广东省深圳市龙华外国语高级中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试卷（含答案）

深圳市龙华外国语高级中学2023—2024学年度第二学期第一次段考高一数学试卷时间120分钟分值150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.3.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（）A. B. C. D.2.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A. B. C. D.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.4.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长为（）A.4a B.8a C.6a D.5.已知复数，则z的共轭复数为（）A. B. C. D.6.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程的两个实数根，且的面积为，则角C的大小是（）A. B. C.或 D.或7.设，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.8.武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得点A的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度AB约为（）（参考数据：）A.22m B.27m C.30m D.33m二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，，，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（）A. B. C. D.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，，则的外接圆的面积等于C.若，且，则是等边三角形D.若，则是等腰直角三角形11.已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（）A.点在复平面上的坐标为 B.C.的最大值为 D.的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知x、，若，则______.13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则a等于______.14.已知，，且.若，则当时，的取值范围为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，且，求的周长.16.（15分）已知是虚数单位，复数，.（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；（3）当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围.17.（15分）已知O为坐标原点，，.（1）判断的形状，并给予证明；（2）若，求证：A、B、C三点共线；（3）若D是线段AB上靠近点A的四等分点，求D的坐标.18.（17分）在中，，，P为AB边上一点，且.（1）设，求实数x、y的值；（2）若，求的值；（3）设点Q满足，用向量方法证明：.19.（17分）在锐角中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.（1）求角A；（2）设AD是角A的平分线，与BC边交于D，若，，求b，c；（3）若，求面积的取值范围.高一数学第二学期第一次段考参考答案1.D2.A3.B4.B【详解】由直观图可得原图形，∴，，，∴，原图形的周长为8a.5.C6.D【详解】由于a，b是方程的两个实数根，由韦达定理可得，据题意，得，.∵，解得或.7.A【详解】∵在上的投影向量为，∴，∴，又，是两个单位向量，即，∴.8.B【详解】由题知，设，则，，，又，所以在中，，①在中，，②联立①②，解得.9.ABC【分析】将平行四边形转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.【详解】设点D的坐标为，由于平行四边形的四个顶点为A，B，C，D，所以可能有以下三种情形：当时，即，解得，即D的坐标为；当时，即，解得，即D的坐标为；当，即，解得，即D的坐标为；故选：ABC.10.BC【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；利用数量积得定义即可判断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.【详解】A.由余弦定理，得，得B为锐角，不能判断为锐角，故A错误；B.设的外接圆的半径为R，由正弦定理得得，所以其外接圆的面积为，故B正确；C.；所以，故，因为，所以，所以是等边三角形，C正确；D.，由正弦定理，得，即，而A，B，，所以或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.11.ABC【分析】A.根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；B.根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；C，D.根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；复数，所以复数，故B正确；设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误.12.213.【详解】由正弦定理得：，即：，解得：.14.法一（代数）令，则，由三角不等式，又，因为，所以，故.所以，即的取值范围为，当且仅当，且的方向与的方向相同时取最小值；当且仅当，且的方向与的方向相反时取最大值.法二（几何）如图所示，做，，易知，且，，，令，，则，因为，，所以点B在线段UV上，又，所以点A在以O为圆心，半径为1的上，所以的最大值，是，当且仅当点时，取得，的最大值，是，当且仅当点B与V重合时，取得，即的取值范围为.15.解：（1）由及正弦定理得，因为，，故.又∵为锐角三角形，所以.（2）（法一）由余弦定理，∵，得，解得：或，∴的周长为.（法二）由余弦定理，∵，得，即，∴的周长.16.解：（1）当z为实数时，有，解得；（2）当z为纯虚数时，有，解得.（3）当z在复平面内对应的点在第三象限时，有，解得，所以m的取值范围为.17.解：（1）（法一）由已知有，，，其中，所以，即，故为直角三角形.（法二）由已知有，，，所以，故为直角三角形.（2）由已知有，，因为，所以与共线.又与有公共点A，所以A，B，C三点共线.（3）因为D是线段AB上靠近点A的四等分点，所以，则，故.18.解：（1）因为P为AB边上一点，，所以，故，由平面向量基本定理，有，；（2）；（3）由题意，，因为，，所以，因为，所以，故，所以，即，得证.19.解：（1）（法一：角化边）在锐角中，，由余弦定理得，