2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 集合

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第01讲集合(精讲)

题型目录一览

集合的含义及其表示

集合间的基本关系

集合的交并补运算及ye研图的应用

集合新定义问题

、知识点梳理

1.集合的有关概念

1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

3.元素与集合的两种关系：属于，记为G;不属于，记为

4.五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数

集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素，都是集合8中的元素，就称集合A为集合8

的子集.记作AU2(或B2A).

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素xGB,且xeA,就称集合A是集合8的真子集，记作AG8.

⑶相等：若AU8,且8UA,则A=8

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示AUBAAB

A的补集为CuA

图形表示二Q

AUB

集合表示{x\x^A,或正团{x\x^A,且工£团{x\x^U,且

【常用结论】

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子集有2"-2

个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合5的真子集.

(3)B==B<=>CVBcCVA.

(4)CV(AB)=(Cd)U(Ca),Q(A5)=CS).

二、题型分类精讲

题型一集合的含义与表示

策略方法解决与集合中的元素有关问题的一般思路

看元素构成IT确定集合是数集还是点集

区艮据限制条件确定集合中的元素或求：

明限制条件

;参数的值；

检元素特性|一：注意集合中元素的互异性

【典例1]已知集合A={1,3,/},B=[l,a+2],A<JB=A,则实数。的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【分析】由题设知8勺4,讨论。+2=3、a+2=〃求。值，结合集合的性质确定。值即可.

【详解】由AD3=A知：B^A,

当a+2=3,即a=l,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合;

当a+2=储,即a=-1或a=2,

若a=T,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合;

若a=2,则4={1,3,4},B=[1,4},满足要求.

综上，a=2.故选：A

【典例2】已知集合A={0,1,2},则集合5={（%,同次之K%£人丁£耳中元素的个数是（）

A.1B.3C.6D.9

【分析】根据B={(x，y)|xNy,xeAyeA},采用列举法表示集合B即可求解.

【详解】根据题意5={（0,0）,（LO）,（U）,（2,0）,（2,1）,（2,2）},

所以集合B中共有6个元素，故选：C.

【题型训练】

1.（2022.全国.统考高考真题）设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足2M={1,3},则（）

A.2eMB.3eMC.4^MD.5wM

【答案】A

【分析】先写出集合然后逐项验证即可

【详解】由题知"={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

2.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合M={2/-1,7〃-3},若-3eA/,则实数〃尸（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2加-1=-3和机-3=-3两种情况，求解机并检验集合的互异性，可得

到答案.

【详解】设集合"={2帆-1,帆-3},若-

■-3eAZ,r.—1=——3=—3,

当2〃?—1=—3时，m=-\,此时”={—3,—4}；

当/“一3=-3时，m=0,此时M={-3,-1}；

所以根=-1或0.

故选：C

3.（2023春・河南新乡•高三校联考开学考试）己知集合4={4,苍2»,B=\-2,^,l-y\,若A=B,则实数x的取值

集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.

【详解】因为A=3,所以-2eA.

当x=-2时，2y=l-y,得y=g；

当2y=-2时,则x=2.

故实数x的取值集合为{-2,2}.

故选：B

4.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={0,1,2,3,4,5},3={（x,;y）|xeA,yeAx-yeA},则集合8中所含元素个

数为（）

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】根据x-y的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数.

【详解】当x-y=。时，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),6个元素;

当x-y=l时，有(1,0),(2,1),(3②,(4,3),(5,4),5个元素;

当尤-y=2时,有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),4个元素；

当无一y=3时，有(3,0),(4,1),(5,2),3个元素;

当尤7=4时,有(4,0),(5,1),2个元素；

当x-y=5时,有(5,0),1个元素，

综上，一共有21个元素.

故选：B.

5.(2023・全国•高三专题练习)设集合A={(x,y)|y=x},B=((x,y)|y=x3|,则AcB的元素个数是()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】联立y=x,y=无3求出交点坐标，从而得到答案.

y=x

【详解】联立7,即7,解得:”=0或±i,

即AB={(0,0),(1,1),(-1-1)},

故AcB的元素个数为3.

故选：C

6.(2023・全国•高三专题练习)已知集合4={0,1,2},则集合8={(x,y)|xNee&}中元素的个数是()

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】根据2={(xM|xNy,xeA,yeA},采用列举法表示集合B即可求解.

【详解】根据题意8={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},

所以集合B中共有6个元素，

故选：C.

二、填空题

7.(2023・河北•高三学业考试)设集合A={1,2,3},3={4,5},M={x\x=a+b,aA,b&B},则〃中的元素个数为

【答案】4

【分析】求出所有Q+b的值，根据集合元素的互异性可判断个数.

【详解】因为集合M中的元素x=a+b,tzGA,beB,所以当Z?=4时，a=l,2,3,此时x=5,6,7.当Z?=5

时,a=lf2,3,此时x=6,7,8.

根据集合元素的互异性可知，X=5,6,7,8.即河={5,6,7,8},共有4个元素.

故答案为：4.

8.(2023・全国•高三专题练习)含有3个实数的集合既可表示成k3』，，又可表示成{。2,〃+40},则4。22+,22=

【答案】1

【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.

【详解】因为„1：={。2,。+40},

b

显然故一二0,贝!)人=0；

a

此时两集合分别是{。，1,0}，{“,/，可，

贝!|"=1,解得。=1或-1.

当。=1时，不满足互异性，故舍去；

当。=-1时，满足题意.

2022

所以a2022+b=(一1)2。22+o2022=1

故答案为：1.

9.(2022•全国•高三专题练习)设集合A={(x,y)|x+y=3,xwN*,yeN*},则用列举法表示集合A为.

【答案】{(1,2),(2,1)}

fx>0

【分析】根据题意可得二八，则0<x<3,对x=l,2代入检验，注意集合的元素为坐标.

[y=3—芯〉。

\x>0

【详解】<％+y=3,%cN*,y£N*,则可得{,则0<%<3

[j；=3-x>0

又则当％=l,y=2成立,当％=2,y=l成立，

AA={(1,2),(2,1)}

故答案为：{(L2),(2,l)}.

10.(2023•全国•高三专题练习)已知集合M={(x,y)k+3)2+(y—l)2=0,xeR,yeR],N={-3,1},则McN的元

素个数是.

【答案】0

【分析】分析集合“与N中的元素，可知McN=0,进而得解.

【详解】因为加={(尤,丹k+3)2+仃-1)2=0,无€&好??1={(-3,1)}中的元素是有序实数对，

而N={-3,1}中的元素是实数，所以两个集合没有公共元素，即McN=0,

所以McN的元素个数为0.

故答案为：0

题型二集合间的基本关系

多策略方法判断集合关系的三种方法

|观察法|T二二可笨就豪……......：

|甯羌福瀛集石正元翥莫不莽清翼

元素特征固一：合的元素特征，再利用集合元素的特；

:征判断集合关系：

数形结合法一楷而莪篇最Venn囱：

【典例1】已知集合4=卜卜归1},B=[x\2x-a<6\,若则实数。的取值范围是（）

A.（2,+8）B.[2,+oo）C.（-oo,2）D.（-oo,2]

【分析】先解出集合A?再根据A《5列不等式直接求解.

【详解】集合A=卜料<1}=3一1<X<1）,B=卜卜<.

要使AgB,只需1<£,解得：。>2.故选：A

【典例2】已知全集。=4^8=卜6叫无2-10尤£0},Ac@3）={l,3,5,7},则集合2的真子集个数为（）

A.63个B.64个C.127个D.128个

【分析】根据补集关系，先得到（Ac（6B））与集合B互补的结论，再计算出集合B元素个数n,最后根据集合真子

集个数为2"-1个即可.

【详解】根据U=AuB={xeN|x?-10x<0}可得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

U=A^B.--（An（^B））nB=0,（4仆向3）3=。，.•.旗Ac（㈤）=3

4c&B）={1,3,5,7};.3={0,2,4,6,8,9,10},故合B的真子集个数为27-1=127故选:C

【题型训练】

1.（2023•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合加满足{2,3}=M={123,4,5},那么这样的集合M

的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】c

【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.

【详解】因为{2,3}屋M={1,2,3,4,5},

所以集合M可以为：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共8个，

故选：C.

2.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合4=卜，+.2},3={1,.，若3=则实数。

的取值集合为（）

A.{-2,-1,0}B.—2<x<ij-

C.{x|-2<x<l}D.{-2,-1,0,1）

【答案】C

【分析】化简集合A,根据BgA,求实数。的可能取值，由此可得结果.

【详解】集合4={引炉+尤<2}=3-24%W1},

又3={1,°},BcA,

所以-24a<l,故实数a的取值集合为

故选：C.

3.（2023・山东济南•一模）已知集合,B=[^x>a],若则a的取值范围为（）

A.a<2B.a>2C.a<0D.a>0

【答案】A

【分析】先根据定义域求出A={X|XN2},由得到a的取值范围.

【详解】由题意得X-220,解得x22,故4={小22},

因为AgB,所以〃42.

故选：A

4.（2023•天津河东•一模）已知集合4={1,3,/},B={l,a+2},AuB=A,则实数。的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由题设知B=讨论a+2=3、。+2="求a值，结合集合的性质确定a值即可.

【详解】由=A知：B^A,

当4+2=3,即“=1,贝U/=i,与集合中元素互异性有矛盾，不符合;

当a+2=a?,即a=—1或a=2,

若a=-l,则4=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若。=2,则4={1,3,4},B={1,4},满足要求.

综上，a=2.

故选：A

5.（2023・江苏•统考一模）设=|■，左cz1,A^=jx|x=A:+p^Gzj,则（）

A.MVNB.NUMC.M=ND.MCN=0

【答案】B

【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.

【详解】解：因为x=%+g=g（2左+1）,因为左eZ,

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合”是由所有整数的一半组成，故NO，.

故选：B

6.（2023.山西•校联考模拟预测）已知集合A={xeZ|-4<x<l）,B=，则的非空子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【分析】根据交集的运算和子集的定义求解.

【详解】因为A={xeZ|-4<x<l}={-3,-2,-l,0},又8=1-2,-1,0,三，

所以A8={-2,-1,0},

所以AC3的元素个数为3,其非空子集有7个.

故选:A.

7.（2023•广西桂林•校考模拟预测）设集合M={（x,y>V=y},N={（尤，刃仅kx},则集合McN的真子集的个数

为（）个

A.3B.4C.7D.15

【答案】A

【分析】通过解方程组，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.

【详解】由,二汩;=，或［；［，所以〃N={（0,0）,（1”，

因此集合McN的真子集的个数为22-1=3,

故选：A

8.（2022秋・四川•高三四川省岳池中学校考阶段练习）设集合A={（x,y）|x+y=l},3={（x,y）|x-y=3},则满足

Ma（AcB）的集合M的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】联立方程组确定进而确定其子集的个数.

【详解】由［+，=：,解得F=2即4/={（2,-1）},

共1个元素，

又M=（Ac3）,

即加为Ac5的子集，

所以M的个数为2个，

故选：C.

二、填空题

9.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={-1,1,3},3={&+2,4，B^A,则实数a的值是

【答案】1

【分析】根据B=A,列出元素之间的关系，即可求解实数。的值.

【详解】因为A={-l,l,3},8={&+2,a},且8=A,

所以&+2eA,a&A,

因为6+222,a>Q,

所以C+2=3,解得a=l.

当4=1时，8={1,3},满足要求.

所以“=1.

故答案为：1.

10.（2022.上海・统考模拟预测）已知集合4=卜|尤2+彳-2=。},2={尤麻+1=0},若3勺4,则实数a的取值组成的

集合是.

【答案】t1，*}

【分析】先确定集合A中的元素，然后结合子集的概念，分3=0,5N0两种情况讨论即可得出结果.

【详解】集合A={和2+》-2=0}={-2,1},8={无向+1=0},

当3=0,即a=0时，显然满足条件3右4；

当8/0时，即°片0,则8={—1,

因为B=A,所以8={-2}或2={1},即一[=-2或一!=1,解得或“=—1,

aa2

综上，实数a的取值组成的集合是卜L0,；}.

故答案为：

11.（2022秋・上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合&={-1[},2={尤卬="，若A2=2，则。

的取值集合为

【答案】{-1,0,1）

【分析】由题意可知BuA,分8=0、3/0两种情况讨论，分析出方程6=1的解的情况，综合可求得实数。的

值.

【详解】因为AB=B,则B=

①若。=0,则3=0=A,符合题意；

②若。工0,贝!|B=JXX=L]=A,则，=-1或1=1,解得。=_]或1.

[a]aa

综上所述，实数。的取值集合为{-1,0,1}.

故答案为：{-1,0,1}.

12.（2022秋•上海嘉定•高三校考期中）已知集合4=卜卜=2工+1},8={x|y=ln（6-x）,尤eZ},集合C=AB,

则集合C的子集的个数为.

【答案】16

【分析】分别求出函数的值域、定义域化简集合A,B,再利用交集的定义求出集合C即可作答.

[详解]集合A={y|y=2"+l}={y|y>"，B=^x|y=ln（6-x）,X6Z}=（x|x<6,xeZ},

则集合C=AI3={2,3,4,5},

所以集合C的子集的个数为24=16.

故答案为：16

13.（2022秋・河南安阳•高三校联考阶段练习）集合{x|-l<%,3且xeN}的所有非空真子集的个数为.

【答案】14

【分析】化简集合，然后根据子集的概念即得.

【详解】因为{x|T<%,3且xeN}={0,l,2,3},

所以该集合的所有非空真子集的个数为24-2=14.

故答案为：14.

题型三集合的基本运算

畲策略方法集合运算三步骤

悒用J满定集一吾田而另篆友箕稿至施秦祥：如前薮

I元素|一1的定义域、值域，一元二次不等式的解集等

pEWjJ寝福元素满定山泰祥露历福最示奉惠，得百元豪

|集合|一[满足的最简条件，将集合清晰地表示出来

]

怛算jj利席交集最笄集而定爻纸群,拓萋前讨应两

|求解数轴或Venn图来直观解决

【典例1】已知集合4={#2-5%+6＜。},集合8=卜,=Jlog2(x-1)},则()

A.(1,3]B.(l,+oo)C.[2,+oo)D.[2,3]

【分析】先化简集合A、B,再去求AuB即可解决.

【详解】4={天卜2一5尤+6<。}={尤[2<xW3}

3=曾y=^log2(x-l)|={x\x>2]

则AoB=1x|2<x<3}u|x|x>2j=1x|x>21故选：C

【典例2】已知集合4={*1X2-px-2=0j],B=^x\x2+qx+r=6^,且Au3={-2,1,5},AB={-2},贝i]p+q+r=

A.12B.6C.-14D.-12

【分析】首先根据集合A与集合8的交集和并集运算结果，确定集合A与集合8中元素，再根据元素与集合的关系

求解参数即可.

【详解】AiB={-2},.-.-2GA,得(-2)2+2p-2=0,解得。=T.

故4={*|/+尤-2=0}={-2,1}.又因为Au3={-2,1,5},所以得3={-2,5}.

14—2q+r=0ft?——3

代入得L2n，解得：in，综上可得：3-10=-14.故选：c.

[25+5q+r=0[r=-10

【题型训练】

1.（2022•全国•统考高考真题）己知集合4={-1,1,2,4},8={刈尤-1|41},则AB=（

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合B后可求AcB.

【详解】［方法一］:直接法

因为B={x|0VxV2},故A3={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

产-1代入集合8=卜|卜-心1},可得2W1,不满足，排除A、D；

x=4代入集合8=卜卜-10},可得341,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

2.（2022•浙江•统考高考真题）设集合A={1,2},3={2,4,6},则Au3=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D,{1,2,4,6}

【答案】D

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】AI3={1,2,4,6},

故选：D.

3.（2022・全国•统考高考真题）设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足电加={1,3},则（

A.2wMB.3eMC.4^MD.5^M

【答案】A

【分析】先写出集合然后逐项验证即可

【详解】由题知"={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

4.（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷）已知集合

A=-^——,—1,1,3^,B=x2+x—2<oj,则AB=（）

A.{1}B.{-1,1}C.D-

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合B,然后利用交集概念运算即可.

【详解】因为3={NX2+X-2<0}={x|—2<x<1},

又A=所以4门2=.1-11.

故选：C.

5.(西藏拉萨市2023届高三一模数学(理)试卷)已知集合A={x|y=lnx},B={x\x>-2\,则AB=()

A.[-2,+oo)B.[—2,0)C.(-2,0]D.(0,+e)

【答案】D

【分析】先化简集合A,进而利用交集定义求得AcB.

【详解】由题意知人={#>0},又8={小>一2},

所以AB={x\x>()}n^x\x>-2}=(0,+oo).

故选：D.

6.(2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知集合4={1,3,5,7},B={x|-l<x<2,xeN*},则中

的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】应用并运算求即可得元素个数.

【详解】由题设8={1},所以Au3={l,3,5,7},故其中元素共有4个.

故选：B

7.(2023.北京朝阳.统考一模)已知集合人卜产到，集合8={小>0},则—()

A.(-co,-2]B.[-2,0)C.[-2,+oo)D.(0,2]

【答案】C

【分析】化简A={x|-2WxW2},再由集合并集的运算即可得解.

【详解】由题意4.{x|dw4}={x|-2M=M2},B={x|x>0),

所以AuB={x|—2VxW2}u{x|尤>0}={x\x>—2]=[—2,+«?).

故选：C.

8.(2023春•浙江杭州•高二浙江大学附属中学期中)已知集合4={》|1082”<0},8={川卜-1<2},则()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(一8,3)

【答案】C

【分析】利用对数函数的图象和性质及绝对值不等式化简集合AB,再根据集合并集的定义求解即可.

【详解】由log2X<。解得所以A={x|。<尤<1},

由|y—1|<2可得一2<y—l<2,解得T<y<3,所以8={>I-1<y<3},

所以A8=(-1,3),

故选：C

9.(2023春・甘肃张掖•高三高台某一中学校考阶段练习)已知全集。={1,2,3,4,5,6},A={x|x2-2x-8<0,xeN*),

则①A=()

A.{0,5,6}B.{-2,-1,0,5,6}C.{5,6}D.{1,5,6}

【答案】C

【分析】解不等式求出集合A,再求补集可得答案.

【详解】因为A={x|f-2x-840,xeN*}={x]-2WxV4,xeN*}={l,2,3,4},

所以^A={5,6}.

故选：C.

10.(2023春・湖南•高二浏阳一中校联考阶段练习)设集合A=,忙>4},3={小>4},则AC0RB)=().

A.(2,4]B.[0,2)C.(-8,4]D.(4,+s)

【答案】A

【分析】解不等式，求出A={x|x>2},从而得到补集和交集.

【详解】•；4={尤|2，>4}={尤|尤>2},

又3={小>4},

:.々3={x|xV4},

An^B=1x|2<x<4^.

故选：A.

11.(2023春・湖南•高二临澧县第一中学校联考期中)己知全集U=R,集合A={xeZ|0<归区2},3={T,0,1,2,3},

则图中阴影部分表示的集合为()

A.{-2,0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,3)

【答案】D

【分析】根据集合的交并补运算即可求解.

【详解】全集为U,集合4={-2,-1,1,2},B={-1,0,1,2,3},4八3={-1』,2},4口3={-2,-1,0』,2,3},图中阴影部分

表示是AuB去掉的部分，故表示的集合是{-2,0,3}.

故选：D.

12.（2023春・湖南•高一校联考期中）设集合A=,能正确表示图中阴影部分的集

合是（）

|oQl

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2}

【答案】B

【分析】先求得集合A={-2,-l,0},结合题意及集合的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A=[eZ-3<x<m={-2,-1,0},

根据图中阴影部分表示集合8中元素除去集合A中的元素，即为{1,2}.

故选：B.

13.（2023・广东•统考一模）已知集合”={旬x（x-2）<0},N={x|x-l<0},则下列Venn图中阴影部分可以表示集

合{x[l<x<2}的是（）

A.B-

c.d-

RR

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.

【详解】2）<0=>0<X<2,A:—1<0=>X<1,

选项A中Venn图中阴影部分表示MN=(O,l),不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示孰(MN)=[l,2),符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示距(M")=(—,0],不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示MN=(-«),2),不符合题意，

故选：B

14.(2023.贵州•校联考二模)已知全集。=1{,集合A={Mkgx<2},5={x|l<x<5},则图中阴影部分表示的集

A.{x|x45}B.{x[0<x41}C.{x|x<4}D.{x|l<x〈5}

【答案】B

【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为@8)A,A={x|0<x<4},再根据集合运算求解即可.

【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为(①可A,

因为k>g2；/42=log24,所以4={可0<尤44},

因为3={M<x<5},所以e2=卜«<1或*25},

所以@3)CA={H0<XV1}.

故选:B.

二、填空题

15.(2023•上海嘉定・统考二模)已知A=B={x|x>l},则AB=

【答案】傅

【分析】解不等式，再求交集.

x(x-l)<0

【详解】等价于，解得0<xWl,即A={x[0<x41}.

xw0

则A3={1}.

故答案为：{1}

16.(2023・上海松江・统考二模)己知集合A={1,2,3,4},B=则AB=.

【答案】律

【分析】根据先解不等式求集合，再应用交集的概念进行运算即可.

【详解】因为A={1,2,3,4},8={尤[0<x<2},

所以AcB={l}.

故答案为:{1}.

17.(2023・高三课时练习)设集合4=卜|而！<0},则.

【答案】{一1,2}

【分析】化简集合，然后根据并集的定义运算即得.

【详解】由题可知4=卜|而}。}={一1},

x2-2=x

由lg(V—2)=lgx,可得3-2>0,解得x=2,

x>0

所以8={2},

所以473={-1,2}.

故答案为：{-1,2}.

18.(2023・全国•高三对口高考)已知集合4={-1,0,1,2},B={xeR||3x-2|<4},则A°B=

-2"

【答案】一32u{-l}

【分析】先求解B集合，再计算AB.

2「2一

【详解】B={xeR||3x-2|<4)=U|--<x<2),AuB=--,2u{-l}.

19.(2023・全国•高三专题练习)已知集合&=卜隧2》<2},则<A=.

【答案】(f,0]U[4,y)

【分析】根据对数函数的单调性解不等式可得集合A,进而可得其补集.

【详解】由A={x|log2X<2},解不等式Iog2%<2=log24,且尤>0,所以0<x<4,

故A=(O,4),\A=y,0]i[4,+w),

故答案为：(f,0]U[4,").

20.(2021秋.上海金山.高三上海某中学校考期中)已知集合A={y|y=2无},全集U=R,则常人=

【答案】（-8,0]

【分析】利用补集运算即得.

【详解】因为A={y|y=2"}=（0,+oo）,

所以gA=(-8,0].

故答案为：（-00,。].

21.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=同行万<2）,8={y|y=2i+3},贝3门口回=.

【答案】口,3]

【分析】分别求出集合A,2,再根据交并补的运算法则计算即可.

【详解】由集合A={x|W<2}解得4={冲<尤<5}=[1,5）,由集合2={"=2i+3}解得B={y|y>3}=（3,+s）,

所以45={y|yW3}=（F,3],所以Ac&3）=[l,3].

故答案为：口，引

22.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4=卜€阳尤区2},8=卜|y=e。'」。尤eA},则A6RB=

【答案】{0,2}

【分析】由题意分别求出集合AB,然后求AcaB即可.

【详解】由4=卜©训乂42}={0,1,2},

8=卜Iy=一）,%€={l,e}

故AM3={0,2},

故答案为:{0,2}.

23.（2022秋.广东湛江•高三校考阶段练习）如图，已知集合4={—L0,l,2},B={xeN*|l<2"8},则图中的阴影部

分表示的集合为.

【答案】{-1,0,3}

【分析】解指数不等式求得集合B,结合图象即可求解.

【详解】因为1<2*V8,即2°<2工423,解得0<x<3

所以3={1,2,3},AB={-1,0,1,2,3）,A||B={1,2}

所以图中阴影部分表示的集合为QVB（AC8）={7,0,3}

故答案为：{7,0,3}.

24.（2022•全国•高三专题练习）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月

底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随

机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的

有50人，数据如图，则图中。=；b=；c=.

【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.

28+〃+Z?+6=51a=9

【详解】由题意得：(35+4+0+6=60,解得:

<b=8.

26+b+c+6=50c=10

故答案为：9；8；10.

25.（2022秋•陕西•高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有

57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有

4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同

学有.

【答案】106

【分析】设集合A、3、C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加各类比赛

的学生人数，即可得解.

【详解】设集合A、8、C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，

由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为46+37+1+12+2+6+2=106.

故答案为：106.

题型四_集合的新定义

畲策略方法解决与集合的新定义有关问题的一般思路

1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法

并不难，难在转化。

2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要

根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。

【典例1】若4=卜11尤-8=卜匚12“，定义AX2={X]

xeA8且xeAIB)()

X

1、31、3

A.{x|--<x<0^1<x<—}B.{x|--<x<0^l<x<—}

C.尤v|D.{x|0<x<l}

【分析】求出AuB和AcB,根据新定义可得结论.

113

【详解】A={x\-l<x--<l}={x\--<x<^],B={x\0<x<l]9

13]

A<JB={X\——<x<—>,AB={x|0<x^l},

22J

13

所以Ax3={x|-5<％<0或.故选：B.

【题型训练】

1.(2023春•四川内江•高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)设集合的全集为U,定义一种运算

MN={H%£Mc(dN)},若全集U=R,M={%[W<2},N={%|-3<%<1},则AfN=()

A.{%|-2<x<l}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x|-2<x<l}

【答案】c

【分析】解不等式求得集合M,求得乐N,根据集合运算新定义，即可求得答案.

【详解】由题意得加={小区2}=3-24无42},4N={x|x4-3或x21},

贝1|MN={x|lWxW2},

故选：C

2.（2023春•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个〃位正整数的所有数位上数字的"次方和等于这个

数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合3={xeZ|-3Vx<4},则真

子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.

【详解】由题中定义可知人={1,2,3,4,5,6,7,8,9},而3={xeZ卜3Vx<4},

所以A5={1,2,3},因此AC3真子集个数为23-1=7,

故选：C

3.（2023•全国•高三专题练习）定义=集合A={x|无？一44。},B={x\-3<x<6\,则8—A=

（）

A.{x|2<x<6）B.{x|-3<x<-2}

C.{x|-3<x<-2^2<x<6}D.{%|-34％<-2或2Vx〈6}

【答案】D

【分析】求出集合A中元素范围，再根据A的定义求解即可.

【详解】A=[x\x1-4<0]={x\-2<x<2},

由已知A={xIxeeA}表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后构成的集合，

B-A={x|-3«%<-2或2Vxv6}.

故选：D.

4.（2023・全国•本溪高中校联考模拟预测）对于集合A,B,定义集合A-3={x|xeA且X任耳，已知集合

U={x|-3<x<7,xeZ},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},则①出一/）=（）

A.{-2,0,1,3,4,5}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

【答案】A

【分析】结合新定义可知E-尸={-1,2,6},求得U,进而根据补集的定义求解即可.

【详解】结合新定义可知E—尸={一1,2,6},又。={-2,-1,0,123,4,5,6},

所以6（£_尸）={_2,0,1,3,4,5}.

故选：A

5.（2023•全国•校联考模拟预测）对于集合定义4-3={尤且彳住用.若A={x|尤=2k+1,左eN},

3={x|尤=34+1,左eN},将集合A—8中的元素从小到大排列得到数列{%},则%+/=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【分析】根据集合的特征列出集合A与B的前若干项，找出集合A-3中元素的特征，进而即可求解.

【详解】因为4={1,3,5,7,9,11,.},3={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以={3,5,9,11,15,},所以%=21.A—3相当于集合A中除去X=67L5（〃WN*）形式的数，其前45项包含

了15个这样的数，所以，=89.

贝!|%+%）=110,

故选：C.

6.（2023•北京・中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A