在直线MN上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，在直线MN上找到一点C，作△ABC，使得∠ACB＝45°；(2)在图②中，在直线MN上找到一点D，作△ABD，使得∠ABD＝45°；(3)在图③中，在直线MN上找到一点E，作△ABE，使得∠EAB＝∠EBA．举一反三2（2022·浙江宁波·统考二模）在6×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB，其中点A在直线MN上.要求①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹.(1)在图1中，在直线MN上找到一点C，作△ABC，便得∠ACB＝(2)在图2中，在直线MN上找到一点E，作△ABE，使得∠EAB＝题型九等腰三角形的性质和判定例9（2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，若S△ABC=12，则S△PBC=举一反三1（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB中点，过D作FE⊥BC于点E，交射线CA于点F，过A作AG⊥EF于点G，

(1)求证：△DBE≌(2)若∠C=45°，BE=2，求FC的长．举一反三2（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD=CD，请说明理由．题型十三角形边角的不等关系例10（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，AB=5,AC=9,BC=10,EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是（

）A．10 B．14 C．15 D．19举一反三1（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC举一反三2（2022秋·八年级单元测试）已知锐角∠MON，如图．（1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB；（2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C；（3）连接BC，AC．作射线OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A．∠BOC=∠AOB B．若AC=OA，则∠AOB=30°C．OB垂直平分AC D．AC=2AB题型十一等边三角形的判定例11（2021·浙江宁波·统考二模）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个举一反三1（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．（只需填上一个即可）举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③题型十二等边三角形的判定和性质例12（2020秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；其中正确结论的个数是（

）个.

A．3 B．2 C．1 D．0举一反三1（2022秋·浙江嘉兴·八年级校联考期中）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP=AQ=3，QD=2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）

A．7 B．8 C．9 D．10举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为ΔABC内一点，且BD=AD

(1)求证：CD⊥AB；(2)∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；单选题1.（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足a+b+c2=3a2+3A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．（2022·江苏·八年级假期作业）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4 B．3 C．5 D．1.53．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F的直线D