北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（含答案）

顺义一中2023-2024学年度第二学期高二年级4月考试数学试卷本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1．函数在处的瞬时变化率为（）A． B． C． D．2．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A．25 B．20 C．16 D．153．已知数列的前项和；则（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（）A．函数在上不单调 B．函数在的切线的斜率为0C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点5．已知函数在定义域内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．若曲线在点处的切线方程为，则（）A．2 B．0 C． D．7．将5封不同的信分别投入到4个信箱中，则不同的投送方式的种数为（）A． B． C．120 D．248．已知函数，则的大小关系为（）A． B．C． D．9．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知函数下列命题正确的是（）①是奇函数；②在R上是增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11．，则n等于__________．12．已知数列是等比数列，则数列的通项公式__________；数列的前9项和的值为__________．13．设函数满足．则__________。14．已知函数的定义域为R，的导函数．，若函数无极值，则__________；若是的极小值点，则的取值范围是__________．15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共85．0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知数列是等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和．17．已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在上的最值．18．已知函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值：（2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；（用黑色签字笔作图）（3）讨论关于的方程的实根个数．19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润=年销售收入-年总成本）（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大．20．设函数，记（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数的图象恒在，的图象的下方，求实数的取值范围．21．已知函数，曲线在点处切线斜率为（1）求的值；（2）求证：有且只有一个极值点；（3）求证：方程：无解．顺义一中2023-2024学年度第二学期高二年级4月考试（答案）12345678910DCCDBAACDB11．1012．13．14．15．①②③16．已知数列是等差数列，．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和．【详解】（1）由等差数列中设首项为，公差为，由于：．则：，解得．所以．（2），则17．已知函数．（1）求的单调区间：（2）求在上的最值．【详解】（1）解：因为，其中，则，由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为和．（2）解：列表如下：+0-0+增极大值9减极小值增又因为，则，因此，函数在上的最大值为9，最小值为．18．已知函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）佂给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；（3）讨论关于的方程的实根个数．【详解】（1）即函数的单调递增区间为，单调递减区间为极小值为，无极大值．（2）当时，；当时，，且结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示（3）画出函数与函数的简图，如下图所示由图可知，当时，方程没有实数根；当或时，方程只有一个实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入一年总成本）；（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大．【详解】（1）由题意得，总售价固定为，当产量不足60万箱时，．当产量不小于60万箱时，．则（2）设，当时，，令，得，得在上单调递增，在上单调递减，则；当时，由基本不等式有当且仅当，即时取等号；又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元20．设函数，记．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围．【详解】（1），又在处的切线方程为，即．（2）由题意知：，则定义域为，当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，若，则；若，则；的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由题意知：当时，恒成立，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减．，即实数的取值范围为．21．已知函数，曲线在点处切线斜率为（1）求的值；（2）求证：有且只有一个极值点：（3）求证：方程无解．【详解】（1）（2）由的定义域为，又，所以在上