专题03 基本不等式重难点题型总结-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题03基本不等式公式应用及限制条件（多选）1．（2022上·江西南昌·高一校考期末）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（

）A．有最小值9 B．的最小值是C．ab有最大值 D．的最小值是【答案】AB【详解】，当且仅当时等号成立，A对；，当且仅当即时等号成立，B对；，则，当且仅当即时等号成立，C错；由，则，而，所以，当且仅当时等号成立，D错.故选：AB（多选）2．（辽宁省县级重点高中协作体2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题）下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【详解】解：选项A：如果，则，故选项A错误；选项B：因为，，根据不等式性质，，故选项B正确；选项C：当时，有，故选项C错误；选项D：，当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确.故选：BD.（多选）3．（2022上·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考期末）下列结论正确的是（

）A．函数的最小值是2B．若，则C．若，则的最小值为2D．若，则【答案】BD【详解】对于A中，当时，可得，所以A错误；对于B中，因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，此时方程无解，即等号不成立，所以C错误；对于D中，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确.故选BD．“1”的代换型1．（2020下·浙江宁波·高一校联考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值．【答案】/【详解】因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：2．（2022上·江苏南通·高一统考期中）函数（）的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，，仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B3．（2023上·河北承德·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【详解】因为，所以，而，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B“和”与“积”互消型1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为.【答案】/【详解】因为，所以，，所以，当，即，即，时等号成立，所以的最小值是.故答案为：2．（2023上·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为.【答案】【详解】由正数，满足，可得，所以，当且仅当，，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.3．（2019上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是.【答案】/【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当，时等号成立，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.4．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,.故选:D.构造“公式型”1．（2022上·湖北·高三校联考阶段练习）若，且，则的最小值为，的最大值为．【答案】25/0.0625【详解】①由，可知，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为25．②又，当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为．故答案为：25；2．（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.3．（2022上·吉林长春·高一长春市第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为.【答案】12【详解】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12．故答案为：12．4．（2023下·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故选：C基本不等式的应用1．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【答案】(1)(2)AD=120cm，，【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为，所以，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，所以四个宣传栏的总面积，其中所以.即.（2）由（1）知，则，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号，即,时，可使用宣传栏总面积最大为.2．（2023·全国·高一随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【答案】长为m，宽为m时总造价最低．【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，，当且仅当，又，即，时取到等号，故长为m，宽为m时总造价最低．3．（2022上·广东广州·高一广州市第八十九中学校考期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.【答案】(1)长为18m,宽为9m；(2).【详解】（1）由已知可得,而篱笆总长为.又,当且仅当,即时等号成立所以菜园的长为18m,宽为9m时,可使所用篱笆总长最小.（2）由已知.因为（当且仅当时等号成立）.所以（当且仅当时等号成立）所以的最小值为.分离分子型1．（2021下·贵州遵义·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为【答案】【详解】因正实数满足，于是有，则，当且仅当时取“=”，由得，所以时，的最小值为.故答案为：2．（2022上·河北邢台·高一统考期末）已知正实数满足.则的最小值为（

）A．3 B．9 C．4 D．8【答案】B【详解】a，b均为正实数，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B3．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以即，当且仅当，即时，等号成立.所以故选:D.反解代入型消元法1．（2022上·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设，且，则的最小值是.【答案】【详解】令，，则，，因为，则有，所以当且仅当，即时取等号，则分别等于时，的最小值是.故答案为：.2．（2020上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）若实数且，则的最小值为【答案】【详解】实数且，则当时，即时取得等号，所以的最小值为.故答案为：3．（2021·高一单元测试）已知且，则的最小值为.【答案】【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.4．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【详解】设，则，且，题目转化为已知，求的最小值，即，而，当且仅当，即时等式成立.所以.故选：C.均值用两次1.设，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】因为，所以，所以（当且仅当时取等号），所以，所以，（当且仅当，即时取等号）.故答案为：D2.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．3.已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，，所以CD选项错误.当时，，，所以B选项错误.，即当且仅当或时等号成立.则，，解得.故选：A多元均值1．（2022上·河南·高一校联考期末）已知，，则的最小值为（

）A．25 B． C．5 D．【答案】B【详解】由，可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：B2．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，，，所以，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以.（2）因为，，，所以，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；上述三式相加可得，即，当且仅当时，等号成立.所以.3．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为．【答案】18【详解】由条件知，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18．故答案为：18.权方和不等式1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：，当且仅当时取等号，即当时取等号，故选：A2．（2023上·陕西西安·高一陕西师大附中校考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表